Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 6
Текст из файла (страница 6)
*е Линейную поляризацию часто называют ллосяой, подчеркивая этим, что колебания вектора Е осуществляются в заданной плоскости, проходящей через направление распространения волны. !9 между двумя взаимно перпендикулярными колебаниями. Пусть х = =а,сов едг, у =аесоз(ед1 — 6). Тогда, исключая время, получим траекторию движения — эллипс, т. е. — + — — — соз б = зш' 6. ге уг 2ку сд се Эксцентриситет и положение эллйпса относительно выбранной системы координат зависят от разности фаз б.
В частности, если 6 = = Ы2, то хг/а, '+ уЧа, '= 1 и при а, = а, эллипс вырождается в окружность. Вместе с тем при 6 = Ьп (где Ь = О, 1, 2, ...) эллипс вырождается в прямую, т. е. эллиптическая поляризация переходит в линейную. Математически удобно описать наличие такой разности фаз 6 введением комплексной амплитуды в уравнение колебания, записанное в виде Е = Се'"". Пусть С = а + дЬ. Но любое комплексное число С можно записать в виде С = С,е'е, где С, — вещественная величина. При этом справедливы следующие известные соотношения: 1яб=бд'а и С,' =аг+Ье. Следовательно, наличие комплексного отношения составляющих (Ег!Е„) у волны свидетельствует об эллиптической поляризации излучейия, тогда как для линейно поляризованной волны это отношение вещественно.
Преобразуя систему четырех уравнений (1 17), в которую входят две проекции векторов Е и Н, в систему (1.18), получающуюся при закреплении направления колебаний этих векторов, мы переходим от эллиптической поляризации к линейной: Е = Е„ (см. гл. П1). $1.3. ПЛОСКИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЪ| И ВОЗМОЖНОСТЬ ИХ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОСУЩЕСТВЛЕНИЯ Основные свойства электромагнитных волн (поперечность и ортогональность векторов Е и Н) были получены в 21.2 из прямого анализа уравнений Максвелла, причем молчаливо предполагалось, что существование электромагнитной волны бесспорно.
Для более строгого доказательства того, что электромагнитное поле распространяется в виде волны, покажем, что из уравнений Максвелла для однородной непроводящей среды следует волновое уравнение. Будем по-прежнему рассматривать одномерную задачу, т.
е. считать Н„= Н и Е„= Е, где Е и Н зависят лишь от г и Е Это ограничение скажется лишь на свойствах волн (что будет подробно обсуждено ниже), но не имеет отношения к поставленному вопросу об их существовании. Будем исходить из уравнений (1.18). Продифференцировав первое уравнение по 1 и умножив на фс и продифференцировав второе по переменной г, найдем: и де о е|д деЕ Р де И дг'Е с дг д| сг ддг с д| дг дге откуда деЕ се 'дг Е (1.19) д|е еР дге 20 Аналогично можно получить дифференциальное уравнение для напряженности магнитного поля электромагнитной волны: (1.20) д~г ги дгг Следовательно, как Е, так и Н удовлетворяют одному и тому же уравнению (1.21) д1г дгг Это и есть волновое уравнение. В математической физике доказывается, что оно не имеет других решений, кроме функций вида 1(1 ~ з/и) и их суперпозиции.
Параметр и в данном решении есть скорость распространения волны вдоль оси Я. Таким образом, мы доказали, что электромагнитное поле распространяется в пространстве в виде волн. Из сопоставления уравнений (1.19) — (1.21) имеем (1.22) у еп т. е. получаем известную формулу Максвелла. Величина и = )Гз)г = с!и называется показателем преломления среды. В рамках электронной теории физический смысл этой важнейшей величины связан с колебаниями электронов и ионов под действием световой волны, распространяющейся в исследуемой среде, чем и объясняется наблюдающаяся на опыте зависимость показателя преломления от длины волны (см.
гл. 17). В классической электромагнитной теории столь формально вводимый показатель преломления считается константой, определяемой значениями е и 1г для исследуемой среды. В вакууме е = )г = 1 и, следовательно, и = с. Распространение волны и в этом случае происходит не мгновенно, а с конечной, хотя и очень большой, скоростью. Вопросы об экспериментальном определении скорости электромагнитных волн и согласии с опытом выражения и = с/и см. в Э 1.5.
Заметим также, что магнитное поле Н распространяется с той же скоростью и = с(п (уравнения (1.19) и (1.20) однотипны1. Этого и следовало ожидать, так как распространение векторов Е и Н в виде электромагнитной волны есть единый процесс. Вернемся теперь к выявлению тех ограничений, которые связаны с введенными выше упрощениями в постановке задачи. Выше уже указывалось, что закрепление направления колебаний векторов Е и Н соответствует переходу от эллиптической к линейной поляризации электромагнитной волны.
Постановка одномерной задачи [Е = ~р (е, 1)) фактически означает использование плоских волн. В этом случае излучению с плоским волновым фронтом соответствует в оптике параллельный пучок лучей. Отклонимся от вопроса о том, сколь реально экспериментальное осуществление плоской волны, и исследуем подробнее ее свойства. Выше указывалось, что в общем случае плоская волна описывается функцией вида / (1-л- г/и).
Наиболее простым, но очень важным частным случаем такой волны является волна, возникающая в результате гармонического колебания, которая записывается следующим образом: Е = Е, соз а (/ — г/и). Это и есть выражение для плоской линейно поляризованной моно- хроматической волны (а = сопз1), и его можно записать любым из приводимых ниже способов: Е= Ео соз ~а/ — — ~ =Ел соз ~а/ — — ~=Е, соз (а/ — йг).
(1,23) ит ) где й = 2пй — волновое число. Здесь приводятся эти элементарные преобразования, так как в дальнейшем будут использованы различные формы записи уравнения плоской монохроматической волны. Удобна запись и в виде Е = Ре Е, ехр 1/а (/ — г/и)] = Йе Е, ехр(/ (а/ — йг)]. Амплитуда может быть комплексной (физический смысл этого связан с эллиптической поляризацией волны), и, кроме того, Š— величина векторная. Поэтому в общем случае нужно записать выражение для плоской монохроматической волны в виде Е = Е, ехр ]1(а/ — йг)]. (1.24) Соотношение (1.24), описывающее монохроматическую волну, служит одним из возможных решений волнового уравнения, и такая волна обязательно должна быть поляризована (в общем случае эллиптически).
Итак, мы пришли к чрезвычайно важному утверждению, глубокий смысл которого заключается в том, что поляризация моно- хроматической волны является прямым следствием уравнений Максвелла. Однако опыт показывает, что если не применять специальных приспособлений, то в оптических экспериментах практически всегда мы имеем дело с неполяризованным светом. Почему и как нарушается поляризация электромагнитной волны, будет рассказано ниже. Если направление колебаний вектора Е уже задано, выражение (1.24) упрощается и эту формулу можно записать в скалярном виде. Тогда оказывается целесообразным использование при дифференцировании исследуемой функции так называемого символического метода. Так, например, если ищется решение волнового уравнения в виде Е = Е, ехр ](а (/ — г/и)], (1.24а) д то операция дифференцирования по времени —, сводится к умножению д .а дз функции (1.24а) на (а.
Аналогично, — = — 1 —, — „= — аэ, дг и' до оз / . а1з вэ дгэ Подставляя эти значения в уравнение (1.19), имеем са / ват — ееЕ= — ~ — ) Е, еп ~ иа) откуда в явном виде получаем формулу Максвелла и = с/)Ге(а. Легко найти также соотношение между значениями векторов Е и Н в каждый момент времени и в каждой точке пространства.
Восполь- до е дЕ зуемся уравнением Максвелла — — = — —. Ищем его решение в виде да с дт ' Н = Н, ехр 1(со (1 — гни)), Е = Е, ехр ((со (1 — гlи)1; отсюда находим 1 — Н= — иоЕ. О а и с Заменяя и=сl) е р, имеем ~/)а Н =~/ е Е. Для диэлектриков, как уже указывалось, обычно р 1 и, следовательно, Н= Р'нЕ; в вакууме Н =Е. Так как в свободной волне векторы Е и Н синфазны, т. е. одновременно и в одних и тех же точках пространства достигают максимального или минимального значения, то легко изобразить распространение линейно поляризованной волны на графике (рис. 1.5), избрав Рис. 1.5.
Распределение в пространстве поля линейно по- ляризованной волны в качестве осей координат направления векторов Е (ось Х) и Н (ось У) и направление распространения (ось Я). Совершенно аналогичная картина получается для зависимости от времени поля линейно поляризованной волны, наблюдаемой в определенной точке пространства. Следует иметь в виду, что векторы Е, Н и направление распространения всегда составляют в свободной волне так называемый правый винт. Это очень важное свойство станет более очевидным, когда будет введен вектор, характеризующий распространение энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
