Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 63
Текст из файла (страница 63)
В первом случае (а~ > О) точка, именуемая изображением, есть действтлтельно точка пересечения преломленных, лучей. Такое тлзображение называется деастивинтельным. Во втором случае (а~ < О), очевидно, преломленные лучи, идущие во второй среде, остаются расходящимися и реально не пересекаются. В этом случае название иаображенттл относится к той воображаемой точке, которая представляет собой место пересечения предполагаемого продолжения преломленных лучей.
9 Г.С. Ландсберг 258 ГЕОМЕТ1~11ЧЕСКАЯ ОПТИКА 8 72. Фокусы сферической поверхности Из основного уравнения (71.3) иг и2 и! ие аг а2 Л следует, что при аг — — — оо и2Й ав = ие — иг при аг — — оо игЛ ал — —— ие — иг (72.2) т.е. 11, 12 зависят только от радиуса кривизны поверхностгл Л и показателей преломления иг, и~ обеих сред. Величины 11 и 12 суть постоянные длины, характеризующие преломляющую поверхность. Они называются ее фокусными расспгалнилми: 1л — переднее фокусное расстояние (точка Гл — передний фокус); 1г — заднее фокусное расстояние (точка г2 — задний фокус) (рис. 12.11).
Таким образом, фокусом сферической поверхностлл называется точка, в которой сходятся после преломления параллельные лучи (т.е. Рис. 12.11. Фокусы сферической поверхности лучи, идущие из бесконечно удаленной точки). Понятно, что фокусы, так же как и изображения, могут быть действительными 11 мтлимыми, т.е. представлять точку пересечения преломленных лучей (бывших до Такое изображение называется мнимым.
Наши рассуждения и формула (71.3) показывают, что гомоцентрический пучок после преломления направлен так, что его лучи или пересекаются в одной точке (действительное изображение), или могут быть представлены как пересекающиеся в одной точке (мнимое изображение). Именно в этом смысле он и остается валлоцентрлгческим. Так как для всех наших рассуждений нам важно знать направление световых лучей, то при всех построениях мы одинаково можем пользоваться как действительным, так и мнимым изображением. Формула (71.3) показывает также, что если бы источнглк был в Е', то изображение расположилось бы в Е (взаимность).
гл. хп. основнык положипия гномнтгичиской оптики 259 преломления параллельными) или их предполагаемых продолжений. Так, если вогнутая сторона поверхности раздела обращена к среде, имеющей меньший показатель преломления, то оба фокуса будут мнимыми. В этом легко убедиться как из анализа формул (72.1) и (72.2), так и из построения. Параллельные лучи, идущие справа налево вдоль ХО (см. рис. 12.11), сойдутся в фокусе Г,', расположенном на линии ЮО и лежащем также на расстоянии ~~~ ~ от преломляющей поверхности.
Геометрическое место точек Г~К,'... образует сферическую поверхность с радиусом ~ — ~~ ~ (для случая, показанного на рис. 12.11, ~~ < О), концентрическую с преломляющей сферой (с центром в точке О). Эта поверхность носит название передней фокильной поверхносгпи. Аналогично построим заднюю фокальндю поверхность радиуса ф~ — И). Малые участки этих поверхностей (для параксиальной области) могут быть приняты за плоскости (фокальные плоскости). Фокусные расстояния сферической поверхности различны по знаку и не равны между собой по абсолютной величине (см.
рис. 12.11), ибо н~ ф и„. Рассматриваемый случай легко осуществить на опыте, взяв широкую стеклянную трубку и заклеив один ее конец часовым стеклом, имеющим сферическую форму. Если палить в трубку воду и,ли, еще лучше, бензол, показатель преломления которого практически совпадает с показателем преломления часового стекла, то получим сферическую границу раздела, между воздухом (и~ —— 1,00) и бензолом (н» вЂ” — 1,49). На этом простом аппарате легко убедиться, в согласии с (72.1) и (72.2), что ~2 п2 (72.3) ~1 ги Важным практическим примером одной преломляющей сферической поверхности является система, эквивалентная глазу и носящая название «приведенный глаз» (см.
~ 01). В качестве второго примера рассмотрим сферическое зеркало. Согласно сказанному в ~ 70 формулу (71.3) можно применить и к случаю отражения, если положить а. = — лл. Тогда имеем + (72.4) т.е. известную формулу сферического зеркала. Фокусное расстояние такого зеркала определится по формуле (72.1). Найдем г = В/2, и, следовательно, формуле зеркала можно придать вид 1 1 1 — + — = —. (7' ") а~ а2 В случае зеркала изображение действительное, если оно лежит по одну сторону с источником, и мнимое, если расположено за зеркалом. Случаи вогнутого и выпуклого зеркала отличаются лишь знаком В. Легко видеть, что фокус вогнутого зеркала — действительный, а фокус выпуклого зеркала мнимый.
Чтобы получить законы плоского зеркала, достаточно положить В = оо. В этом случае найдем ад — — — а», т.е. изображение точки в плоском зеркале мнимое и симметрично расположенное. 260 гномнтничнокля оптикА ~ 73. Изображение малых предметов при преломлении на сферической поверхности Пользуясь свойствамлл параксиальных гомоцентрических пучков, можно построить изображение небольшглх площадей при преломлении на сферической поверхности. Представим себе сферическую поверхность, около центра которой расположена небольшая диафрагма Х).0, выделяющая узкие пучки, имеющие характер параксиальных по отношению к соответствующим осям (рис. 12.12).
Параксиальный гомоцентрический пучок после преломления остается гомоцентрическим, т.е. дает изображение своей вершины. Соответствующим образом изо- Рис. 12.12. Изображение малого предмета АСВ при преломлении на сферической поверхности бразится любая точка светящейся дуги АСВ (или части сферы) с центром в О.
Для отыскания изображения всех точек АСВ применим формулу пг ~г~ пг — п2 йг 02 гг Так как для всех точек АСВ все ггл имеют одно и то же значение, то и все аз одинаковы; элемент сферы с радиусом Я вЂ” аг отобразится в виде элемента сферы с радиусом аа — Л с общим центром О. Для графического отыскания точки В', например, можно провести луч ВМ ~~ СО; тогда преломленный луч должен пройти через фокус г'а, луч же ВО проходит без преломления. Пересечение продолжений МГ~ и ВО и определит паножение В'.
Ввиду того, что АВ и А'В' очень малы, вместо дуг (элементов сферы) можно брать хорды (элементы плоскости). Таким образом, в сферической системе малая площадка, перпендикулярная к оси, изобразится пргл помощи параксиальных лучей в виде площадки, также перпендикулярной к той же оси. Плоскость предмета АВ и плоскость его изображения А'В' называются плоскостями, сопряженными по отношению к данной оптической системе.
й 74. Увеличение. Теорема Лагранжа — Гельмгольца Выберем в качестве светящегося предмета линглю АлВг, перпендикулярную к оси, и построим ее изображение А2Вг (рис. 12.13). Отношенгле лллпейных размеров изображения (у2 —— А Вз) и предмета гл.
хп. осиовнын положвния гномнт1 ичвской оптики 261 (ут — — А1В1) носит название линейного или поперечного увеличения T = д /ут —— А2Вг/А1В1. Приписывая А1В1 и А2Вг знаки (как обычно в геометрии), получим, что увеличение пололсигиелъно, если изображение прямое, и огприцашелъно, если изображение перевернуп2ое. Из треугольников А1В15 и АгВ25 имеем Р1 . 1/2 = 1К> ' = ":Кг. а1 а2 При малых размерах А1В1 и А2В2 1Дг ВШ1 П2 ляг гшг п1 т.е (74.1) а1 аг 1 п2 а1 Я Для преломляющей системы п1 и п„всегда положительны, так что знак 1' определится знаком отношения аг/а1.
Для расположений, со- Рис. 12.13. К выводу уравнения Лагранжа,— Гельмгольца для параксиальных лучей: д1п1 яш и1 — — у2 п 2 яш и2 ответствующих действительному изображению (см. рис. 12.13), ат и а„имеют разные знаки, т.е. 1~ отрицательно, и изображение перевернутое; для мнимых изображений — наоборот. Для зеркал пт/пг = — 1, т.е. г' = — аг/ат. В случае действительного изображения а1 и аг имеют одинаковые знаки, т.е. 1' < 0 и изображение перевернутое; в случае мнимого изображения знаки а1 и а2 различны, 1' > О, изображение прямое.
Для плоского зеркала (ат — — — аг) 1 = 1, т.е. изображение прямое и натуральной величины. Сопряженные плоскости называются главными, если для них 7 = 1, т.е. изображение получается прямым и в натуральную величину объекта. Нетрудно видеть, что для сферической поверхности главные плоскости совпадают между собой и представлены плоскостью, касательной к сфере в точке Я, т,е.
а1 — — а, = 0 (см. упражнение 100), В соответствии с этим и фокусные расстояния сферической поверхности следует считать расстояниями от главных плоскостей до фокусов. На рис. 12.13 изображены также углы и1 и иг, определяющие максимальное раскрытие (апертуру) пучков, падающих на поверхность Х (угол 2и1), и сопряженных им изображающих пучков (угол 2иг).
Предельное значение этих углов определяется требованием соблюдения условий параксиальности. Так как при всех значениях углов и,лежащих в пределах апертуры параксиальных лучей, отношение а„/а1 остается постоянным, то 262 ГЕОМЕТ1"ИЧЕОКАЯ ОПТИКА соотношение (74.2) показывает, что увеличение небольшого предмета А1В1 сохраняется неизменным, какой бы частью параксиального пучка ни было образовано изображение. Другими словами, не только изображение точки на оси (см.
~ 71), но и изображение неболь'шаго предметп, расположенного около оси, передается параксиальным пучком без искажения. Для параксиальных лучей А1Р и А1 Я = а1 и РАг ~ ЯАг = аг, так что ЯР ЯР и1 — — ф~и1 — — —, и. =1ди. = —, а~ пг и~ а~ иг а~ На основании (74.1) имеем п1а /ига1 — — и1и1/лги = ~' = у /у1, или у1 п1 и1 — — угпг иг. (74.2) Соотношение (74.2) носит название гпеоремы Даграно1еп — Гельмгольца.
Это соотношение справедливо для области параксиальных лучей. При употреблении пучков со значительной апертурой получение четких изображений возможно лишь при выполнении условия й 75. Центрироваыная оптическая система Случай преломления на одной сферической поверхности сравнительно редок. Большинство реальных преломляющих систем содержит по крайней мере две преломляющие поверхности (линза) или болыпее их число. Система сферических поверхностей называется центприровпнной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
