Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний (1072017), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Разложим натуральный логарифм вряд:δ = ln(1 + ε ) = ε −ε2+ε3+ … + (−1) n −1εn(2.40)n23Этот ряд при ε < 1 - сходящийся. При ε < 0.1 разница между δ и ε непревосходит 5% ( 0.95 <δ< 1, т.е ε > δ ). При ε < 0.05 разница неεпревосходит 2%. Поэтому деформации менее 5% считаются малыми, для нихистинные деформации равны относительным.Рассмотрим, как связаны приращения деформаций dε с приращениямиперемещений du . Пусть стержень постоянного поперечного сечения длинойl , защемленный с одной стороны, получил абсолютную деформацию dl .Если деформация однородна, то перемещения произвольной материальнойточки вдоль оси стержня пропорциональны расстоянию от защемленногокрая:xdu = dllРассмотрим частную производную:∂(du ) = ∂ ⎛⎜ dl x ⎞⎟ = dl = dε(2.41)∂x∂x ⎝ l ⎠ lТаким образом, приращение деформации есть частная производная покоординате от приращения перемещения.64Введем по аналогии с компонентами малой деформации Коши ε ijпонятие компонентов приращения деформаций dε ij в виде:()1dui, j + du j ,i2(2.42)⎡∂⎤∂∂dε x = (du x );dγ xy = ⎢ (du x ) +du y ⎥ = 2 ⋅ dε xy∂x∂y∂x⎣⎦Тогда тензор приращения деформаций может быть записанследующим образом:11⎛⎞dγ yxdγ zx ⎟⎜ dε x⎛ dε xx dε yx dε zx ⎞ ⎜22⎟⎜⎟11(2.43)Tdε = ⎜ dε xy dε yy dε zy ⎟ = ⎜ dγ xydε ydγ zy ⎟⎜⎟22⎜⎟⎟1⎝ dε xz dε yz dε zz ⎠ ⎜ 1 dγdγdε⎜xzyzz ⎟2⎝2⎠Приращения деформаций, также как и относительные деформацииявляются тензорными величинами и для них справедливы формулы,аналогичные формулам для относительных деформаций18.dε ij =( )2.7.
Закон постоянства объема при пластической деформацииВернемся еще раз к условию постоянства объема. Мы говорили, чтопервый инвариант тензора малых деформаций с точностью до бесконечномалых величин равен относительному изменению объема тела в процесседеформации. Рассмотрим этот вопрос подробнее.Пусть параллелепипед объемом V = xyz подвергается однороднымдеформациям19 в направлении ребер. При этом направления главных осейдеформаций совпадают с ребрами параллелепипеда. Объем тела последеформации V1 = x1 y1 z1 = ( x + ∆x )( y + ∆y )( z + ∆z ) . Относительное изменениеобъема:18В отличии от малых деформаций и приращений деформацийлогарифмические (истинные) деформации не являются тензорнымивеличинами.19Возможно еще одно – более строгое математическое определениеоднородной деформации:Деформация, характеризующаяся тем, что перемещения являютсялинейнымифункциямикоординати,следовательно,величиныотносительных деформаций постоянны, называется однородной.Однородная деформация характеризуется тем, что два геометрическиподобных и подобно расположенных элемента тела и после деформацииостаются геометрически подобными.
Таким образом, плоскость всегдапреобразуется в плоскость, цилиндр в цилиндр. Параллельные плоскости илинии всегда остаются параллельными и после деформации.65∆V ( x + ∆x )( y + ∆y )( z + ∆z ) − xyz== (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) − 1Vxyz∆V= 0 , тогдаДля пластической деформацииV(1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) = 1Прологарифмировав, получимln(1 + ε x ) + ln(1 + ε y ) + ln(1 + ε z ) = 0δx + δ y + δz = 0Для малых деформаций δ ≅ εεx + ε y + εz = 0То же можно получить из:∆V= 0 = (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) − 1 =V= 1 + ε x + ε y + ε z + ε xε y + ε y ε z + ε xε z + ε y ε xε z − 1 =(2.44)(2.45)для малых деформаций <<ε≈ εx + εy + εz = 0Таким образом, для конечных деформаций, выраженных черезотносительные деформации, условие (закон) постоянства объемавыполняется не строго.
Точно условие постоянства объема выполняется длялогарифмических, или истинных деформаций, но они не являютсятензорными величинами.Из закона постоянства объема есть важное следствие. Одна из степенейдеформации имеет знак, противоположный знаку двух других, а поабсолютной величине равна их сумме, т.е. максимальна по абсолютнойвеличине.2.8. Условие совместности деформаций.Компоненты деформаций определяются тремя компонентамиперемещений. Компонент деформации 6, а компонент перемещений – 3.Следовательно, компоненты деформаций не являются независимыми. Междуэтими компонентами должны существовать зависимости, определяющие ихвзаимосвязь между собой.
Эти зависимости называют условиямисовместности деформаций.Ограничимся выводом уравнений совместности для плоской задачи.При плоском напряженном и плоском деформированном состоянии вседеформации не зависят от одной координаты, вдоль которой либонапряжение, либо деформация равны нулю. Будем считать дляопределенности, что это координата z. Тогда деформации для плоской задачибудут иметь вид:∂u y∂u y∂u∂uεx = x ; ε y =; γ xy = x +∂x∂y∂y∂x66Таким образом, деформаций три, а компонент перемещений – два,следовательно, деформации зависимы.Продифференцируем первое из равенств дважды по y, а второе –дважды по x, после чего почленно сложим результаты, тогда:22∂ 3u y∂ 2ε x ∂ ε y ∂ 3u x∂ 2 ⎛ ∂u x ∂u y ⎞ ∂ γ xy⎜⎟==+=++(2.46)⎜∂x ⎟⎠ ∂x∂y∂x 2∂y 2∂x∂y 2 ∂y∂x 2 ∂y∂x ⎝ ∂yДля осесимметричного напряженного состояния точки имеют дванезависимых перемещения радиальное и осевое: u ρ , u z . Деформированноесостояние определяется четырьмя деформациями: ε ρ =∂u ρ∂ρ,εθ =uρρ,∂u ρ ∂u z 20∂u z, γ ρz =.
Таким образом, должно существовать два+∂z∂ρ∂zуравнения совместности деформаций. Одно из них аналогично приведенномувыше:∂ 2ε ρ ∂ 2ε z ∂ 2γ ρz(2.47)+=∂ρ∂z∂z 2∂ρ 2Другое уравнение совместности деформаций может быть полученоследующим образом:∂εθ∂ ⎛ u ρ ⎞ ∂u ρ 11 ε ρ − εθ⎜⎟==−u(2.48)ρ 2 =∂ρ ∂ρ ⎜⎝ ρ ⎟⎠ ∂ρ ρρρεz =2.9. Скорости деформации и скорости деформированияПусть частица среды движется со скоростью v , компоненты которойравны:(2.49)v x = v x ( x, y, z , t ), v y = v y ( x, y , z , t ), v z = v z ( x, y, z , t ),Тензором скоростей деформаций называется тензор20При осесимметричном напряженно-деформированном состоянииокружность переходит в окружность.
Следует рассмотреть положение дугирадиусом ρ и углом dθ в положении до деформации и после деформации –смещения на величину u ρ .εθ =∪ M ' N '− ∪ MN (ρ + u ρ )dθ − ρdθ u ρ==ρdθρ∪ MN67⎛⎜ ξx⎜⎜ η xyTξ = ⎜⎜ 2⎜ η xz⎜ 2⎝где∂vξx = x ;∂xη xy2ξyη yz2η xz ⎞⎟2 ⎟ ⎛ ξ xx ξ xyη yz ⎟ ⎜= ⎜ ξ xy ξ yy2 ⎟⎟ ⎜⎝ ξ xz ξ yz⎟ξz ⎟⎠ξy =∂v y∂y∂v yξ xz ⎞⎟ 1ξ yz ⎟ = (vi, j + v j ,i )2ξ zz ⎟⎠ξz =;(2.50)∂v z;∂z(2.51)∂v x ∂v y∂v z∂v z ∂v x+η xy =; η yz =; η zx =;++∂y∂x∂z∂y∂x∂zРассмотрим физический смысл коэффициентов ξ ij . Для случая малойдеформации справедливо∂ε ij∂u= ε ijvi = i ⇒ ξ ij =∂t∂tДействительно, например для ξ xy :1 ⎛ ∂v∂v y ⎞1 ⎡ ∂ ∂u∂ ∂u y ⎤(2.52)1 ⎡ ∂ ∂u∂ ∂u y ⎤∂x +x +⎟= ⎢ξ xy = ⎜⎜ x +⎥ = ε xy = ε xy⎥= ⎢⎟∂x ⎠ 2 ⎣ ∂y ∂t∂x ∂t ⎦ 2 ⎣ ∂t ∂y ∂t ∂x ⎦ ∂t2 ⎝ ∂yТаким образом, диагональные компоненты тензора скоростейдеформаций представляют собой скорости удлинения элементарныхотрезков, параллельных соответствующим координатным осям.
Боковыекомпоненты- скорости искажения первоначально прямых углов,расположенных в координатных плоскостях, т.е. скорости сдвиговыхдеформаций. Поэтому часто тензор скоростей деформаций часто записываютв виде:11⎫⎧εγγ zx ⎪xyx⎪22⎪⎪⎪⎪ 11(2.53)εyγ zy ⎬Tε = ⎨ γ xy22⎪⎪11⎪ γ xzγ zyεz ⎪⎪⎭⎪⎩ 22Следует отметить, что для интенсивностей скоростей деформаций и∂εинтенсивности деформаций в общем случае справедливо ξ i ≠ i .∂tТензор скоростей деформаций можно представить в виде суммышарового тензора и девиатора.Инварианты тензора и девиатора скоростей деформаций можнополучить из формул для инвариантов тензора и девиатора деформацийзаменой ε на ξ и γ на η .Аналогично можно определить и главные оси скоростей деформаций.68Первый инвариант тензора скоростей деформаций характеризуетскорость относительного изменения объема.
При пластической деформациипринимают гипотезу несжимаемости материала, поэтому(2.54)ξ x + ξ y + ξ z = ξ1 + ξ 2 + ξ 3 = 0Это равенство выполняется точно, в отличие от условиянесжимаемости, записанного для деформаций.Большую роль в теории пластичности играет второй инвариантдевиатора скорости деформации.
С помощью второго инварианта можноопределить интенсивность скоростей деформации сдвига и интенсивностьскоростей деформаций.( )Η = 2 I 2 Dξ =232=3=2=3(ξ x − ξ y ) + (ξ y − ξ z )22(ξ xx − ξ yy ) + (ξ yy − ξ zz )2(ξ1 − ξ2 )222+ (ξ z − ξ x ) +2()3 222+ η zx=η xy + η yz22()222+ (ξ zz − ε xx ) + 6 ξ xy+ ξ yz+ ξ zx=+ (ξ 2 − ξ3 ) + (ξ3 − ξ1 )(2.55)2( )2Η(2.56)I 2 Dξ =33Следует различать скорость деформации и скорость деформирования.Первая – определяет скорости относительных удлинений и сдвигов и имеетразмерность 1/с. Вторая – скорость материальных точек, обычной под нейпонимают скорость движения инструмента. Размерность скоростидеформирования – м/с.Оценим, как соотносятся скорость деформации и скоростьдеформирования.Предположим,чтомыпроизводимосадкуцилиндрического образца без трения с постоянной скоростью движенияинструмента v .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
