Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний (1072017), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2.3). Пусть отрезок MB параллелен оси Oy, а отрезок MA параллеленоси Ox. Предположим также, что деформация тела осуществлялась вплоскости xOy таким образом, что отрезки MA и MB повернулись вокругточки M на элементарные углы соответственно ϕ xy , ϕ yx и заняли положениеMA' и MB'.dx'yBB'dyϕxyπ/2−γxy= π/2−ϕxy−ϕyxA'MϕyxAxРис. 2.3. К определению сдвиговых деформацийДля отрезка MB справедливо: dx = dz = 0 . Тогда BB' = dx' и с точностьюдо бесконечно малых высших порядков:dx'ϕ xy =dyС другой стороны:∂u∂u∂u∂udx' = dx + du x = x dx + x dy + x dz = x dy∂y∂x 0∂y∂z 00Окончательно∂uϕ xy = x∂yРассуждая аналогично, получим56ϕ yx =∂u y∂xОкончательноγ xy =π− ∠A' MB' = ϕ xy + ϕ yx =2Очевидно, что в общем случаеϕ xy ≠ ϕ yx , но γ xy = γ yx∂u x ∂u y+∂y∂xСдвиговая деформация может быть представлена как совокупностьчистого сдвига и вращения.
Представим, что происходит сдвиговаядеформация (т.е. без изменения длины сторон) квадрата (Рис. 2.4).Результатом такой деформации в общем случае будет ромб, развернутыйотносительно диагонали квадрата на некоторый угол, называемый угломвращения:Можно показать, что:ϕ − ϕ yx 1 ⎛ ∂u x ∂u y ⎞⎟(2.14)ω xy = xy−= ⎜⎜22 ⎝ ∂y∂x ⎟⎠В этом случае процесс деформации состоит из чистого сдвига, когдаискажение происходит вдоль диагонали квадрата и поворота ромба вокругдиагонали.ωxyωxyyyϕxyϕyxxyЅ γxyϕxy=+Ѕ γyxxϕyxxРис. 2.4. Схема деформации сдвигаПри чистом сдвиге сдвиговая деформация:11ϕ xy = ϕ yx = γ xy = γ yx(2.15)22Очевидно, что последующий поворот не меняет формы ромба,следовательно, в качестве меры сдвиговой деформации можно выбратьвеличину:11ε xy = ε yx = γ xy = γ yx(2.16)2257В общем случае совокупность линейных и сдвиговых деформацийможно записать в виде единой формулы, используя сокращенную запись12:1ε ij = ui , j + u j , i ,i,j = x,y,z(2.17)2Окончательно выражение для деформации элементарного отрезкаможно выразить следующей сокращенной записью:ε r = ε ji ni n j(2.18)()2.4.
Тензор деформаций.Легко заметить, что выражение для деформации отрезка (2.18)аналогично выражению для нормального напряжения в наклонной площадке.Формула (2.18) может быть получена из формулы (1.6) заменой нормальногонапряжения σ n на деформацию отрезка ε r и компонент напряжений σ ij накомпоненты деформации ε ij . Поскольку напряженное состояние σ ij –величина тензорная, то по аналогии записи выражений для напряжений идеформаций следует ожидать, что и деформированное состояние ε ij тожетензорная величина.В теории упругости строго доказывается, что при повороте осейкоординат компоненты деформаций изменяются в соответствии с тензорнымсоотношением:ε i ' j ' = ε ij ⋅ ni ' j ⋅ n j ' i ,где ni ' j , n j ' i - направляющие косинусы новой системы координатотносительно старой.Тензор деформаций принято записывать в следующем виде:11⎧⎫εxγ yxγ zx ⎪⎪22⎧ε xx ε yx ε zx ⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ 11⎪ 1Tε = ⎨ε xy ε yy ε zy ⎬ = ⎨ γ xyεyγ zy ⎬ = ui, j + u j , i(2.19)222⎪⎪ ⎪⎪⎪⎩ε xz ε yz ε zz ⎪⎭ ⎪ 11⎪εz ⎪⎪⎩ 2 γ xz 2 γ zy⎭В цилиндрической системе координат при осесимметричномнапряженном состоянии:∂u ρuρ∂u ρ ∂u z∂u+; εθ =; ε z = z ; γ ρz =ερ =(2.20)∂ρ∂z∂zρ∂ρТензор деформаций является симметричным тензором второго ранга.Как и для любого симметричного тензора, для него можно найти главные оси– оси в направлении которых возникают главные деформации ε1 , ε 2 , ε 3 , асдвиговые деформации γ отсутствуют.
По аналогии с напряженным()12Напомним, что в сокращенной записи индекс после запятой показываетдифференцирование58состоянием главные деформации находят как решение кубическогоуравнения, получаемого при развертывании определителя:εx − ε∆=γ xy2γ xzγ yxγ zx22γ zyεy −ε2γ yz=0εz −ε22произведя преобразования, получимε 3 − I1 (Tε )ε 2 + I 2 (Tε )ε − I 3 (Tε ) = 0 ,(2.21)где⎫⎪22⎪2γ xy γ yz γ xz⎪I 2 (Tε ) = ε xε y + ε y ε z + ε z ε x −−−;⎬444⎪122 ⎪I 3 (Tε ) = ε xε y ε z + γ xyγ yzγ zx − ε yγ xz.⎪− ε xγ 2yz − ε zγ xy⎭4В главных осях инварианты тензора деформаций имеют вид:I1 (Tε ) = ε1 + ε 2 + ε 3 ;I1 (Tε ) = ε x + ε y + ε z ;((2.22))I 2 (Tε ) = ε1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε1;(2.23)I 3 (Tε ) = ε1ε 2ε 3 .Первый инвариант тензора деформаций имеет следующий физическийсмысл: с точностью до бесконечно малых второго порядка он выражаетотносительное изменение объема деформируемого тела.V − V0I1 (Tε ) = д(2.24)V0При упругой деформации объем тела изменяется (при растяжении –увеличивается, при сжатии – уменьшается).
Тщательные экспериментыпоказали, что объем пластически деформируемого тела остается постоянным.Это положение называется законом постоянства объема при пластическойдеформации. Поэтому, первый инвариант тензора деформаций припластической деформации с точностью до бесконечно малых второгопорядка равен нулю. Следует оговориться, что пластическая деформациявсегда сопровождается упругой, особенно для процессов холоднойштамповки.
При горячей штамповке упругими деформациями обычно можнопренебречь.В главных осях тензор деформаций приводится к виду:⎛ ε1 0 0 ⎞⎜⎟Tε = ⎜ 0 ε 2 0 ⎟⎜0 0 ε ⎟3⎠⎝59Так же, как и для тензора напряжений, тензор деформаций можнопредставить в виде суммы двух тензоров: шарового и девиатора.Tε = Tε0 + DεШаровой тензор деформаций отражает деформации объема:⎛ ε cp00 ⎞⎜⎟0 ⎟Tε0 = ⎜ 0 ε cp⎜⎟0 ε cp ⎠⎝ 0гдеεx + ε y + εzε + ε 2 + ε3= 133Девиатор деформации отражает изменение формы:γ yx⎛γ zx ⎞⎟⎜ ε x − ε ср22⎟ ⎛ e xx e yx e zx ⎞⎜⎟γγ⎜xyzy ⎟ ⎜=Dε = ⎜eeeε y − ε ср⎜xyyyzy ⎟⎟22⎜⎟⎟ e⎜eeγxzyzzz⎝⎠yz⎜ γ xzε z − ε ср ⎟⎟⎜22⎠⎝eij = ε ij − δ ij ε cpε cp =(2.25)(2.26)(2.27)(2.28)Первый инвариант девиатора деформаций равен нулю, второйинвариант:122I 2 ( Dε ) = e xx e yy + e yy e zz + e zz e yy − e xy− e 2yz − e zx= − eij eij =21⎡3 22 ⎤(2.29)= − ⎢ ε x − ε y 2 + ε y − ε z 2 + (ε z − ε x )2 + γ xy+ γ 2yz + γ zx⎥⎦ =6⎣21= − [(ε1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε1 ) 2 ]6При пластической деформации шаровой тензор деформаций равеннулю ε cp = 0 , следовательно Dε = Tε() (())()2.5.
Интенсивность деформаций, максимальные сдвиговые иоктаэдрические деформацииВ теории обработки металлов давлением второй инвариант девиаторадеформаций имеет очень большое значение. Через второй инвариант можно сточностью до постоянных выразить две важнейшие скалярные величины:интенсивность деформаций сдвига Г и интенсивность деформаций ε i :60Γ = 2 I 2 (Dε ) ==23=23=23(ε x − ε y )2 + (ε y − ε z )2 + (ε z − ε x )2 + 32 (γ xy2 + γ 2yz + γ zx2 ) =(ε xx − ε yy )2 + (ε yy − ε zz )2 + (ε zz − ε xx )2 + 6(ε xy2 + ε 2yz + ε zx2 ) =(ε1 − ε 2 )2 + (ε 2 − ε 3 )2 + (ε 3 − ε1 )2(= 2 eij eijПри(2.30)=)12ε x = ε y = ε z = γ yz = γ zx = 0; γ xy = γследовательно, при чистом сдвиге Γ = γ .При развитых пластических деформациях, когда упругимидеформациями можно пренебречь132ΓI 2 (Dε ) =εi =3323 22=+ γ 2yz + γ zx=ε x − ε y 2 + ε y − ε z 2 + (ε z − ε x )2 + γ xy32222=+ ε 2yz + ε zx=ε xx − ε yy 2 + ε yy − ε zz 2 + (ε zz − ε xx )2 + 6 ε xy(2.31)32(ε1 − ε 2 )2 + (ε 2 − ε 3 )2 + (ε 3 − ε1 )2 ==312=eij eij 23При одноосном растяжении (также при развитых пластическихдеформациях) ε 2 = ε 3 = −0.5ε1; ε1 = ε , следовательно, при одноосномрастяжении ε i = ε .3Для упругих деформаций справедливо ε i =I 2 (Dε ) , и при1+ µодноосном растяжении ε 2 = ε 3 = − µε1; ε1 = ε .
Здесь µ - коэффициентПуассона14.В площадках параллельных одной главной координатной плоскости исоставляющих одинаковые углы 45° с каждой из двух других, возникаютчистом() (((1314) (сдвиге()))())Сравните σ i = Τ 3; ε i = Γ / 3Поэтому говорят, что при пластических деформациях µ = 0.561максимальные (главные) сдвиговые деформации γ 12 , γ 23 , γ 31 определяемыечерез главные линейные деформации15:(2.32)γ 12 = ε1 − ε 2 ;γ 23 = ε 2 − ε 3 ;γ 31 = ε 3 − ε1 .Линейные деформации в площадках главных сдвиговых деформаций:ε +εε +εε +εε12 = 1 2 ;ε 23 = 2 3 ;ε 31 = 3 1(2.33)222В площадках, равнонаклоненных к осям координат (октаэдрическихплощадках) возникают октаэдрические деформации16:ε +ε +ε1ε O = ε cp = 1 2 3 = I1 (Tε )33(2.34)2222(ε1 − ε 2 ) + (ε 2 − ε 3 ) + (ε 3 − ε1 )γO =3по аналогии с показателем Лоде-Надаи для напряжений вводятпараметр Лоде-Надаи для деформаций:ε −ε2ε − ε − ε(ε − ε ) − (ε1 − ε 2 )µε = 2 2 3 − 1 = 2 1 3 = 2 3(2.35)ε1 − ε 3ε1 − ε 3ε1 − ε 3Аналогично напряженному состоянию, для деформированногосостояния можно также построить диаграмму Мора.
Следует помнить, чтодиаграмму Мора для напряжений строят в координатах σ ,τ , а диаграммуγМора для деформаций в координатах ε , .22.6. Истинные деформации. Приращения деформацийОтносительная деформация Коши является очень удобной дляиспользования, поскольку имеет достаточно простое определение и являетсятензорной величиной. Однако при выводе соотношений для деформацииКоши элементарного отрезка мы использовали допущения о малойдеформации. Малыми являются упругие деформации, поэтому деформацииКоши применяются в теории упругости. В обработке давлением приходитсяиметь дело с большими (или как их еще называют конечными)деформациями. Для таких величин деформации, определенные по формуламдеформаций Коши уже не являются тензорными величинами.При выводе выражения для малой деформации элементарного отрезкамы пренебрегли квадратами производных по сравнению с самимипроизводными:ui2, j << ui , j1(σ1 − σ 2 ); σ12 = 1 (σ1 + σ 2 )221116(σ1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ1 )2Сравните σ O = I1(Tσ ); τ O =3315Сравните τ12 =62Для конечных деформаций произведением производных пренебречьуже нельзя, поэтому компоненты тензора конечных деформаций имеютболее сложный вид:1ε ij = (ui , j + u j ,i + u k ,i u k , j ) , i, j , k = x, y, z(2.36)2Ввиду сложности эти формулы в теории обработки давлением неиспользуются.
Если в этих формулах пренебречь произведениемпроизводных, то мы придем к формулам Коши.На первый взгляд, возможно использовать подход при которомконечную деформацию можно рассматривать как сумму несколькихпоследовательных деформаций, каждая из которых является малой.
Однакотакой подход не реализуем, поскольку деформации Коши не обладаютсвойством аддитивности. Действительно, рассмотрим конечную деформациюстержня начальной длиной L0 до величины L2 . Тогда относительнаядеформация:L − L0ε 02 = 2L0Представим процесс растяжения стержня как сумму двух шагов –сначала от L0 до L1 , а затем от L1 до L2 . Определим деформации на каждомиз этих шагов:L −LL −Lε 01 = 1 0 , ε12 = 2 1 .L0L1Очевидно, что ε 02 ≠ ε 01 + ε12Введем понятие бесконечно малой деформации или приращениядеформаций:dldε = ,(2.37)lгде l – текущая длина элементарного отрезка, dl – бесконечно малое ееизменение.Проинтегрировав приращение деформаций вдоль траектории движенияматериальной частицы, получим т.н.
истинную деформацию.δ = ∫ dεl(2.38)В случае деформации стержня (траектория движения частицы –прямая) приходим к логарифмической деформацииLL dlLδ = ∫ dε = ∫= ln(2.39)L0L0 lL0Поэтому для однородной деформации истинная деформация равналогарифмической17.17Не следует смешивать понятия истиной и логарифмической деформации. Вобщем случае деформированного состояния они не равны друг другу.63Истинные деформации, в отличие от малых, обладают свойствамиаддитивности. Используем пример с растяжением стержня за два шага.Общая истинная деформация стержня:Lδ 02 = ln 2L0Истинная деформации на промежуточных шагах:LLδ 01 = ln 1 , δ12 = ln 2 .L0L1Тогда:LLLLLδ 01 + δ12 = ln 1 + ln 2 = ln 1 2 = ln 2 = δ 02L0L1L0 L1L0Логарифмическая деформация может быть выражена черезотносительную деформацию:⎛ L + ∆L ⎞L⎟⎟ = ln(1 + ε )δ = ln= ln⎜⎜ 0L0L0⎠⎝∆LЗдесь ∆L - удлинение или абсолютная деформация, ε =L0относительная деформация.Рассмотрим вопрос о том, в каких пределах логарифмическиедеформации можно заменить малыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
