Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При этом использовались различные лабораторные устройства. В частности, применялсяметодвращающегосязеркала, которыйбыл вначале ХХ в. усовершенствован Майкельсоном, определившим скорость света с высокой точностью. Мы не будем подробно рассматривать эти тонкие и остроумные исследования. Укажем лишь, что во всех таких опытах фактически измеряется время, необходимое для прохождения импульсом света вполне определенного пути. Таким образом, в результате эксперимента измеряется скорость светового импульса, точнее, скорость некоторой его части. Например, можно вести измерения по переднему или заднему фронту сигнала, исследовать область максимальной энергии импульса и т. д.
Чем точнее определяется момент выхода и возвращения сигнала, тем меньшей можно сделать длину оптического пути при той же погрешности в измерении скорости. Поэтому применение различных оптических затворов (например, практически безынерционной ячейки Керра; см. гл.
П1) позволяет использовать для определения скорости света установку, помещающуюся на лабораторном столе, тогда как ранее для таких опытов была необходима точно измеренная база в несколько километров. Можно считать, что в результате всех подобных экспериментов скорость электромагнитных волн в вакууме известна с весьма большой точностью. Оценка среднего значения этой важнейшей константы, по данным различных авторов, проводилась неоднократно. В 1941 г. был проведен тщательный анализ всех экспериментов и получено значение с = (299 776 ~- 4) км/с. В середине Х1Х в.
были также накоплены сведения об электро- динамической постоянной, фигурирующей при переходе от электрических к магнитным единицам. Она имеет размерность скорости и по значению очень близка к скорости света в вакууме. Наилучшие измерения, проведенные электромагнитными методами, приводили к значению (299 770 ~ 30) 1У см/с.
Имеются данные, что столь хорошее совпадение этих констант, казавшееся в те времена случайным, стимулировало исследования Максвелла по созданию единой теории распространения электромагнитных волн. После появления этой фундаментальной теории уже не могло быть сомнений в том, что скорость света в вакууме и электродинамическая постоянная — это одна и та же константа, а совпадение результатов измерений ее значения, выполненных различными методами, является доказательством универсальности теории Максвелла, справедливой для любых электромагнитных волн. Ниже будет охарактеризован современный способ прецизионного определения скорости света в вакууме.
В Х1Х в. появилась возможность точного измерения скорости света и в каком-либо веществе (газообразном или жидком). Из таких измерений можно определить с/и = и и сравнить его с табличным значением показателя преломления для данного вещества, получае- з* 35 мого из измерений, основанных на использовании закона преломления, которые можно провести с большой точностью.
Обычно значения и = з(п фlз!и фа хорошо согласуются со значениями, найденными нз измерений скорости света, но в некоторых случаях возникают расхождения. Так, например, для показателя преломления сероуглерода вместо и = 1,64 было получено значение 1,76, что выходит за пределы допустимой погрешности измерений. Это является следствием значительных трудностей, неизбежно возникающих при описании движения импульса в среде, в которой показатель преломления зависит от частоты, т. е.
в диспергирующей среде. В таком случае кроме фазовой скорости нужно ввести еще групповую скорость, характеризующую скорость распространения всей группы волн, к рассмотрению которой мы переходим. Не будем сейчас обсуждать причины, х приводящие к зависимости п от ш (дисперсии). В рамках классической электромагнитной теории объяснить дисперсию невозможно. Лишь объединение электромагнитной теории света с электронной теорией Рве. 1.1З. Последовательные (что было впервые выполнено Лоренцем на рубеже Х1Х и ХХ вв) приводит к полному группы волк (1а) 1а) 1Д.
в ке орой фааовал скорость количественному истолкованию всех свяи больше групповой скоро- ванных с этим явлением вопросов. и Следует учитывать, что немонохрома- тнчность световых волн в первую очередь обусловлена реальными условиями возбуждения в источниках света. Качественное рассмотрение этих сложных проблем проведено в гл.
Ч. На данном этапе будем исходить из эксперимента, показывающего, что вдоль оси 2 (по-прежнему рассматривается одномерная задача) распространяется не одна монохроматическая волна, а совокупность таких наложенных друг на друга волн с разными значениями и, которую мы будем называть импульсом (волповым пакетом). Уравнение для подобной группы волн можно записать в виде волны, модулированной по амплитуде. Так, например, легко доказать, что модулированное колебание с амплитудой Е, (1) = Е, (1 + т соз ь)1) при И ~ ш и т ( 1 можно заменить суммой трех монохроматических колебаний вида Е, соз ш1, — т Ее соз (ш + ь1) 1, — тЕе соз (ш — ьа) 1. 1 1 Тождественность такой записи проверяется простыми тригонометрическими преобразованиями. На опыте удобно регистрировать максимум амплитуды; поэтому обычно под групповой скоростью понимают скорость перемещения максимума энергии в исследуемой группе волн.
Эта скорость (7 может отличаться от скорости распространения горбов или впадин (рис. 1.15), которые будут перемещаться с фазовой скоростью и. Для определенности на рис. 1.15 выбрано соотношение и ) У. В данном случае сзади импульса как бы пристраиваются новые горбы и впадины, что и приводит к разнице между значениями фазовой и группо- иой скорости.
Совершенно очевидно, что получение любой физической информации связано с передачей сигнала и, следовательно, лишь для ~ рупповой скорости существенны те ограничения, которые накладыпаются теорией относительности (скорость любого сигнала ие может быть больше скорости света в вакууме; см. гл. Ч11). Установим связь между групповой и фазовой скоростями. Для этого прежде всего получим выражение для групповой скорости.
Эту задачу полезно рассмотреть в общем случае. Для импульса, состоящего из бесконечно большого числа монохроматических плоских волн, непрерывно заполняющих интервал частот в, ~- Лво (где Лво((в,), имеем Е, =Е,(й)ехр[1(вг — йг)]. Считая, что значению Лв, соответствует некая добавка Лй к волновому числу йо (т. е. во — Ьво соответствует й, — гой), находим выражение для результирующей напряженности электрического поля путем интегрирования по переменной й в пределах от й, — Лй до й, + Лй: Е= ~ Е, (й) ехр (1 [в (й) à — йг]) пй.
о,-оо Выражение для фазы колебания. легко преобразовать к виду в (й) 1 — йг = во( — йог+ [(в — во) à — (й — йо) г]. Тогда для результирующей напряженности электромагнитного поля получаем Е (г,г) = С (г,г) ехр [1 (вог — йог)]. (1.27) Это уравнение плоской волны с частотой в, и волновым числом й„амплитуда которой С (г, г) будет медленно изменяться (в пространна Лв стве и во времени), так как — ~ 1 и — (( 1. Следовательно, оо во С (г, 1) является модулированной амплитудой этой группы волн (огибающей волнового пакета). Скорость распространения огибающей мы и будем называть групповой скоростью [7. Согласно (1.27) амплитуда С (г, 1) задается выражением о,+оо С (г,() = $ Ео (й) ехр (в' [(в — во) г' — (й — йо) г]) г[й.
(1.27а) о~ -ьо Мы видим, что амплитуда С (г, 1) представляет собой суперпозицию монохроматических составляющих с волновыми векторами Ьй = =й — й, и частотами Лв =в — в,. Подчеркнем, что выражение (!.27а) описывает огибающую группы волн, закон движения которой мы хотим получить. Электромагнитные волны, образующие группу, описываемую выражением (1.27), и движущиеся со скоростью и= вй, имеют более высокую частоту (во )~ Лв), чем монохроматические составляющие С (г, 1). 37 У=и — Х вЂ”.
ди д1ь (1.28) * См.: М а н л е л ь ш т а и Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М., аНаукаа, !972. 38 Тпк кпк нас интересует ход функции в (й) в узком интервале вблн- ш йа, ~о моакно разложить (со — в,) в ряд: а — аа — — ~ — ) (й — й,)+ — ~ — ) (й — й,) +... / дат 1 /даа1 а (дй) 2 ( дйа )й=а, Ограничиваясь в этом разложении первым членом ряда, получим из (1.27а) следующее выражение: аа+йь С(г, У)= ~ Е,(й)ехр(1'(й — й,)~~ — ) 1 — г)с]й. (1.276) ав — ьа В этом приближении результирующая амплитуда С (г, 1) представ ляет собой суперпозицию упомянутых выше низкочастотных монохро- матнческих составляющих, распространяющихся с одинаковой ско- ростью.
Зависимость от координат и времени у всех составляющих одинакова, и волновой пакет движется как целое (не деформируясь) с групповой скоростью У =( — ~ . Такой же результат можно 1да1 (,дй~ получить, исходя из суперпозиции двух близких по частоте волн, ког- да возникают биения. Сложный вопрос о законности проведенного выше рассмотрения, связанного с введением понятия групповой скорости, с исчерпываю- щей полнотой изложен в лекциях академика Мандельштамае. В среде с дисперсией ]и = и (А)] возмущение по мере распространения неиз- бежно деформируется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
