Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ксоаи+усоа9+ксоат ТТ, . няющейся вдоль пронаволь- ного направленая Е (х.о) Запишем теперь выражение для падающей, отраженной и преломленной волн. Пусть по-прежнему плоскость ХУ, удовлетворяющая условию г = О, служит границей раздела двух сред. Для определенности положим, что в падающей волне нормаль п лежит в плоскости 2Х (т. е.
соз Р = О). Никаких ограничений на направления нормалей и, (в отраженной волне) и и, (в преломленной волне) мы не налагаем. Рассмотрим частный случай линейно поляризованной волны, когда ось У направлена вдоль вектора Е. Тогда Е=Ке Е„ехр [ио (à — +'" т ) ~, Е р Е Г ° /Г ксоама+рсоара+асоатк )~ е ееехр ~~ив, ~~ иа Е ~ Е хр Г( (Г соя не+Рсоа Ра+к о Та )1 Запишем теперь граничное условие — равенство тангенциальных составляющих напряженности электрического поля при з = О: Ес+ Ее, =Ее,.
! )по дол'ик> выполняться в любой момент времени 1 и при любых ко. ордппптпх х, у. Иными словами, ЕеюеехР~1ь (à — )~+Етое ехР~ио, ~à — т " ' )ч = =Еме ехр ~йоя (/— (2.7) Записанное тождество справедливо лишь при выполнении следующих условий: 1) ш = ш, = ая (см. $ 2.1); 2) (соз р,)/и, = (соз ря)/ия = О. Предполагая, что нормаль и к падающей волне Е лежит в плоскости ЯХ, мы пришли к выводу, что нормали к отраженной и преломленной волнам (и, и п,) также лежат в этой плоскости (рис. 2.3): 3) (соз а)/и, = (соз ат)/и, = (соз аз)/и„откуда получаем: а) сова =сова, н, следовательно, а = ~ а,. Из этих двух значений физическому смыслу задачи соответствует — а,.
Итак, получен закон отражения электромагнитных волн. Если перейти к дополнительным углам, то найдем обычную формулировку этого закона; угол отражения волны равен углу падения; б) соз а/соз а, = и,/и, Но (рис. 2.3) а+у =и/2 и а,+у, =я/2. Следовательно, е В дальнейшем мы будем обозначать угол падения ее, угол отражения ет и угол преломления ~ра. Тогда соотношения (рша) запишется так: з!п фз)п ее = па/по з)п т пг з!п та иа Чтобы придать этому закону преломления электромагнитных волн более привычный вид, вспомним, что и, =с/а„ а и, =с/и,. Тогда окончательно получим' Рис. 2.3. К выводу законов отражения н преломления влек- ыпт нт пе тромагннтных волн з)п тз па пе Показали яаяраалеяяя нормалей к фронтам яакаюшей, отражеакой Это выражение (2.8) обычно называют в оптике законом Снеллиуса.
Хорошо известно, что законы отражения и преломления световых волн служат основой геометрической оптики. Мы видим, что в электромагнитной теории света эти законы получаются в самом общем виде без введения каких-либо специальных предположений, как следствие записанных выше граничных условий для уравнений Максвелла. Они справедливы для электромагнитных волн в любом диапазоне частот. Таким образом, направление распространения отраженной и пре. ломленной волн однозначно определяется соотношениями (2.7) и (2.8). Но приведенные выше простые выкладки позволяют также решить вопрос об интенсивности таких волн в зависимости от угла падения и показателя преломления. й 2.3.
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ Учитывая, что Ноо = а«Еоо Н«о = п«Е«о. Ноо = поЕго. по1ао = = з«п «р«/з!п «р„находим: Еоо+Е«о= Еоо —. 5!и «р! о!и «ро соо !ро Еоо — Е«о=Еоо —, соо «р! (2.9) 59 При выводе и анализе формул Френеля можно не учитывать временных множителей векторов напряженности электрического и магнитного полей и формулировать граничные условия для соответствующих проекций амплитуд векторов Е и Н, учитывающих начальные фазы колебаний.
Неполяризованный свет будем рассматривать по-прежнему как сумму двух плоских волн, распространяющихся в одном направлении с одной фазовой скоростью и, но поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях, причем фазы этих двух колебаний никак не скоррелированы. Таким способом можно моделировать хаотическую суперпозицию различных эллиптически поляризованных электромагнитных воли, обусловленную реальными условиями возбуждения световых воли (см.
55.2). Для каждого момента времени нетрудно вычислить суммарную напряженность электрического поля ~Е ~, если известны две ее проекции на границу раздела (Е««и Ед). В самом деле, ~ Е ~ = у' Еоо + Едо И, наоборот, зная Е, можно разложить его на две взаимно перпендикулярные компоненты. В качестве направлений таких компонент Е удобно выбрать следующие: первая лежит в плоскости падения— будем обозначать ее через Е«ь Ед колеблется перпендикулярно этой плоскости. Запись граничных условий для амплитуд и последующий вывод формул Френеля будем проводить раздельно для этих двух взаимно перпендикулярных направлений колебаний вектора напряженности электрического поля.
1. Вектор Е лежит в плоскости падения электромагнитной волны. Направления векторов Е«ь (Е!)««и (Ео)««для какого-то момента времени показаны на рис. 2.4. Для дальнейшего выбор этих направлений (знаков их проекций на ось Х) более или менее безразличен — анализ конечных формул позволит внести необходимые коррективы. Мы останавливаемся на такой их ориентации лишь по аналогии со случаем по ) и! при нормальном падении.
Направление векторов Н, Н, и Н, уже детерминировано выбором направления для Е, Е, и Е,. В данном случае векторы Н, Н, и Но направлены одинаково — перпендикулярно плоскости рисунка по направлению к читателю. Для проекций амплитуд векторов Е и Н на ось Х имеем: Еоо соз «р, — Е,о соз «р, = Е„соз «р„Ноо + Н«о — — Ноо. Тогда — 'зттта Ф ною+Его а(п 1Рг соз 1Рг ып 21Р1 ( го)!!= ..
1 оо)!(= л ~ 2т~ — ~ алй~,а з!п 21рг+з(п 2фз 2 Мп (грг — грз) соз (грг+ фз) тЕ т (К (фг — фз) тЕ ое)!! = ( 00)!!. 2 з!п (грг+грз) сои (арг — грз) (я (арг+грз) Складывая уравнения (2.9), получаем ( сов грз з)п «рг') 1 зги 21рт+ Мп 21рг(Е созфг з!Пфзl 2 зги фзсозфг (2.10) откуда (2.10а) з(п (грг+ грз) соз (фг — 1рз) Все необходимые данные для решения интересующих нас задач содержатся в выражениях (2.10) и (2.10а). При желании читатель беэ труда может получить соотношения между амплитудами векторов Н, Нг и Нз. Лг Рнс. 2.4.
Выбранные направления векторов Е и Н на границе раздела Вектор Е лежит п плоскости падския Рис. 2.5. Выбранные направления векторов Е и Н на границе раздела Вектор Е перпендикулярен плоскости падения 2. Вектор Е перпендикулярен плоскостй падения волны. В этом случае выберем направление векторов Н, Н„ Нз согласно рис. 2.5. На нем векторы Е„ (Е,), и (Е,)х направлены от читателя перпендикулярно плоскости рисунка.
Для проекций амплитуд исследуемых векторов на осн получим соотношения Еоо+ Ега = Езо, Нос сов 1Рг — Нго сов фг = Нзо сов 1Рз. Последнее условие можно переписать в виде соз 1рз лз соз фз 51п фг Есо — Его = — — Езс = . Его. СОЗ1Рг Лг соз фг 51 п фз Отс«ода легко получаются искомые зависимости: (в„( — ~ — "и:-и- (в,,( . Мп(ф +фв) 2в(пфвсов фв(Е ) во л=,.„+ оо л. (2.11) и, значит, пв в!и фв в«и фв = 1а ф ° пв 5!и (рв сов фв Эта зависимость угла, при котором наблюдается линейная поляризация отраженной волны, от отношения показателей преломления двух исследуемых диэлектриков называется законом Брюстера, а соответствующий угол часто называют углом) Брюстера (фвр).
В этих обозначениях 1к «рвр пв пв (2.12) Для перехода световой волны (видимая область спектра) из воздуха в стекло 1к «рвр ж 1,5, что соответствует углу «рвр ж 5T. Проанализируем найденные соотношения. Прежде всего рассмотрим относительные интенсивности отраженной и преломленной волн. Для энергетического описания процессов на границе двух сред ранее /Ево~в были введены коэффициент отражения Я = ~ — /! н коэффициент ~(о(оо) пропускания К = — ' ( — "1 .
Найдем зависимость коэффициента отпв Фоо/ ражения Я от угла падейия. Рассмотрение формул Френеля показывает, что компоненты (Е,)!! и (Е,)~ по-разному изменяются с увеличением угла «р,. Во-первых, сразу видно, что если «р, + фв -о. и/2, то 1ц («р, + «р,) -о. по и, следовательнр, Я!! = О. Вместе с тем коэффициент отражения Я, не обращается в нуль при «р, + «р, = я/2, так как знаменатель выражения (2.11) з(п («р, + «р ) -~ 1. Таким образом, получается, что при некотором значении угла падения от границы раздела отразится только электромагнитная волна с вполне определенной поляризацией.
Волна, в которой колебания вектора Е параллельны плоскости падения, вообще не отразится при («р, + фв) = и/2. Вектор Е в отраженной волне (при (р, + (р, = и/2) будет колебаться перпендикулярно плоскости падения. В учебниках по оптике часто употребляют несколько иную терминологию. Так, например, в данном случае говорят, что отраженный свет поляризован в плоскости падения.
Отсюда видно, что плоскость поляризации света соответствует плоскости, перпендикулярной направлению колебаний вектора Е. Для данного случая, впервые экспериментально обнаруженндго Малю, очевидны следующие соотношения: если фв + фв = вв/2, то э(п «р, = соз фв Заметим, что отражение полностью поляризованной волны наблюдается тогда, когда нормали в преломленной и отраженной волнах ортогональны (рис. 2.6). Тогда, используя полученные ранее сведения об излучении диполя (см. 5 !.7), легко дать физическое истолковние этого явления с позиций электронной теории.
Если связывать наличие отраженной волны с вынужденными колебаниями электронов во второй среде, то в направлении, перпендикутуа лярном нормали к пре- ломленной волне, не ра л' должна распространятьла л ся энергия, так как электрон не излучает в направлении, вдоль которого осуществляются Рнс. 2,б, Прн паденнн света под углом Брюстера его колебании (Рис 2 7). на границу раздела двух сред нормалн к фрон- Легко заметить, что потам преломленной н отраженной волн взаимно следнее ограничение отперпендикулярны носится лишь к колеба- ниямэлектронов в плоскости падения волны, происходящим в результате действия на них (Еа)«ь Вместе с тем (Е,), будет раскачивать электроны в направлении, перпендикулярном плоскости падения, и такое излучение будет распространяться без всяких ограничений в направлении, удовлетворяющем условию (2.!2), целиком опреде- ляя поляризацию отраженной волны. Но вернемся к исследованию зависимости коэффициента отражения уа от угла падения электромагнитной волны.
При «р =«р, = О угол «р,также равен О. Чтобы не проводить длинных выкладок, воспользуемся промежуточной формулой Еоо — Ем лз сов «рз Еоо+ Езо лз сов фз и, положив фз = фа = О, получим я (Е«е ! ( ла лз «(2 (З) Рнс. 2.7. К трактовке закона !,Е / ), и ! л ) ' Брюстера с познцнй влек- тронной теории МЫ УжЕ ИСПОЛЬЗОВаЛИ ПОДОбНУЮ фОР- Вектор В в падающей волне ле- жпт в плоспостп надевая. Отрв. Мулу ПРИ РЕШЕНИИ ЧастНОИ ЗадаЧИ вЂ” ИС- женнвя волна этой полврнзанпп следовании нормального падения элеКтро отсутствует, тах неп электРоны не получают в направлении свомагнитной волны на границу раздела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
