Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний (1072017), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поскольку ось z главная, то направляющий косинус всехэтих площадок n z = 0 .Для площадок параллельных оси z элементарная пирамидапревращается в прямоугольную призму, основанием которой являетсяпрямоугольный треугольник. Вид на такую элементарную призму со стороныположительного направления оси z представлен на рисунке. Для таких41наклонных площадок справедливо, что вектор полного напряжения pn лежитв плоскости, перпендикулярной этой площадке (Рис. 1.17).yypnnnσxτnσxσnσn=pn=στxyτxyατyxαxσyτyxxσyРис. 1.17. К определению главных напряжений для плоской задачиДля определения главных напряжений, как и в общем случае, будемсчитать, что в некоторая наклонная площадка есть площадка главныхнапряжений, в которой p n = σ n = σ .
Используя формулы (1.4),определяющие проекции полных напряжений в наклонной площадке черезнапряжения в координатных площадках и направляющие косинусынаклонной площадкиpi = σ ji n j ,а также то, что в главных площадках полное напряжение равнонормальному и, следовательно:pi = pn ni = σ niполучим систему однородных линейных алгебраических уравненийотносительно направляющих косинусов.
В плоском случае надо учесть, чтовсе касательные напряжения, имеющие в индексе z , равны нулю.p x = σn x = σ xx n x + τ xy n yp y = σn y = τ yx n x + σ yy n yНетривиальное решение этой системы возможно при равенстве нулюследующего определителя:σ x −στ yx∆==0τ xyσ y −σРазвертывая определитель:(σ x − σ )(σ y − σ ) − τ xyτ yx = 0Преобразуя получим :422σ 2 − (σ x + σ y )σ + σ xσ y − τ xy=0Откуда для ПДС:σ 11 ⎫ σ x + σ y 1±⎬=σ 33 ⎭22(σ x − σ y )2 + 4τ xy2(1.45)σ + σ 33σ 22 = 11=σz2Таким образом, для плоского деформированного состояниянапряжение, действующее в направлении отсутствующей деформации,является одновременно средним главным и средним нормальнымнапряжением.σ z = σ cp = σ 22Для плоского напряженного состояния заранее нельзя сказать, чтоглавное напряжение, направленное вдоль оси z и равное нулю, являетсясредним главным.
Оно может быть и максимальным и минимальным исредним. Поэтому, в приведенных ниже формулах для плоскогонапряженного состояния нижние индексы обозначают просто порядковыйномер главного напряжения:σ1 ⎫ σ x + σ y 12±σ x − σ y 2 + 4τ xy⎬=σ2⎭22()σ3 = 0 =σ zОпределим угол наклона площадки главных напряжений. Очевидно,что для плоских задач направление площадки достаточно задавать однимуглом α. Действительно, поскольку n z = 0 , то n x2 + n 2y = 1 .Обозначив через α угол между нормалью к площадке и осью x,получим:n x = cosα ; n 2y = 1 − cos 2 α ⇒ n y = sin αВернемся к рассмотрению первых двух уравнений системы, полагая вних σ ≠ 0 , тогдаn x σ x n x + τ xy n y=n y τ yx n x + σ y n yпреобразуя:τ xyσx −σ y=nx n yn x2 − n 2yс учетомn x = cosα ; n y = sin α ,cos 2 α − sin 2 α = cos 2α ; 2 sin α cosα = sin 2α получим43tan 2α =2τ xy(1.46)σx −σ y1.17.
Приближенные уравнения равновесия в анализеформоизменяющих операций листовой штамповкиСуществует целая группа технологических операций обработкидавлением, в которых в качестве заготовки используется листовой материал.Эти операции называются операциями листовой штамповки.Операции листовой штамповки делятся на формоизменяющие иразделительные. Разделительные операции характеризуются отделениемодной части заготовки от другой. При формоизменяющих операцияхизменяетсяформазаготовкибезееразрушения.Основныеформоизменяющие операции листовой штамповки (гибка, вытяжка,отбортовка, обжим, раздача) приведены на рисунке Рис.
1.18. Остальныеоперации в своем большинстве могут быть приведены к совокупности этихосновных операций.вытяжкагибкаотбортовкаобжимраздачаРис. 1.18. Формоизменяющие операции листовой штамповкиДля анализа операций листовой штамповки удобно ввести понятиесрединной поверхности - поверхности, делящей толщину заготовки пополам.Основными свойствами формоизменяющих операций листовойштамповки, которые будут нами использоваться в дальнейшем при анализе,являются следующие:1. При формоизменяющих операциях деформации подвергается только частьзаготовки – т.н. очаг пластической деформации (на рисунке изображенмелкой штриховкой). Остальная часть заготовки деформируется упруго.442.
Заготовка в очаге пластической деформации обычно имеет контакт толькос одним деформирующим инструментом.3. Радиусы кривизны заготовки в зоне контакта с деформирующиминструментом обычно значительно больше толщины заготовки, поэтомунормальные напряжения на контактных поверхностях значительноменьше напряжений, возникающих в плоскости, параллельной срединнойповерхности.4. Схему напряженного состояния в очаге пластической деформации можнопривести к плоской или осесимметричной.5. Очаг деформации при осесимметричном деформировании можноразделить на участки, в каждом из которых кривизна заготовки в сечении,проходящем через ось симметрии постоянна.Плоское деформированное состояние имеет место при гибке широкихзаготовок в сечениях удаленных от краев заготовки.
Плоское напряженноесостояние имеет место в остальных случаях. При этом часто плоскоенапряженное состояние в операциях листовой штамповки одновременноявляется и осесимметричным.Рассмотрим частный случай, когда очаг пластической деформациивозникает в плоской части листа, например, во фланце заготовки привытяжке.
В этом случае удобно напряженное состояние являетсяодновременно плоским напряженным и осесимметричным. При плоскомнапряженном состоянии отсутствуют касательные напряжения в плоскостях,перпендикулярных оси отсутствующего напряжения (в данном случае оси z ).При осесимметричном состоянии – отсутствуют касательные напряжения вмеридиональных плоскостях – плоскостях проходящих через ось симметрии.Таким образом, в этом случае нормальные напряжения в координатныхплощадках σ ρ ,σ θ являются главными (Рис.
1.19).σθσρσρσθРис. 1.19. Схема осесимметричного плоского напряженногосостоянияУравнения равновесия для этого случая можно получить из уравненийравновесия для осесимметричного напряженного состояния, положив в нихτ ρz = τ zρ = 0 . Кроме того, следует учесть, что для плоской задачинапряжения не зависят от координаты z . Тогда система уравненийравновесия преобразуется к одному, в котором от частных производныхможно перейти к полным:45dσ ρ+σ ρ − σθ=0ρ(1.47)dρДля пространственной заготовки, или пространственного очагапластической деформации уравнения равновесия получают проектированиемсил на нормаль к серединной поверхности.В формоизменяющих операциях листовой штамповки часто металлконтактирует с одной поверхностью деформирующего инструмента.
Тогдадля осесимметричной задачи можно получить одно приближенное уравнениеравновесия элемента, выделенного в участке очага деформации и имеющегопостоянную кривизну в меридиональном сечении.Это уравнение выводится на основе безмоментной теории оболочек, воснову которой положены следующие допущения:σmσnnσnσθРис. 1.20. Основные допущения безмоментной теории оболочек1. Нормальные напряжения на площадках, параллельных срединнойповерхности, пренебрежимо малы по сравнению с другими компонентаминапряжений.2. Направление нормали к серединной поверхности в процессе деформациине изменяется.3. Нормальные напряжения, действующие в сечениях оболочки,распределяются равномерно по ее толщине. Это допущение означаетпренебрежение изгибающими моментами, действующими в сеченияхоболочки.
Отсюда название – безмоментная теория оболочек.Все уравнения для безмоментной теории оболочек выводятсяприменительно к серединной поверхности оболочки.Привыводеуравненияравновесияприменительнокформоизменяющим операциям листовой штамповки дополнительно сделаныследующие допущения:1. Оболочка контактирует только с одной поверхностью рабочегоинструмента. На этой поверхности возникают контактные силы трения.Поскольку нормальные силы малы (см.
выше), то контактные силы трениятакже малы, и следовательно, допустимо использовать закон Амонтона –Кулона, согласно которому τ k = µσ n . (При малых значениях сил тренияони никогда не достигнут максимальной величины, равной k ).462. Вследствие малости сил трения можно пренебречь парнымикасательныминапряжениямивплощадках,перпендикулярныхповерхности оболочки.
Таким образом, напряжения, действующие в этихплощадках, σ m ,σ θ считаем главными.3. Оболочка является оболочкой вращения и, следовательно, имеетпостоянную кривизну в широтном сечении6.σmσθ σnτκ=µσnσnµσnσθРис. 1.21. Дополнительные допущенияПусть некоторая пластически деформируемая оболочка вращенияимеет толщину s . Выделим в очаге деформации оболочки элемент abcd,образованный пересечением двух меридиональных7 и двух широтныхсечений (Рис. 1.22).
Угол, между касательными к образующим оболочки вмеридиональных сечениях - dθ , между образующими широтных сечений вмеридиональной плоскости - dα , а в широтном направлении - dβ . Крометого, на рисунке обозначено: Rθ - радиус кривизны в широтном сечении; R ρ- радиус кривизны в меридиональном сечении; ρ - радиус кривизныоболочки в сечении, проходящем перпендикулярно оси симметрии; dγ - уголмежду плоскостями широтных сечений (равен проекции угла dθ наплоскость, перпендикулярную оси симметрии).Из элементарных геометрических соображений получим:dρρab = ρdγ = Rθ dβ =dθ ; bc = Rm dα =sin αsin αПри составлении уравнений равновесия все элементарные силы, в томчисле и силу трения, будем относить к срединной поверхности.Проецируя силы на нормаль к поверхности, получим:dαdβσ n f 3 − 2σ m f1− 2σ θ f 2=0(1.48)2267Широтное сечение – сечение конической поверхностью, образующиекоторой нормальны поверхности оболочки, а вершины конусов лежат наоси симметрии оболочки.Меридиональное сечение – сечение, проходящее через ось симметрии (осьвращения) оболочки.47σmdθdγdαRmaσθ σnαf2Rθf1f2bd µσnf1+df1cdαασθρf3σm+dσmρ+dρRmτdβRθdαРис.
1.22. К выводу уравнений равновесия для формоизменяющих операцийлистовой штамповкиПлощади элементарных поверхностей:f1 = ab × s = sRθ dβ = sρdγdf1 = s × dρdγ⇒f 2 = bc × s = sRm dα = sdρsin αdρsin αПодставляя первые значения полученных площадей в уравнениепроекций на нормаль (1.48), получим8:σ n Rθ Rm dαdβ − σ m sRθ dαdβ − σ θ sRm dαdβ = 0Сокращая на sRθ Rm dαdβ , получим уравнение, известное вбезмоментной теории оболочек как уравнение Лапласа:f 3 = ab × bc = Rθ dβRm dα = ρdγσnσσ− m − θ =0(1.49)sRm RθПроецируя силы на ось τ касательную к поверхности вмеридиональном сечении, получим:dαdαdθ− σ m f1 cos+ (σ m + dσ m )( f1 + df1 )cos− µσ n f 3 − 2σ θ f 2=0222Подставляя вторые значения в выражениях для площадей, значение σ nиз уравнения Лапласа, а также пренебрегая бесконечно малыми высшихпорядков и приводя подобные члены получим:8В учебнике М.В.Сторожева и Е.А.Попова напряжения в меридиональномсечении обозначены не σ m , а σ ρ .
Мы используем обозначения σ m , чтобыподчеркнуть, что меридиональные напряжения действуют в направлении,перпендикулярном меридиональному сечению, а не в направлении оси ρ .48⎛σσ ⎞ dρdθdσ m sρdγ + σ m sdρdγ − µs⎜⎜ m + θ ⎟⎟ρdγ − σ θ sdρ = 0RRsinαsinαθ ⎠⎝ mdγСокращая на sdρdγ , получим уравнение равновесия элементазаготовки постоянной толщины, выделенного в пространственном участкеочага деформации при осесимметричном деформировании заготовки сналичием трения на контактной поверхности.dσµ ⋅ ρ ⎛ σ m σθ ⎞⎟=0⎜(1.50)ρ m + σ m − σθ −+dρsin α ⎜⎝ Rm Rθ ⎟⎠Если оболочка имеет переменную толщину вдоль образующей, тоуравнение равновесия принимает следующий вид:dσ⎛µ ⋅ ρ ⎛ σ m σθ ⎞ρ ds ⎞⎟⎟ = 0⎜⎜(1.51)⎟⎟ − σ θ −ρ m + σ m ⎜⎜1 ++dρsdRRsinαρ⎠⎝θ ⎠⎝ m2. Теория деформированного состояния2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
