Власов А.В. - Основы теории напряжённого и деформированного состояний (1072017), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Одна из частей мысленно отбрасывается, а ее действие наоставшуюся часть заменяем системой внутренних сил. Пусть на бесконечномалую площадку этого сечения ∆F действует сила ∆P . В общем случае4направление действия силы ∆P не совпадает с направлением нормали кплощадке n .∆PnαM∆FРис. 1.1. К определению напряженияВектором напряжения (полного напряжения), действующего вплощадке, проходящей через точку М, называют предел:∆P(1.1)p = lim∆F → 0 ∆ FЧерез точку можно провести бесконечное число площадок, каждая изкоторых будет иметь свое направление нормали. Величина полногонапряжения p будет зависеть от направления нормали к элементарнойплощадке. Таким образом:p n = p (n )Направление вектора полного напряжения p n в общем случае несовпадает с направлением нормали n .
В этом случае его можно разложить нанормальное и касательное напряжения:(1.2)σ n = p cos α ; τ n = p sin αочевидноpn2 = σ n2 + τ n2(1.3)1.3. Напряжения в координатных площадках. Индексация.Правило знаковНемного позже мы докажем, что полное напряжение в произвольнойплощадке однозначно определяется векторами напряжений в трех взаимноперпендикулярных площадках, проходящих через точку и направлениемнормали.В качестве таких трех площадок удобно рассматривать площадки,расположенные параллельно координатным плоскостям.
Такие площадкиносят название координатных.Наиболее распространенной является декартова система координат ипрежде, чем перейти к определению полного напряжения рассмотрим5обозначения нормальных и касательных напряжений в координатныхплощадках декартовой системы координат.Проведем через напряженную точку М три плоскости, параллельныеплоскостям координат. Построим параллелепипед, ребра которого примембесконечно малыми.
Тогда на гранях такого элементарного параллелепипеда,проходящих через точку М, можно изобразить векторы напряжений,действующих в каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок (Рис.1.2). Напряжения в каждой площадке разложим на три (любой вектор м.б.разложен на три взаимно перпендикулярных): нормальное σ – направленноеперпендикулярно площадке и два касательных τ – расположенных вплоскости площадки и направленных вдоль координатных осей.Введем следующее правило индексации напряжений:Первый индекс указывает направление нормали площадки, второй направление оси, на которую проектируется вектор напряжения.
Например,обозначая напряжение τxy , имеем в виду, что это касательное напряжениедействует в площадке, перпендикулярной к оси x в направлении оси y.ZYXσzτzx τzyτyzMτxzσyτxy τyxσxРис. 1.2. Индексация напряжений в координатных площадках.Очевидно, что для нормальных напряжений направление нормали кплощадке и направление действия совпадает, поэтому для краткости вместоσxx используют запись σx, аналогично и для других осей.Используют также другую запись, когда все составляющие напряженийв площадках, параллельных декартовым плоскостям (и нормальные икасательные) обозначают через σ. В этом случае, если подстрочные индексысовпадают, например σyy, то это нормальное напряжение, если нет, напримерσyz, то это – касательное.
Правила индексирования аналогичны принятымвыше (первый индекс – направление нормали, второй, направлениедействия). В этом случае всю совокупность напряжений в координатныхплощадках можно обозначить как σij, где i,j принимают значения x,y,z.Для напряжений в координатных площадках принято следующееправило знаков: если внешняя нормаль к площадке совпадает сположительным направлением координатной оси, то за положительноенаправление напряжений, действующих на этой площадке, принимают6положительное направление соответствующих осей.
Если внешняя нормаль кплощадке совпадает с отрицательным направлением координатной оси, то заположительное направление напряжений принимают отрицательноенаправление координатных осей.Руководствуясь этим правилом, следует признать, что все напряжения,показанные на рисунке – имеют положительное направление.Положительные нормальные напряжения называют растягивающими, аотрицательные нормальные напряжения – сжимающими.1.4. Напряженное состояние в точкеНапряженное состояние в точке будем считать известным, еслиизвестен вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей черезданную точку.Если мы знаем напряженное состояние в каждой точке тела,следовательно, мы знаем напряженное состояние всего тела.Докажем, что если заданы напряжения в трех взаимноперпендикулярных площадках, проходящих через заданную точку, то еенапряженное состояние полностью определено.
Иными словами, если мызнаем напряжения в трех взаимно перпендикулярных площадках, то мызнаем и напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку.Для этого рассмотрим в окрестности точки М бесконечно малыйтетраэдр МАСВ, так, чтобы три его грани были параллельны координатнымплоскостям, а четвертая была бы наклонена к координатным плоскостям(Рис. 1.3).ZCαzpzσyτyzτyx τM pαxpnxτzyσxτxyτxzσn αypyτzxNnYBσzX AРис. 1.3. К определению напряжений в наклонной площадке.7Положение этой четвертой, наклонной грани определитсянаправляющими косинусами нормали n наклонной площадки относительноединичных векторов координатных направлений e x , e y , e z :n x = cos(n , e x ) = cosα x ; n y = cos(n , e y ) = cosα y ; n z = cos(n , e z ) = cosα z ;Пусть площадь наклонной грани ∆F, тогда площади остальных граней:∆Fx = ∆F × n x ;∆Fy = ∆F × n y ;∆Fz = ∆F × n z ;Пусть также в наклонной грани действует какое-то полное напряжениеpn .Разложим вектор полного напряжения(pn = p x , p y , p zp n на три составляющие:)TОчевидноp x2 + p 2y + p z2 .pn =Напомним, что напряжения в координатных площадках x,y,z мысчитаем известными.
Для равновесия тетраэдра сумма проекций сил нанаправления координатных осей должны быть равны нулю.∑ X = 0; ∑Y = 0; ∑ Z = 0.Рассмотрим первое уравнение:− σ x ∆Fx − τ yx ∆Fy − τ zx ∆Fz + p x ∆F = 0.Уже получено:∆Fx = ∆F ⋅ nx ;∆Fy = ∆F ⋅ n y ;∆Fz = ∆F ⋅ nz ;Тогда, сокращая на ∆F , получаемp x = σ x n x + τ yx n y + τ zx n z .Рассматривая проекции сил на остальные координатные оси,окончательно получим систему уравнений:p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫⎪⎪p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬(1.4)⎪p z = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎪⎭Выражения (1.4) можно упростить, используя знак суммирования:pi = ∑σ ji n j ,i , j = x, y , zjВыражения такого вида удобно представлять в сокращенной записи.Правило сокращенной записи введено Альбертом Эйнштейном изаключаются в следующем:Знак суммы опускается, а по каждому повторяющемуся в одночленеиндексу ведется суммирование.
Повторяющийся индекс называют немым, анеповторяющийся – свободным. В выражении для напряжения в свободнойплощадке повторяющийся (немой) индекс – j, а неповторяющийся(свободный) – i.В сокращенной записи система уравнений примет вид:8(1.5)pi = σ ji n j , i, j = x, y, z .Полученные нами выражения показывают, если известны девятькомпонентов напряженного состояния в трех взаимно перпендикулярныхплоскостях, проходящих через точку, то можно определить полноенапряжение на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку.Таким образом, напряженное состояние в точке полностью определенодевятью компонентами напряжений в трех взаимно перпендикулярныхплощадках, проходящих через эту точку.Нормальное напряжение в наклонной площадке определяется каксумма проекций компонент p x , p y , p z на нормаль к площадке n()σ n = p x n x + p y n y + p z n z = ∑ pi ni = pi ni = σ ji n j ni = ∑∑σ ji n j ni ,ii(1.6)jКасательная составляющая напряжения согласно выражению (1.3)определится по формуле(1.7)τ = p n2 − σ n2 .1.5.
Закон парности касательных напряженийСоставим еще три уравнения равновесия элементарной пирамиды:сумма моментов всех сил относительно осей координат равна нулю.CτyxZ`τxzτyz X` O`ττzy zxτxyY`BAРис. 1.4. К выводу закона парности касательных напряженийС целью упрощения преобразований поместим начало новой системыкоординат в центре тяжести грани ABC пирамиды (Рис.
1.4). Координатамицентра тяжести, очевидно, будут111x0' = ∆x; y0' = ∆y; z0' = ∆z.3339Центры тяжестей граней AMB, BMC, CMA совпадают с проекциями насоответствующие координатные плоскости точки O'. На рисунке отобразимтолько касательные напряжения, поскольку только они дают крутящиймомент относительно точки O'Рассмотрим уравнение ∑ M x ′ = 0 . При составлении суммы моментоввсех сил относительно оси x' учтем, что силы τ xy ∆Fn x , τ xz ∆Fn x , σ y ∆Fn y ,σ z ∆Fn z пересекают ось.
Поэтому в условие равновесия войдут моментытолько двух поверхностных сил (τ yz ∆Fn y и τ zy ∆Fn z ):11τ yz ∆Fn y ∆y − τ zy ∆Fn z ∆z = 0 .331111Так как∆Fn y ∆y = ∆Fy ∆y = ∆Fn z ∆z = ∆Fz ∆z = V (V - объем3333пирамиды), то τ yz = τ zy .τ xz = τ zx и τ yx = τ xy , т.е.составляющие касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярныхплощадках, нормальные к линии пересечения этих плоскостей, равны междусобой (закон парности касательных напряжений).Таким образом, напряженное состояние в точке определяется девятьюкомпонентами напряженного состояния, из которых шесть касательныхпопарно равны.Используя закон парности касательных напряжений, развернемвыражение (1.6)σ n = σ ij ni n j = σ xj n xσ j + σ yj n y n j + σ zj n z n j =Аналогичнорассуждая,получаем= σ xx n x n x + σ xy n x n y + σ xz n x n z ++ σ yx n y n x + σ yy n y n y + σ yz n y n z +.(1.8)+ σ zx n z n x + σ zy n z n y + σ zz n z n z == σ x n x2 + σ y n 2y + σ z n z2 + 2τ xy n x n y + 2τ yz n y n z + 2τ zx n z n x1.6.
Тензор напряжений.Итак, напряженное состояние в точке определяется 9-ю величинаминормальных и касательных напряжений в 3-х взаимно перпендикулярныхплощадках, проходящих через эту точку.Эти девять величин σ ji , которые связывают между собой проекцииполного напряжения в некоторой площадке pn и направляющие косинусыэтой площадки n составляют симметричный тензор 2-го ранга, называемыйтензором напряжений:10⎛ σ x τ yx τ zx ⎞⎜⎟Tσ = ⎜τ xy σ y τ zy ⎟⎜⎟⎝ τ xz τ yz σ z ⎠Попытаемся разобраться в понятии тензора.Допустим, что компоненты напряжений заданы в произвольнойсистеме координат Oxyz (для простоты воспользуемся второй формойзаписи):⎛ σ xx σ yx σ zx ⎞⎜⎟⎜ σ xy σ yy σ zy ⎟ или σ ji⎜⎟⎝ σ xz σ yz σ zz ⎠Введем новую систему координат Ox'y'z' , повернутую относительнопервой вокруг начала координат O.
Положение каждой из осей новойсистемы координат зададим направляющими косинусами углов γ i' j междуновой осью и старыми осями (Рис. 1.5).zx' γx'zγx'yz'yγx'xOxy'Рис. 1.5. Положение новой системы координат при повороте координатныхосейНапример, для оси x' :n x ′x = cos(γ x ′x ); n x ′y = cos(γ x ′y );n x ′z = cos(γ x ′z )Таким образом, положение новой системы координат относительносистемы x, y, z задано девятью направляющими косинусами типа:xyzx ′ n x ′x n x ′y n x ′z,y ′ n y ′x n y ′y n y ′zz ′ n z ′x n z ′y n z ′zкоторые могут быть объединены в матрицу направляющих косинусов11⎛ nx ' x nx ' y nx ' z ⎞⎜⎟ni ' j = ⎜ n y ' x n y ' y n y ' z ⎟⎜⎜⎟⎟⎝ n z ' x nz ' y n z ' z ⎠Следует заметить, что только три направляющих косинуса в этойматрице независимы, остальные являются зависимыми.Напряженное состояние в рассматриваемой точке тела в новойкоординатной системе определяется напряжениями σ j ′i ′ .⎛σ x'x' σ x' y' σ x'z' ⎞⎜⎟σ j ' i '= ⎜ σ y ' y ' σ y ' x ' σ y ' z ' ⎟⎜⎜⎟⎟σσσ.''''''yzzzxz⎝⎠Поскольку напряженное состояние в точке не может зависеть отвыбора координатных осей, то между компонентами напряжений вкоординатах xyz и x'y'z' должна существовать взаимосвязь.Можно показать, что в сокращенной записи эта зависимость имеетследующий вид:(1.9)σ j ' i ' = n j ' i ⋅ ni ' j ⋅ σ ji ,где i, j = x, y, zПроверим эту запись для компонента σ x ' x ' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
