Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Время распространения света по пути РОЯ есть РО ОЯ 1= — + —, о~ ея где н и оя -- скорости света в первой и во второй средах. Обозначив РА = Ьл, ЯВ = Ье и АВ = р„найлдем, что /Р+0 'У + ~~:*Р н1 Ю2 Условие, определяющее, при каком значении т это время будет минлл- й мально, есть равенство нулю — . Из него следует: дх 1 х 1 р — т — О, т.е. а1н $ в1н г Ю1 юе или = — = сопв$ гл.
хп. основныи положиния гиомитгичиской оптики 253 Таким образом, из принципа Ферма вытекает закон преломления световых лучей. Аналогично можно рассмотреть задачу об отражении (см. упражнение 34). Интересно отметить, что принцип Ферма приводит к утверждению, что в среде с ббльшим показателем преломления (и~ > п1) скорость света меньше (оя < о1), т.е. находится в согласии с представлениями Гюйгенса и противоречит теории Ньютона. Обоснования принципа Ферма не были, однако, достаточно безупречными для того, чтобы, опираясь на. него, можно было делать выбор между теориями света.
Для того чтобы принцип Ферма выражал действительное положение дела, ему надо дать более общую формулировку, чем это было сй сделано самим Ферма; именно, условие — = О, выделяющее действи- ~1т тельный путь, есть условие экстремума, т.е. может быть не только условием минимума, но и условием максимума или стационарности, т.е.
действительный путь может быть минимальным, максимальным или равным всем остальным возможным путям, проведенным от Р к Я через границу раздела двух сред. Примером минимального О" пути являются разобранные вы- О ше случаи прохождения лучей через плоскую границу. ПримеУ М ром стационарного значения времени служит случай отражения -1 лучей от внутренней поверхно- Р сти эллипсоида вращения, в одном из фокусов которого расположена светящаяся точка Р ~рис. 12.4). Изображение Я~ по- лучаетсЯ в ДРУгом фокУсе, пРи- Рис. 12.4. К принципу Ферма.: дейчем согласно своиству эллипсо- „„,йп ида сумма (~ О + О® ест' по стационарному времени распрострастоянная для всех положений О. и Отражение от поверхности меньшей кривизны (МЛХ), например от плоскости, касательной к эллипсоиду, соответствует минимуму, а отражение от поверхности большей кривизны (ЖЛ') — максимуму длины пути (или времени) (ср.
упражнение 35). й 70. Основные определения. Закон преломления и отражения. Принцип взаимности Пользуясь представлениями, лучевой оптики, мы рассматриваем каждую светящуюся точку источника как вершину расходящегося пучка лучей, именуемого гомоцеитрическим, т.е. имеющим общий центр. Если после отражения и преломления этот пучок превращается в пучок, сходящийся также в одну точку, то и последний представляет собой гомоцентрический пучок и центр его является изобраясением светящейся точки.
При сохранении гомоцентричности каждая точка 254 ГЕОМЕТ1"ИЧЕОКАЯ ОПТИКА источника дает одну точку изображения. Такие изображения называются точечными или стигиатипескими (рис. 12.5). В слллу обратимости (взаимности) световых лучей (см. ниже) изображение можно рассматривать как источник, а источник — как изображение. Поэтому при стллгматическом изображен1ли центры наших пучков называются сопряженными точками той оптической системы, в которой происходит преобразование расходя- О 2З щегося гомоцентрическо- С го пучка в сходящийся.
Соответственные лучи и пучки также называ- А В ются сопрллсепным1А В Поверхность, нормальная к лр лам, называется волновой поверхностью (см. ~ 6). В указанном смысле волновая поверхность имеет чисто геометрический смысл и не имеет того глубокого содержания, которое мы / Е вкладывали в нее рань- Р д ше. Волновая поверх- ность гомоцентрического Рис. 12.5. Стигмати- Рис. 12.6.
Астигмати- пУчка в одноРоДной и ческое изображение ческое изображение изотропной среде есть, точки Ь. При про- точки Ь. При про очевидно, сферическая хождении черезопти- хождении через опти- поверхность. ческуло систему го- ческую систему гомо- Если в результате отмоцентричность пуч- центричность пучка ражения и преломлен1ля ка сохраняется нарушается пучок перестает быть го- моцентрическим, то волновая поверхность перестает быть сферой. Стигматичность изображения теряется, и точка уже не изображается точкой (рис. 12.6).
Так как в практической оптике обычно ставится задача. получения изображений, точно передающллх форму источшлка, то важнейшим вопросом лучевой оптики является выяснение условий сохранения гомоцентричности пучков. В основе всех построений лучевой оптики лежат законы преломления и отражения света. Мы рассмотрели во Введении их содержание и показали., какой смысл вкладывает в них волновая теория. Здесь мы воспроизведем лишь математическую формулировку этих законов, придав ей такое выражение, которое позволяет рассматривать вопросы преломления и отражения совместно, так что из формул, касающихся преломляющих систем (линз), могут быть сразу получены закллочения 1л для отражающих систем (зеркал). гл. хп.
осповнын положнния гномитгичнской оптики 255 Однако предварительно покажем, что при явлениях преломления и отражения соблюдается закон взаимности, или обратимости световых лучей. Пусть среда 1 отделена от вакуума тонкой плоскопараллельной пла.- стинкой среды 2 (рис. 12.7); ггг, п2 и У1 абсолютные и относительный показатели преломления соответствую- 2 гцих сред. Из рис. 12.7 ясно,что егп г П2~ Бгп сг Отсюда агп сг 21.
ягп г япг П2 1 21 ° вгв г Рис. 12.7. К выводу закона Последняя формула справедлива при любой толщине среды 2. взаимности при преломлении Перейдем к предельному случаю, когда среда в становится исчезаюьце тонкой, т.е. к случаю непосредственного преломления из вакуума в среду 1. Тогда имеем вшг'/вшг = пг. Сопоставляя эти две формулы, найдем 1У2г — — пг/п >. ПовтоРЯЯ те же РассУждешля для случая, когда тонкий слой среды 1 отделяет среду 2 от вакуума. найдем гУ12 = п2/гг1 или %12 — 1/%21, т е.
показатель преломленил первой среды относительно второй (Жг2) ровен обратному значению показагпелл преломленил второй среды относительно первой (%21). Отсюда непосредственно с гедует, что при преломлении на границе двух сред лучи остаются взаимными, т.е. при изРис. 12.8. Ход лучей при менении направления лучей на обратное отражении света их взаимное расположение не меняется (рис. 12.8).
В законе отражения этот принцип обратимости светового пути также действителен, как легко видеть из рис. 12.9 без дальнейших объяснений. Принцип взаимности сохраняет, конечно, свою силу при каком угодно числе преломлений и отражений, поскольку он соблюдается при каждом из них. Таким образом, принцип взаимности справедлив для всех задач, связанных с построением изображений. Закон преломления при переходе из первой среды во вторую (см.
рис. 12.8) гласит: = Жг2 — — — (70.1) Рис. 12.9. Ход лучей при от- ражении света или пг вш г = п2 в1п г, 256 ГЕОМЕТ1~ИЧЕСКАЯ ОПТИКА Закон отражения (см. рис. 12.9) выражается соотношением') г = — г'. (70.2) Его можно получить из предыдущей формулы, положив и1 — — — и2, откуда ЗШ1= — ЗШГ, г' = — Г. Итак, закон отражения получается из закона преломления, если положить из = — и1 и под г подразумевать угол отражения.
Таким образом, любую формулу, выведенную для преломляющих систем, можно использовать для описания явлений в отражающих системах. ~ 71. Преломление (и отражение) на сферической поверхности Предположим, что две среды с показателями преломления п и и2 разделяются сферической поверхностью Е (рис. 12.10). На линии Х Х', проходящей через центр сфе- Х ры О, поместим точечный иса, - А П2 точиик света Х.
Рассмотрим г узкий гомоцентрический ко- Ф нус лучей, падающий из Х на поверхность раздела двух сред. Мы предполагаем пучок Е настолько узким, т.е. угол ф настолько малым, что пракРис. 12.10. Преломле е параксяаль ~ тически можно считать отРе- т~о лучей на сферической грапипе двух сред зок Х''~, рави1'1м Х'А ' ' рав ным Х'А и т.д. Такой узкий а1 пучок будем называть париксиальны.м "). Итак, условие параксиальпости пучка есть ХЯж Х,А и ХХЯж Х'А.
Возьмем какой-либо луч из этого пучка, например Х А, падающий иа Е под углом 1', построим сопряженный ему преломленный луч АХ ' (угол преломления г) и найдем положение точки, в которой преломленный луч пересечет ось системы. Из треугольника АХО имеем ХО ап1 з ХА з1пу ' из треугольника ОАХ' АХ' яш ~р ОХ/ яш г 11 ) Знак минус означает, что углы г и ~ отсчитываются в разные стороны от нормали к поверхности. ) Линия ХХ~ называется обычно осью данной системы, Отсюда название — параксиальный (приосевой).
гл. хп. основиын положнпия гномнтгичнской оптики 257 Отсюда ХО Ат' япт н2 (71.1) Х,А ОЬ' япг нт ' В дальнейшем все отрезки вдоль оси будем отс плтывать от точки Я, счтлтая положительными отрезки, откладываемые от Я вправо (в направлении распространяющегося света), и отртлцательными отрезки, откладываемые влево. Таким образом, АА ж ЯЬ = — ат, АА' ~ ~ ЯЕ' = а2, АО = ЯО = Л (радиус нашей сферы). В таком случае ЫЗ = — ат + Я, ОЛ' = аг — В. Из формулы (70.1) получим — ат+Л аг пг — ат аг — Л ит т.е. (71.2) /1 1т Последняя формула показывает, что произведение и ( — — — ) при и Л преломлении сохраняет свото величину ф.
Его называют нулевым инварттантттом Аббе. Для многих целей этой формуле удобно придать вид ат 72~ нт 'п2 (71.3) от а2 17 Соотношение (71.3) позволяет найти длину а~ —— ЯЬ', ес,пл задано ат —— ЛЯ, т.е. позволяет отыскать положение точки А' по заданному т'.. При выводе его мы, кроме закона преломления, пользовались еще допущением, что луч ЬА принадлежит к параксиальному пучку. Следовательно, соотношентле справедливо для любого лучи параксиального пучка.
Из формулы (71.3) видно, что а при заданных параметрах задачи (нт, иг, И) завистлт только от ат. Таким образом, все лучи параксиального гомоцентрического пучка, выходящего из Х, пересекают ось в одной и той же точке Л', которая является, следовательно, стигматическим изображением источника А. Итак, гомоцентрический пучок при преломлении на сфертлческой поверхности остается гомоцентрическим, если он удовлетворяет условито параксиальности.
Основное уравнение (71.3) охватывает все случаи преломления лучей на сферической поверхности. Пользуясь установленным выше правилом знаков, мы можем разобрать слу-чай выпуклой (В > О) или вогнутой (В < О) поверхности. Точно так же в зависимости от того, будут ли ат и а~ иметь разные знаки или одинаковые, мы будем иметь случатл, когда тлзображение располагается с противоположной по сравнению с источником стороны преломляющей поверхности или лежит по одну сторону с ним.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
