Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Третий луч вдоль побочной оптической оси В! ЯВг проходит через оптический центр линзы (точку Я), — он ллдет, не преломляясь. Построение этих лучей выполняется без затруднений. Всякий другой луч, идущий из % ! 3-С В1, нужно было бы строить у! ~2 А2 при помощи закона преломления, что гораздо сложнее. Но ! ! ! Уг ! из свойства гомоцентричности следует, что после выполнения построения любой преломленный луч пройдет через точку Рис.
12.19. Построение изображения в Вг. Так как построение изоб- тонкой линзе ражения точки В1 сводится к геометприческо!1 задаче отыскания точки В>, то нет надобности, чтобы выбранные простейшие пары лучей имеллл реальный характер. В частности, когда А1В1 болыпе размеров линзы (например, фотографирование), лучи В!С, В1.0 (рис. 12.20) пе проходят через линзу, Рис. 12.20. Ограничение пучков в тонкой линзе но могут быть использованы для построения изображения. Реальные лучи, участвующие в построении изображения, ограничены оправой 268 ГЕОМЕТ1"ИЧЕОКАЯ ОПТИКА линзы МХ, но сходятся, конечно, в той же точке В„, ибо линза предполагается достаточно хорошей.
так что проходящие через нее пучки остаются гомоцентрическими. Определив поперечное увеличение, как и в 8 74, при помощи соот- 42.Б2 У2 ношения 1' = — ' = —, найдем из рис. 12.19 А1В1 У1 ' (78.1) ЯА~ а1 Аналогично изложенному в 8 74 найдем, что для действительных изображений 1' < О, т.е. изображение обратное, а для мнимых 1' ) О, т.е.
изображение прямое. Главными плоскостями линзы, как и всякой системы, являются те сопряженные плоскости, для которых 1~ = 1. Для тонкой линзы эти плоскости сливаются в одну, проходящую через оптический центр перпендикулярно к оптической оси (т.е. а1 — — ав = 0) (см. упражнение 100).
Таким образом, фокусные расстояния линзы, которые должны отсчитываться от главных плоскостей, в случае тонкой линзы могут отсчитываться от ее поверхности. Тонкая линза как система двух центрированных поверхностей представляет простейшую оптическую систему, дающую довольно несовершенное изображение. В большинстве случаев мы прибегаем к построению более сложных систем, характеризующихся наличием болыпого числа преломляющих поверхностей и не ограниченных требованием близости этих поверхностей (тонкости линзы).
Однако даже простые тонкие линзы имеют очень большое значение на практике, главным образом в качестве очковых стекол. В громадном болыпинстве случаев очки представляют собой просто тонкие линзы. Для классификации очковых стекол обычно применяется понятие оптической силы линзы. Опптчесхой силой называется величина, обратная заднему фокусному расстоянию линзы. Если фокусное расстояние измерять в метрах, то оптическую силу принято выражать в диоптриях, считая ее положительной или отрицательной в зависимости от того, собирательная линза или рассеивающая.
Так, например, рассеивающая линза с фокусным расстоянием 20 см (~ = — 1/5 м) имеет оптическую силу в — 5 диоптрий. $ 79. Идеальные оптические системы Гаусс (1841 г.) дал об1цую теорию оптических систем, получившую дальнейшее развитие в трудах многих математиков и физиков. Теория Гаусса есть теория идеальной оптической системы, т.е. системы, в которой сохраняется гомоцентричность пучков и изображение геометрически подобно предмету. Согласно этому определению всякой точке пространства обьектов соответствует в идеальной системе точка пространства изображений: эти точки носят название сопрялсенных.
Точно так же каждой прямой или плоскости пространства объектов должна соответствовать сопряженная прямая или плоскость пространства изображений. Таким образом, теория идеальной опти- гл. хп. основнын положипия гномнтгичнской оптики 269 ческой системы есть чисто геометрическая теория, устанавливающая соотношение между точками, линиями, плоскостями. Изложенное в 2 75 показывает, что идеальная оптическая система может быть осуществлена с достаточным приближением в виде центрированной оптической системы, если ограничиться областью вблизи оси симметрии, т.е. параксиальными пучками.
В теории Гаусса требование «тонкости» системы отпадает, но лучи по-прежнему предполага|отся параксиальными. Разыскание физической системы, которая приближалась бы к идеальной даже при пучках значительного раскрытия, есть задача прикладной геометрической оптики. Линия, соединяющая центры сферических поверхностей, представляет собой ось симметрии центрированной системы и называется главной оптической осью системы. Теория Гаусса устанавливает ряд так называемых кардииальнь~х точек и плоскостей, задание которых полностью описывает все свойства оптической системы и позволяет пользоваться ею, не рассматривая реального хода лучей в системе. Пусть ЛХМ и ХХ - крайние сферические поверхности, ограничивзлощие нашу систему, и 010г ее главная ось (рис.
12.21). Проведем луч А1В1, параллельный 0102; точка В1 есть место входа этого луча Рис. 12.21, Главные плоскости Н1Л1 и НгКг и фокусы Г1 и Ге оптической системы в систему. Согласно свойству идеальной системы лучу А1В1 соответствует в пространстве изображений сопряженный луч СгХ~, выходящий из системы в точке С2. Как идет луч внутри системы, нас не интересует.
Второй луч Р1 Я1 выберем вдоль главной оси. Сопряженный ему луч Я2Р2 будет также идти вдоль главной оси. Точка Г2 как пересечение двух лучей СвРа и ЯгР~ есть изображение точки, в которой пересекаются лучи А1В1 и РЯ1, сопряженные с С2Р. и ЯгРа. Но так как А1В1 ~~ РЯ1, то точка, сопряженная с Рг, лежит в бесконечности. Таким образом,Рг есть фокус (второй,или задний) нашей системы. Плоскость, проходящая через фокус перпенликулярно к оси, носит название фокальной. Повторяя те же рассуждения для луча АгВа и осевого луча Ра Яа, найдем точку Р1, являющуюся передним фокусом пашей системы. причем точка С1 есть точка выхода луча, сопряженного с АаВ2.
Продолжим теперь У"1С1 и У'„С„до пересечения с продолжениями А1В1 и АгВа и отметим точки пересечения Л1 и Лг. Легко видеть, что Л1 и Л вЂ” сопряженные точки. Действительно, Л1 есть точка пересечения лучей А1В1Л1 и Е1С1Л1, которым сопряжены соответственно лучи 270 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА Л С2г2 и Л2В2А, пересекающиеся в Л2. Из построения ясно также, что Л1 и Л2 лежат на одинаковом расстоянии от главной оси, т.е.
Н1Л1 —— Н2Л», или линейное поперечное увеличение равно 1т Н2Л2 +1 Н1 В1 Специальными рассуждениями можно показать, что и любая точка линии Н1Л1 сопряжена с точкой линии Н2Л2, лежащей на такой же высоте от 010, как и выбранная. То же относится и к плоскостям, проведенным через Н1 Л1 и Н2Л» перпендикулярно к главной оси, ибо вся система симметрична относительно оси.
Итак, мы отыскали две плоскости Н1Л1 и Н2Л,„, точки которых сопряжены и изображаются с увеличением, равным +1, т.е. плоскость Н1Л1 изображается на Н2Л2 прямо и в натуральную величину (рис. 12.22). Такие плоскости называются главны»ии плоскостями Рис. 12.22.
К доказательству существования главных плоскостей (лучи 1, 2, 3 и 1', й'» 8' сопряжены) ,» 1 12 — +— О1 О2 Н1 ,»2 Н2 ~1 тя» ББ (79.1) 11 Х2 1 Х2»1 ,»2 Х1 ') Выше предполагалось, что луч Л2Ед (см. рис. 12.21), сопряженный с лучом А»В1, параллельным оси, пересекает ось. Возможен, однако, случай, когда после прохождения системы луч остается параллельным оси. Этот исключительный случай соответствует так называемым телескопическим системам (см. З 92).
Для них фокусы и главные точки находятся в бесконечности. (см. ()' 74). Таким образом, мы показали, что идеальная система обладает главными плоскостями, и указали метод их отыскания. Точки Н1 и Н. пересечешля главных плоскостей с осью носят название гяавнь1х точек системы. Расстояния от главных точек до фокусов называются фокусными расс1поянияии системы 11 — — Н1 Г1 и Ь = Н2 г2 ). Определяя положение сопряженных точек их расстояниями (а1 и а2) от соответствующих главных плоскостей и сохраняя правило знаков, установленное в ~ 71, мы легко найдем ряд соотношений, определяющих положение сопряженных точек в данной системе и играющих роль формул системы. Важнейшие из пих (см.
упражнение 106) имеют вид гл. хп. осповнын положнния гномнтгичнской оптики 271 где т~ —— а~ — /д и х~ —— а~ — ~~ — расстояния сопряженных точек от соответствующих фокусов. Для распространенного случая, когда п~ — — и~ (источник и его изображение лежат в одной среде. например, в воздухе), имеем 2 — — — — х~жг= У Ь= А=У. (79.2) йа о1 Пользуясь правилом знаков, мы можем описать все свойства как собирательных, так и рассеивающих систем, ввести понятие мнимьгх точек и мнимых изображений и т.д. Главные плоскости и главные !! точки могут лежать как внутри, %Нг так и вне системы совершенно несимметрично относительно по- ! верхностей, ограничивающих си- б стему, например даже по одну сторону от нее (рис.
12.23). На- Рис. 12.23. Расположение главных поминаем еще раз, что фокус- плоскостей в собирающей (а) и расные расстояния отсчитываются от сеивающей (б) линзах-менисках главных плоскостей; поэтому даже когда ~~~~ = ~ 5~, расстояния от фокусов до поверхностей, ограничивалощих систему, могут быть весьма различны (пример: линзымениски, изображенные на рис. 12.23). Кроме линейного увеличения, систему можно также охарактеризовать угловым увеличением. Под угловым увеличением И' понимают отношение тангенсов углов и~ и и~, составляемых сопряженными Рис. 12.24.
К определению углового увеличения системы лучами А~Ма и А~М~ с оптической осью (рис. 12.24), т.е. И' = 1я п~ Из рис. 12.24 видно, что И' = а~/а~ (ибо Н~М~ — — Н~Мз), тогда п~аг как линейное увеличение 1' = — (см. ~ 74), т.е. я~а~ И'1г = — '. 272 ГЕОМЕТ1"ИЧЕСКАЯ ОПТИКА Для обычно встречающегося случая, когда предмет и изображение расположены в одной среде (п~ — — и~), имеем И'1~ = 1. Как угловое, так и линейное увеличение системы различно для разных точек оси; причем чем больше линейное увеличение, тем меньи~е угловое, т.е. при увеличении размеров изображения лучи, его образующие, составляют меньший угол. Это обстоятельство имеет важное значение при рассмотрении роли оптических инструментов в световом восприятии (см. ~ 95). Подобно тому, как сопряженные плоскости, для которых линейное увеличение Г = 1, имеют особое значение, сопряженные точки, в которых угловое увеличение И' = 1, также представляют собой особенные точки системы.
Точки эти называются узлами (или узловыми точками) и характеризуются тем, что сопряженные лучи, проходящие через узлы, параллельны друг другу, ибо и1 — — и2. Нетрудно показать, что в каждой системе такой парой точек будут точки Х1 и Х~, отстоящие от первого и второго фокусов соответственно на расстояния, равные второму и первому фокусным расстояниям (рис. 12.25), т.е.
х1 = К1%1 — — 12 и х2 = Х2Х2 = 1"1. Легко видеть, что точки Х1 Рис. 12.25. Положение узловых точек Х1 и Ьг~ и Лв — сопряженные, ибо их координаты удовлетворяют уравнению (79.1) системы х1х2 — — ~~~2. Кроме того, из рис. 12.25 видно, что их расстояния относительно главных плоскостей равны соответственно Н1Х1 — — а1 —— ,1'2 + 1'1 и Н2%2 —— а2 =,1'2 + 1'1, т.е. а1 — — а~ и, следовательно, для этих точек И' = а1/а2 — — 1.
Итак, указанные нами точки Х1 и Хв являются сопряженными и удовлетворяют требованию И~ = = 1, т.е. служат узловыми точками системы. Плоскости, проходящие через узлы перпендикулярно к оптической оси, называются узловыми 'плоскостхми. Шесть плоскостей (две фокальные, две главные и две узловые) и шесть точек главной оси, им соответствующие (фокусы, главные точки, узлы), называются кардинальными плоскостями и точками. Общее расположение кардинальных точек Е1. Х1, Н1, Е2, Х~, Н2 показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
