Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 50
Текст из файла (страница 50)
условию, определяющему положение главных максимумов дифракционного спектра. По направлению 1р = О импульсы от всех щелей приходят одновременно: периодические воздействия не возникают, и нулевой максимум остается «белым». Все эти выводы находятся в соответствии с обычной теорией дифракциопных решеток (см. 3 46). Приведенное рассуждение показывает механизм воздействия дифракционной решетки на импульс, выдвигая на первый план физическую картину преобразования импульса в периодический процесс вместо математической операции разложения непериодической функции, описывающей импульс, на гармонические составляющие.
Некоторое неудовлетворение оставляет, может быть, то обстоятельство, что для рассмотрения получившегося периодического воздействия мы все же прибегали к математической операции разложения периодической функции на синусоиды. Можно, однако, и здесь пойти более физическим путем. Мы имели дело с обычной (щелевой) решеткой, т.е. решеткой, состоящей из периодически чередующихся прозрачных и непрозрачных мест.
Другими словами, коэффициент вропускания решетки г меняется вдоль решетки периодическими скачками от О до 1 (рис. 9.31 а). Предположим теперь, что мы имеем ре1петку, прозрачность которой вдоль координаты х меняется по синусоидальному закону т = в1п [(2к/д)х~, где д — пространственный период решетки, т.е. т меняется от +1 до — 1 (см. рис. 9.31 б).
То обстоятельство, что т принимает отрицательные значения, т.е. отрицательными становятся амплитуды проходящего света, имеет очень простой съ1ысл: это значит, что фазы волн с положительными и отрицательными амплитудами противоположны. Следовательно, наша решетка имеет амплитудно-фазовьпл характер: амплитуда на половине гл, х. диФРАкция ИА мнОГОмнвных стРУктУРАх 205 дельных цугов, идущих по разным направлениям д, сокращается и выделенные из импульса волны перестают быть строго монохроматическими. Эти приблизительно монохроматические цуги, в которые ограниченная решетка преобразует импульс, определяются как видом импульса, так и размером решетки, т.е.
при заданном периоде чис.лом ее штрихов. Эти параметры характеризуют разрешающую способность решетки. Для других спектральных аппаратов рассуждения несколько усложняются, но сущность дела остается той же ') (см. также упражнение 92). Глава Х ДИФРАКЦИЯ НА МНОГОМЕРНЫХ СТР~гКТ У'РАХ ~ 52. Дифракционная решетка как одномерная структура Изложенное в ~ 50 (и, в частности, установленная Рэлеем особенность дифракции на синусоидальных решетках, дающих спектры только первого порядка) позволяет весьма общим и практически важным способом рассмотреть вопрос о дифракции на структурах любого вида. Какова бы ни была структура (в частности, даже если она не периодичпа), явления дифракции имеют место.
Расчет дифракциопной картины в таком практически очень распространенном случае, однако, гораздо труднее. Рэлей указал чрезвычайно общий прием решения подобных задач. В ~ 4 мы видели, что любая функция времени может быть представлена как совокупность синусоидальных функций времени с различными периодами, амплитудами и фазами. Аналогично, любую пространственную структуру, свойства которой, например коэффициент пропускания, есть функция пространственных координат, можно представить как совокупность синусоидальных структур (теорема Фурье).
В частности, если коэффициент пропускания структуры зависит только от одной координаты, например х, то коэффициент пропускания отдельных синусоидальных структур представится в виде /2л. а в1п ~ — т+ ф~), где а — амплитуда., д — пространственный период и ф фаза. Непериодическая структура представляется совокупностью синусоидальных структур с непрерывно меняющимся периодом (представление в виде интеграла Фурье). Периодическая структура с периодом д представится в виде суммы членов ряда, один из которых в общем случае может быть постоянной величиной, а остальные — синусоидальными функциями х с периодом, равным д, д/2, /2кп фд, ..., .е.
оь~ад~ные е будр~ ~ид~~ ддд д г1д( —,д-д ), ) Вопросы спектрального разложения и преобразующей роли спектрального аппарата подробно рассмотрены в книге: Г. С. Г о р е л и к. Колебания и волны.— М.: Физматгиз, 1959. 206 ДИФРАКЦИЯ СВЕТА где и = 1,2,3,... (представление в виде ряда Фурье). Характер рассматриваемой структуры определяет значения амплитуд и фаз отдельных синусоидальных членов ряда. Таким образом, дифракцию на сложной структуре можно рассчитать путем рассмотрения дифракции на каждой отдельной компоненте разложения Фурье этой структуры.
Постоянный член разложения Фурье дает. нулевой максимум, каждый из синусоидальных членов -- по два максимума первых порядков (т = ~1). Так как периоды синусоидальных структур различны, то и углы дифракции соответствующих максимумов первого порядка будут различны, и в совокупности получится полная дифракционная картина всей структуры. С этой точки зрения максимумы высших порядков обычной дифракционной решетки суть максимумы первого порядка соответствующей ей синусоидальной слагающей.
Например, максимумы третьего порядка (п1 = ~3) суть максимумы первого порядка (т = ~1) на третьей синусоидальной структуре, период которой равен д/3. Таким образом, для изученной нами одномерной решетки (решетка. с коэффициентом пропускания, меняющимся только вдоль одной координаты) мы с помощью этого более общего способа рассмотрения получаем согласный с опытом результат. я 53. Дифракции на двумерных структурах Гораздо шире распространен случай, когда коэффициент пропускания пластинки, располагаемой в световом пучке, меняется не вдоль одного направления, а по всей поверхности нашей пластинки. Примером может служить пластинка беспорядочно запыленного стекла или окно, покрытое узорами мороза. Ясно, что такое изменение коэффициента пропускания можно охарактеризовать как изменение по двум координатам нашей поверхности, так что рассматриваемая структура будет двумерной.
В простейшем случае это будет двумерная периодическая структура (двумерная решетка), в общем — совокупность многих двумерных решеток. Рассмотрим двумерную решетку, представляющую собой скрещенные перпендикулярные решетки с периодами 4 и д~. Подобный случай легко осуществить, поставив непосредственно одну за другой две обыкновенные нарезанные на. стеклянных пластинках дифракционные решетки, штрихи которых направлены перпендикулярно друг к другу. Узкий пучок монохроматического света, пройдя через первую решетку с вертикальными штрихами, должен дать совокушюсть максимумов (нулевой и максимумы высших порядков) вдоль горизонтальной линии.
Световой пучок, соответствующий каждому максимуму. проходя через вторую решетку, распадается на новую совокупность световых пучков, дающих максимумы вдоль вертикальной линии. Полная картина спектра подобна изображенной на рис. 10.1. Пифры 0,0; 0,1; 1,1; 1,2 и тд. около пятнышек показывают порядок спектра в первой и второй решетках; интенсивность их убывает по закону распределения интенсивности в дифракционных спектрах решетки.
Нетрудно дать элементарную теорию дифракции на такой решетке. Гл, х. ДиФРАкция нА мнОГОмеРных стРУктУРАх 207 4 сояа = т~Л, с(~ соя/3 = т2Л,. соя'а+ сояг 3+ соя'~ = 1, (53.4) где т~ и т~ — целые числа, мы определяем для заданной структуры (4,42) и для даннои длины волны Л значения углов а, Д, 7, под которыми будут наблюдаться главные максимумы света. Если предположить, что наша решетка содержит болыпое число элементов (штрихов), то главные максимумы будут очень резки и в них сосредоточится почти вся световая энергия дифрагировавших волн. Таким образом, практически свет будет наблюдаться только по указанным дискретным направлениям, точнее, в неболыпом телесном угле около указанных направлений.
Если решетки 4 и 42 не взаимно перпендикулярны, а составляют какой-либо угол между собой, то принципиально рассуждения наши Пусть свет падает на подобную решетку нормально. Выберем направление света за ось Е, направления вдоль решеток -- за оси Х и 1', охарактеризуем направления падающего пучка углами оо, До, "~о, дифрагировавшего — углами с~, Д, ~. В нашем случае ао — — л/2, ~о = 7г/2, 'уо = О, т.е. соя ао = соя~За —— О, соя ~о = 1. Отклонение дифрагировавшего луча вдоль Х приведет к образованию минимумов и максимумов света в зависимости от величины угла дифракции. Применяя теорию одномерной решетки, мы найдем, что положения главных максимумов должны удов летворять условиям д~ соя о = Л, 2Л, ЗЛ,..., т~ Л.
(53 1) Аналогично ди фракция в направлении оси 1' дает главные максимумы в направлениях, определяемых условиями с(2 соя,'3 = Л, 2Л, ЗЛ,..., т2Л. (53.2) Таким образом, главные максимумы возможны только в направлениях, удовлетворяющих двум из написанных Рис. 10.1. Схематическое изображевыше совокупностей условий, ние распределения интенсивности при причем каждой паре значений дифракциинадвумернойрешетке целых чисел т~ и т2 соответствует максимум того или иного порядка. По найденным таким образом значениям а и Д определим значения угла 7 на основании геометрического соотношения соя2 о + соя~ ~3 + соя2 " = 1.
(53.3) Таким образом, из трех условий: 208 ДИФРАКЦИЯ СВВТА останутся в силе, только геометрические соотношения изменятся. Положение максимумов (пятньппек) будет, конечно, зависеть и от угла между штрихами решеток. Таким образом, по расположению пятнышек можно судить о структуре ииприхованной иоверхнотт: о величине периодов д1 и д2 и взаимной ориентации решеток. Если поверхностная структура не периодична, то следует применить для разбора задачи метод Рэлея.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
