Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Поэтому усреднение можно проводить лишь в том случае, когда |с значительно больше атомных размеров. Такое неравенство соблюдается для всего оптического диапазона спектра, включая короткие ультрафиолетовые лучи. Сложнее обстоит дело в рентгеновской области спектра, где Х ж 10-а см, т. е.
того же порядка, что и размеры атомов. В рамках данного курса количественные оценки будут проводиться лишь для оптического диапазона спектра, где законность усреднения микроскопических уравнений поля не вызывает сомнений. При переходе к дифференциальной форме законов электромагнитного поля используют следующие теоремы векторного анализа: Теорема Гаусса о преобразовании поверхностного интеграла в объемный: ~ а„сБ = ~ б|ч асП?. (1.1) Теорема Стокса о преобразовании интеграла по замкнутой кривой в поверхностный интеграл (поток ротора через поверхность, охватываемую исследуемой кривой)*: ~ а,Ж =~ го1„асБ.
(1.2) ' См: С м и р н о в В. И. Курс высшей математика. Т. й. М., Гостех~еорнадат, 19?О, 11 Итак, вспомним законы электрического и магнитного полей'. Первый из них — основной закон электросгатики — закон Кулона. Как следствие этого закона, формулируется теорема Гаусса о потоке, которая при наличии диэлектриков в исследуемом пространстве записывается в виде ~ Р„й$ = 4п ~ рс(У. (1.3) Отсюда указанным выше способом переходим к дифференциальной форме закона б)ч Р = 4яр, (1.3а) где 0 — вектор электрического смещения, р — объемная плотность зарядов. Существенно, что выражения (1.3) и (1.3а), полученные из уравнений электростатики, обобщаются Максвеллом для переменных полей, где 1л и р зависят от времени.
Отсутствие в природе магнитных зарядов (монополей) приводит к выражению ~в„й$ =о, (1.4) которое преобразуется к виду йчВ =О (1.5) Дифференциальная форма этого закона получается применением теоремы Стокса к равенству (1.5) и описывает связь плотности тока 1 с напряженностью магнитного полн в данной точке: го1 Н= — 1. (1.6) с «См. Фриш С.Э., Тимореиз А. В.
Курсоошей физики.Т.2.М., Физматгиз, 1962. 12 (1.4а) Эти формулы соответствуют хорошо известным модельным представлениям о силовых линиях электрического поля, начинающихся на положительных зарядах и заканчивающихся на отрицательных, тогда как линии магнитного поля замкнуты и охватывают породившие их токи. Введение понятия линий электрического и магнитного полей совершенно не обязательно (смысл законов содержится в приведенных формулах), но, как и во многих других случаях, наглядность модельных представлений помогает пониманию явления.
Переходя к описанию свойств электрического тока, сформулируем основной закон о зависимости напряженности магнитного поля от силы породившего его тока. Этот закон обычно связывают с именами Био, Савара и Лаллоеа. Запишем его в виде, который называют теоремой о циркуляции вектора Н: Как известно, Максвелл ввел ток смещения, плотность которого удовлетворяет соотношению 1 дп см 4и дг Ток проводимости и ток смещения дополняют друг друга, образуя полный ток плотностью )пспп = )пр + )ем~ которая, согласно Максвеллу, и фигурирует в уравнении (1.6).
Последним из требующихся нам фундаментальных соотношений является математическая формулировка знаменитого открытия Фарадея — закона электромагнитной индукции. 1 аф 3 ппд— с и! Э 11.У) в котором электродвижущая сила Жппп, возникающая в замкнутом контуре, связывается со скоростью изменения потока магнитной индукции Ф, пронизывающего этот контур. При соблюдении некоторых условий эксперимента (в частности, если контур с током неподвижен и не деформируется за время измерений) справедлива следующая интегральная запись закона индукции: Е! а1 = — ".— — 1 вп йЯФ ф .1 и' с й (1.8) откуда легко получается дифференциальная форма закона 1 дв' го1 Е= — — —.
с д! (1.9) 13 Здесь уместно сделать следующее замечания: 1. Хорошо известны соображения о вихревом характере электрического поля, порождаемого изменяющимся во времени магнитным полем. Это переменное электрическое поле существенно отличается от потенциального электростатического поля, создаваемого системой неподвижных электрических зарядов, для которого го1 Е = О. В последующем нас будет интересовать именно переменное электрическое поле. Но, как было показано Максвеллом, наличие переменного электрического поля с неизбежностью приводит к возникновению связанного с ним магнитного поля и поэтому нужно говорить о едином электромагнитном поле, характеризуемом в каждой точке пространства взаимосвязанными ортогональными векторами Е и В.
2. Введение Максвеллом понятия тока смещения вначале выглядело как гениальная догадка. Но несовместимость сформулированного уравнения электромагнитного поля (1.6) и уравнения непрерывности б(я!= — —, до (1.10) дг и!.!!и!л л! нцс!о олпо и ! самых общих свойств материи — закон сохранения !лснп!ричсского заряда, — с неизбежностью приводит к необходимости введения дополнительного слагаемого в правую часть уравнения поля. Следовательно, уравнение (1.6) должно иметь вид 4п l ! дп! го1 Н= — () + — — ). с (, 4п д1) Именно это изменяющееся во времени электрическое поле, столь неудачно названное «током смещения», и связанное с ним магнитное поле будут играть главную роль в дальнейшем изложении.
Итак, имеем уравнения электромагнитного ноля в следующем виде: бпР =4пр, 61чВ =О, го1Н= — ~) 1- — — ), го1 Е= — — —. 4п ~ ! Л!»! 1 дн (1.11) с ~ 4п Ш) с д! Их нужно дополнить «материальными» уравнениями, учитывающими соотношение между векторами Е, 1», В, Н и 1. При отсутствии ферромагнитных и сегнетоэлектрических материалов для изотропных сред можно записать эти уравнения при помощи трех констант: а (электропроводность), з (диэлектрическая проницаемость) и р (магнитная проницаемость), постулируя линейную связь между 0 и Е, ВиН,!иЕ,т.е, 1)=еЕ, В=рН, ! =оЕ.
(1.12 Следует также сформулировать граничные условия для уравнений электромагнитного поля, из которых наиболее широко будем использовать равенство тангенциальных составляющих Е и Н на границе раздела двух сред, т. е. Ев =Ечп Нн =Н«; (1.13) Если предположить, что две граничащие среды разделены слоем, в котором з, р и а изменяются непрерывно, а 1 и р конечны, то при стремлении к нулю толщины этого слоя уравнения (1.9) и (1.6) сведутся к равенствам (1.14).
Однако при решении конкретных задач часто возникает необходимость задать значения искомых функций (например, Е, или Н,) на границе исследуемой области. Такие граничные условия определяются условиями эксперимента и не вытекают из уравнений электромагнитного поля. Они должны быть добавлены к системе уравнений (1.11). В частности, при рассмотрении безграничного пространства часто задают вид тех или иных функций на бесконечности, руководствуясь физическими условиями решаемой задачи. Система уравнений, включающая в себя уравнения электромагнитного поля, «материальные» соотношения и граничные условия, названа системой уравнений Максвелла и играет в электродинамике ту же роль, что и аксиоматика уравнений Ньютона в классической механике.
Из дальнейшего станет ясно, что классическая физика зиж- дется на уравнениях Ньютона и Максвелла, а из проведенного краткого рассмотрения очевидна генетическая связь уравнений Максвелла с экспериментальными законами электромагнетизма. В электродинамике доказывается, что система уравнений Максвелла является полной, т. е. из нее можно получить все свойства электромагнитного поля. Укажем также, что уравнения Максвелла, выведенные для неподвижных тел, справедливы и для движущихся тел, хотя этот вопрос требует дополнительного исследования (см.
гл. УП). й 1ДС ПОПЕРЕЧНОСТЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН б(ч 0 = О, б(ч В = О, го1Н= — —, го1Е= — —— 1 до 1 дВ с дФ с дг (1.14) при связи 0 = еЕ, В = ИН. Как правило„ в диэлектриках р м 1 и можно считать В = Н, но для сохранения общности пока не будем исключать р. На границе раздела двух дизлектриков по-прежнему будут справедливы граничные условия для тангенциальных составляющих векторов Е и Н, т. е.
Е,, =Е„и Н„= Н„. Исследуем очень важный частный случай (вносимые ограничения будут позднее оценены) — одномерную задачу, иными словами, примем, что векторы Е, 0, Н, В зависят только от г и Т. Это отнюдь не значит, что векторы Е и Н не имеют х- и у-компонент, но в данный момент времени 1 и при г = сопз1 эти компоненты имеют вполне определенные значения, одинаковые на всей плоскости, перпендикулярной оси г. Такое поле называют однороднь~м. Подобное ограничение позволит пока не пользоваться формулами векторного анализа, а решать скалярную задачу.
Система уравнений Максвелла позволяет корректно описать возникновение и распространение электромагнитных волн, представляющих собой совокупность быстропеременных электрического и магнитного полей. Такие волны вполне материальны и характеризуются определенной энергией и рядом других параметров, позволяющих экспериментально их исследовать. Все дальнейшее изложение фактически будет посвящено изучению физических процессов, связанных с распространением коротких электромагнитных волн и выявлением их свойств в различных условиях эксперимента.
Отложим до следующего параграфа более строгое доказательство существования электромагнитных волн и начнем рассмотрение их свойств с наиболее простого случая — распространения волн в однородном диэлектрике (о = О), не содержащем объемных зарядов (р = О). Очевидно, что в этом случае 1 = О, т. е. всюду и всегда отсутствует ток проводимости, а наличие магнитного поля Н связано лишь с существованием переменного электрического поля (тока смещения). Систему уравнений Максвелла в этом случае можно записать следующим образом: Обратимся сначала к вопросу о поперечности электромагнитных волн, распространяющихся в безграничной изотропной среде (свободных) !!~ первой с~роки уравнений Максвелла (1.14) следует, что О, сонь! и Л, — сопз!. Эти соотношения указывают на постоянство сосз виляющих векторов 0 и В вдоль оси 2 во всех точках пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
