Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

е. совершающий колебания с частотой о». Приведем простой вывод уравнений поля для этого случая и уделим внимание описанию свойств волны, излучаемой ускоренным электроном. Рассмотрим диполь, электрический момент которого меняется по закону р = р, соз го(. Напомним, что в электростатике вычислялось 46 поле системы двух электрических зарядов разного знака, закрепленных на расстоянии 1 один от другого. Электростатическое поле такой системы спадало при удалении от ее центра по закону 1/«з. Решим теперь динамическую задачу и вычислим электромагнитное поле системы движущихся зарядов.

Следует иметь в виду, что изменение р = у[ может происходить как в случае изменения д по закону д = до соз в1 прн 1 = сопз(, так и при постоянном д и изменяющемся расстоянии 1 =1, соз в1. Первый случай обычно интересует радиотехников (излучение антенны и др.), а второй лежит в основе многих физических теорий (например, модель атома Томсона и др.). Будем исходить из закона 1 = 1 соз в1 в приближении 1(~ Л, что окажется достаточным для получения основных зависимостей.

Все вычисления проводятся для вакуу- Н ма (е = [з = 1, и = с), и длина волны Л про- и сто связана с частотой в соотношением Л = г = 2п (с/в). о о Исследование проведем для достаточно 0 больших расстояний «)) Л/2п [вектоп «исходит из центра осциллятора в точку О (х, у, г), где наблюдается поле; рис. 1.20[. Эта область значений «названа волновой зоной — быстро рвс.!.20.

к ооазппо золспадающее статическое поле мало при доста- новой зоны ооцзллирувточно больших значениях «. В электродинамике доказывается, что поле нейтральной системы движущихся зарядов (с отличным от нуля дипольным моментом) в волновой зоне совпадает с полем осциллятора, электрический момент которого равен суммарному моменту системы. Это позволяет свести к данной модели множество различных задач, например заменить светящееся тело суммой элементарных вибраторов, и затем рассмотреть действие некоторого вибратора с эквивалентным суммарным моментом (см. 5 5.2). В вакууме (и = с) для волновой зоны можно получить следующее решение уравнений Максвелла, где единичный вектор г, = г/«: Н (1) = — — [г, р (1 — «/с)1, «сз Е (1) = [Н (1) г,]. (1.30) Следует отметить, что значения Е и Н в момент времени 1 в точке О' (х, у, г) определяются значением р в более ранний момент времени 1 — «/с.

Время «/с необходимо для того, чтобы излучение диполя дошло от точки О до О'. Близкодействие, на котором основывается электромагнитная теория Максвелла, здесь очевидно. Вывод выражений (1.30) из уравнений Максвелла проводится в курсах электродинамики. Учитывая большое значение этих выражений для понимания процесса возникновения бегущей электромагнитной волны, приведем их элементарный вывод, основанный на простой модели явления. Рассмотрим сначала электрическое поле, создаваемое точечным зарядом д, совершающим следующее движение: до момента времени г = О заряд покоится в начале инерциальной системы координат; начиная с Г = О он приходит в движение в направлении оси 2 с постоянным ускорением а; по истечении короткого промежутка времени М ускорение прекращается и заряд движется с постоянной скоростью о =ага1, которую он приобрел к концу периода ускорения.

Представим себе картину силовых линий электрического поля, создаваемого зарядом при таком движении,в момент времени Г)) стг. До точек, находящихся за пределами сферы радиуса г = с1, информа- Рис. 1.22. К подсчету отношения поперечной и продольной компонент поля в области излома силовых линий Рнс. 1.21. Излом силовых линий электрического поля ускоренно движущегося точечного заряда ция об изменении состояния заряда д, происшедшем при 1 =0, к мо- менту времени 1 еще не дошла, поэтому поле здесь совпадает с полем точечного заряда д, покоящегося в начале координат: Е(г)= т г.

га Внутри сферы радиуса г = с (1 — М) возникает поле равномерно движущегося вдоль оси Я заряда. Так как его скорость о(~ с, то это поле в момент времени 1 совпадает с полем точечного заряда д, находящегося в точке г = о1 (смещением заряда за время ускорения М можно пренебречь, если мы интересуемся полем в момент времени Г => гьг].

Учитывая непрерывность силовых линий, можно поле изобразить так, как показано на рис. 1.21. Изломы на силовых линиях между сферами г = с (1 — гхг) и г = ст характеризуют поле излучения, распространяющееся со скоростью с от источника. Рассмотрим одну из силовых линий этого поля, проходящую через точку наблюдения О' на расстоянии г от начала координат (рис. 1.22). Направление на О' составляет угол 8 с осью к,. Из рис.

1.22 легко найти отношение поперечной и продольной компонент поля в изломе: пз Фанз (1.31) и сй1 Так как Е, =д/г', то для поперечной компоненты Ее получаем (1.32) го сЖ Исключая 1 с помощью г =с( н учитывая, что о/Л( = а(0)— ускорение заряда при г = О, получаем ва(0) в(па (1.33) гсо Заметим, что в точке наблюдения, находящейся на расстоянии г от источника, поле излучения в некоторый момент времени 1 — оказалось зависимым от ускорения заряда в предшествующий момент времени (' = ( — гlс. Обобщая полученный результат на случай произвольного нерялитивистского движения заряда д в малой окрестности начала координат с ускорением а ((), можно для поля излучения в момент времени 1 в точке наблюдения на расстоянии г написать следующее выражение: Ев (г, /) —, — . (1.34) Ча (( — г/с) о(п 9 )) (( г/с) в,.п В Из выражения (1.34) следует, что каждый движущийся с ускорением заряд излучает электромагнитную волну, а напряженность поля излучения спадает обратно пропорционально первой степени расстояния от источника.

На большом расстоянии от источника (в волновой зоне) поле излучения можно рассматривать как плоскую волну, что позволяет сразу найти и магнитное поле излучаемой электромагнитной волны, у которой )Е (()) =(Н(()~, а направление Е и Н определяется правилом правого винта. В сферических координатах (см. рис.

1.20) векторы Е и Н определяют следующими выражениями: Е(0, Ев,О) Е,=Ее=О' Ев= ~ гсо Н(0, О, Нв) Н,=Но=О; Но=Ее, (1.35) Формулы (1.35) для электромагнитной волны, излучаемой точечным зарядом, могут быть записаны в векторном виде, полностью соответствующем выражениям (1.30). Исследуем электромагнитную волну, характеризующуюся векторами Е (/) и Н (() и распространяющуюся из центра диполя.

Прежде всего заметим, что р и р антипараллельны. В самом деле, р (г — т/с) = — гавро соз (оИ вЂ” йг) = — го'р (1 — г/с). (1.36) Тогда для произвольной точки на сфере радиусом г (см. рис. 1.20) можно определить относительное направление векторов Е, Н и единичного вектора г,. Вектор Е направлен по касательной к окружности радиусом г, а вектор Н перпендикулярен плоскости чертежа.

Найдем напряженности электрического и магнитного полей. Вводя угол вр (рис. 1.22), дополнительный к углу О, имеем з(п О = сов ф. 1(а основании ([.38) пблучаеМ [ Е (/)[ [ Н (/)[= — ~' созф соз [гзз — йг). Е2г ([.Зг,' 2 3= — ' соз'фсоз'(гз/ ьг) 4пс2 гз (1.38) Усредняя это выражение во времени, получим 2 (8)= — ' соз2 ~р. Зиса г2 (1.39) Но найденное значение (3) равно средней плотности потока электромагнитной энергии в определенном направлении, характеризуемом углом гр.

Для того чтобы получить полную мощность излучаю- Очевидно, что —,, соз гр — амплитуда сферической электро. ив Рь магнитной волны, исходящей из центра осциллятора. Проанализируем полученные соотношения. 1. Величина Е (/) [или Н(/)) существенно зависит от угла ф Максимальное излучение наблюдается в экваториальной плоскости, где чг = О. Вместе с тем сов ~р = О при ф = и/2 и амплитуда волны обращается в нуль.

Мы приходим к очень важному выводу — осциллирующий диполь не излучает в направлении своей оси. Пространственное распределение интенсивности излучения осциллятора можно графически изобразить в виде своеобразной диаграммы, приведенной на рис. 1.23. 2. Если ф = сопз[ (т. е. при некотором вполне определенном направлении вектор ра г,), то наблюдается уже упоминавшаяся рэс нзз. пространственное зависимость напряженности электромаграспределение поля излуче- нитного поля от расстояния г, которое ния осциллирующего диполя прошла волна: Е (1) = Н (/) 1/г.

Это очень важная особенность сферической волны,,существенно отличающейся от плоской, для которой в любой точке пространства Е, = Н, = сопз1. Правда, для достаточно большого г и при изменении его в небольших пределах можно приближенно считать сферическую волну эквивалентной плоской волне с соответствующей амплитудой. Вместе с тем наблюдается резкое отличие поля исследуемой волны от статического поля диполя (Е„ег 1/ге), Спадание амплитуды сферической волны происходит по закону 1/г, т. е. значительно медленнее, и в волновой зоне (г)) )) 1/2п) можно не учитывать Е„„.

3. Рассчитаем поток энергии, йзлучаемый осциллирующим электроном. Прежде всего убеждаемся, что вектор 8 = — [ЕН) всегда на- 4и правлен вдоль г„т. е. энергия распространяется от диполя. По мо- дулю порядка 1О' 1О". Но более важна возможность приближенной оценки прсмспп затухания колебаний атома вследствие излучения. Напомним, что для какого-либо затухающего колебания спадание его амплитуды Е, (г) можно выразить законом Е, (1) =Е, (О) е-"' (рис. 1.24). Логарифмический декремент затухания и' = аТ определяется добротностью системы и его можно вычислить по формуле Я = пlб. Время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем затухания вследствие излучения, обозначается через т„,„и оценивается из очевидного равенства т„,„=1/а. Эти оценки приводят к значению т„,„ж 10-' с.

Найденный результат чрезвычайно важен для многих разделов атомной физики. Мы грубо оценили время жизни атома по отношению к процессам излучения. Последнее обстоятельство весьма существенно, так как в дальнейшем мы увидим (см. гл Х), что среднее время жизни атома в возбужденном состоянии может определяться и другими причинами, например столкновениями. Конечно, к исследованию атомных систем, содержащих громадное число излучающих атомов, нужно подходить лишь с позиций статистической физики; более того, корректное описание излучения атомов обязательно должно проводиться квантовомеханически, однако полученное значение т„,„ ж ж 1О-' с все же можно использовать для оценки роли различных явлений, связанных с немонохроматичностью колебаний.

Характеристики

Список файлов книги