Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 163
Текст из файла (страница 163)
Этот вектор, очевидно, равен Р =Р— 1(0 1). (25) Так кзк элсктричсскпй вектор Е тоже перпендикулярен к 1 н компланарен с Р и 1(см. рис. 14.!), то 0 параллелен Е н, значит, его можно представить в виде ( Е)Е вг (26) где использована выражение (15). Из последних двух соотношений следует, что Е= —; [Π— 1(0 1)) = — ",Р „. (27) л Это уравнение аналогично уравнению (4) и формальна его можно получить прп взаимозамене Е н Р, и и 1!а„)г н 1'р н з н — 1.
Из основных уравнений выте- кает совершенно общее правило взаимного гоолшгтгтвия. Рсгпплс гии всв иитгргсуюи!иг иас пгргмгиныг в дви ряда: 'с ' И' с,' и,' е,;' гг' е,' се' с„' Ю' Тогда, если в л!инин спотиоимиии, 'которое связывает вглитты, приведенные в одном рлду, заменить вгг параметры гоол!вгтгтвуюигими лиригигтрими из друго~о ряда, та полу мнипг саотноиггииг пшкжв будет справедлива Применяя зто правило к уравнению волновых нормалей Френеля (24), мы немедленно получим искомое лучевое уривигииг !гсг — !!сг !гс'; !/сег 1)е) — !Ф' Конечно, зто уравнение можно записать в форме, аналогичной (20) и (21).
Уравнение (29], как п (24), квадратпчпо относительно о'„и для каждого на- правленияя луча 1 Р„ге, Г.),!ает две возможные лучевые скорости а,. Соответст- вующее направление вектора 0 можно определить, реп!ая прн каждом зна- чении а„уравнение, эквивалентное (23), а именно Рг= — — ', 1г(0 1] (й=к, у, г). (30) с[ — с', Затем, используя (14.1.!2), можно найти направления обоих векторов Е (ко- торые, как мы видели, перпендикулярны к 1). Как правило. задается лишь один из векторов з или 1; поэтому желательно вывссти соотаошснпя, с помо!пью которых можно было бы пряма найти не.
известный нектар. Из рис. 14.! имеем Е.э=Ел!па, 0 1=- — Рз1па. (3!) Но, согласно (4), 0 =и'Е, Iр. Следовательно, используя (7) и (9), находим в' . вг 1 с" 0 1=-- — Егз!па — — — Е.зсоза= — — — Е з. (32) и'нпгс Подстановка (32) в (ЗО) дает ! сгс Рг=-егЕг=- ., ', (г(Е.з). И ср(сгг с ) Сравнивая (ЗЗ) с (23) и учитывая, что рвьиг = г", получим (34) ег ср сг — ср 6 14.2! ыонохгомдтическля плоскля волне в *низотеопной сркак 62! Релпвя относительно йы найдем ер рлр — в) — — '„з„, ср ве " рр так что (35» с,' — лр о (е — о ге=о зе-г (36) р Р л Возводя в квадрат н складывая трн уравнении (36), а затем используя соотношение (9), т. е.
з.(=.орЪ„, получим Следовательно, мы можем написать йы — и„'(и, 'и'1 (33) — -1- — + — =С (С=йпгв=й.Р). рл рт ре е. е е, Заменим Р„()'С, Р,,7С и Р,)гС на х, у н г и будем рассматривать последние кал дека)новы координаты в пространстве. Тогда хт уе г' — + — + — = — 1. (41) ее еу ее Это уравнение опысывает эллипсоид, полуоси которого равны квадратному корню из главных диэлектрических проницасмостсй н совпадают по направлению с глзвнымн диэлектрическими огяын.
Мы назовем такой эллипсоид .ылипгопдож родновых лоажалеи, употребив это название вместо широко используемого, по доаогп но неопределенного термина еоптическая шщикатриса» (он известен также как эллипсоид индексов). (40) ") Пележееае лучей, которые сеетветствумт деюый нормали, подробно рвссыатрнвветсн длп случая влухсснлы кристаллов в книге Дй Берна [31, Это соотношение выпажает о„через в, так кзк зависимость ер от е уже известив пз уравнения Фреисллл (24). Определен тзкны образом и„получилл пз уразпеши (36) елчничнын вектор 1 как функцию в. Используя выражение для д, можно представить уравнение (36) в виде (39) Так лак каждому вектору в в облпеы случае гоотнетстнукгг двг фазовые скорости и, то для каждого направленая волновой нормали имеется два направления луча "). Однако в некоторых кристаллах (двухосные кристаллы.
см. и. 14.3.1) существуют два особыл направления, которым вследствие исчезновения знаменателей н (39) соответствует бегхонечпое число лучей. Существуют также два особл|х направления луча, каждому из которых соответствует бесконечное число иапрзвленнй волновых нормалей. Этп спецллальные случаи обусловливают интересное явление (коническая рефракция), которое будет рассмотрено н п.
14.3.4. 14.2.3. Геомегрическлте построении для определения скоростей распространения и направлений колебаний. Многие результаты, относящиеся к фазовый и лучевой скоростям и к направлениям колебанвй, можно прои.ллюстрировать с помощью некоторьж геометрических построений.
и. Эллипсоид еодыллых нормалей. Согласно уравнениям (14.1.13) компоненты вектора Р прн заданной плотности энергии ш =- 2юе удовлетворяют со- отношению 622 [гл. 14 кгистхллаоптнкв Если воспользоваться эллипсоидои нормалей, то обе фазояые скорости а„ и оба направлении колебаний О, соответствующие данному иаправлеичю заиианай нормали в, можно найти следующим образам, Через начало координат проведем плоскость, перпендикулярную к в.
Сечение эллипсоида нормален такой плоскостью представляет собой эллипс,. направление глазных асей которого укззызает направление колебаний зектарз О, а длины полуосей обратна пропорциональны соответствующим фазозыи скоростям а (рис. 14.2). Для получения атаги результата рассмотрим дзз уравнения, которые определяют наш эллипс: хв +уз,+гв =О, — + + е.'е е (42) (43) гв-ГЛ,=О. (47) Тсперь, умпожаи уравнения (46) на з„, вг ц в, и складывая, найдем, сиона учитывая (42), Л,+Л, ~ —,"+"— ,'+ —,') =О.
Подстановка в (46) Л, и Лв из (4У) и (48) дает х(1 — )+з„гв ( — ""+""+ — '„") =-О и сшс дза зпзчогичных урапиеиия. Ллд заданного в это три однородных уравнения оп>оситс. ьао л, у и г. Опи сан>житны только тОГда, когда соответствующий детерминант обращается в нуль, что дает алгебрзн>сскас уравнение для г', Легко, однако, заметить, что уравнения (49)) отличаются от уравнений (18) лишь обозначениями. Если мы заменим х на >г) )г~С, х>е„на Ек()>С и г' ма 0в>С= 06(Е О) = лв>р (з согласия с (11)), то (49) примет зид р0„=ив (Ек — в„(Е з)), (50) что вместе с двумя аналогичными ураиненнямн идентично (18).
(48) (49) ') палеве опиеввневтото метода см., ввврнмор, в 141, Так как по определению глазные оси эллипса служат ега авимеиыпим и наибольшим лиаметрзми, мы можем апре- соне волновал пордслнть их, находя экстремумы нели >ииы >' = х* -~- у'+ г' (44) с дополнительными условиями (42) и (43).
Зто мы сделаем методом неопределенных множителей Лагранжа "). Виезем даз множителя 2Л, и Л, и скопструнр>ем функцию Гвв ув >"'.= х'-1- У'+ г'+ 2Л, (хек+ Узг+ гзк) + Л, 1 — + — + — ) ° (45) и Г к Тогда иап>а задача сиодится к определению экстремума функции Р без дополяительных условий. Необходимое условие экстремума функции Р состоит н равенстве нулю ее производных па х, у и г, т, е. х+ Лезк ф — ' = О, у+ Л ах+ — '" = О, з+ Л>во+ — '" = О, (46) е 'г ек Учнолтап эти вразнення соответственно на х, у и г и складывая, получим, учит>.зая (42) н (4)), 4 14,2) ноиохеомлтическля плоскея волне в хянзотгопной среде б23 Таким образом, мы нашли, чта корни определительного уравнения для и = с>аг (аио, кзк ны в>щели, квадра>ична) пропорциональны длинам г полуосей эллижическаго сечения, перпендик>парного к э. Кроме того, два ва>- можиых направления вектора 0 совпадают с пая.
равлениями этих осси. Тяк как оси эллипса взаимно ' перпеид»куляриы, то мы получили следующий важный результат нанраггенюч колебаний двух вгкто- л>л л>г ров О, иютвстству>аи(их заданнонр направлению распространения э, взаимно перпендикулярны Обозна- л чим два иаправлечия О, которые с>хаветствуют данному направлению волновой нормали з, через 0' и 0"; таким образом, 3, 0' и 0" образу>от оргагопаль- '«7У иую тройку векторов. ар-, ь я' В спецназ ноы случае сазпвтепня направления распространения с одной из глав»ых осей эллипсопда "' 2>" й> норнзлеи, например, с осью х, экстремумы г равны, саглзсно нашем> постросшцо, длинам двух других полуосей,т.
е. )> е„н )> е,, Но мы показали, что экстремучы гравяы также н>Ь р — с,'о )ур. Стсдовагсль- р 143 г> Р»с. 14.3 Построен»е зля яо, фаэ>ю>г Снараг>пи вали, >иин>фьн (нггирастртнтат-, ред лата ял скестея ся в направлении аси х, равны с>)> ре и е>>Е Ре,„елееез»в(Е,, о ) в(е, о">. т. е, геавнын с>гаРастан РиеипастРангнил ое и а„вввденньое форнилено с ао»ои(ью соагпноигний (22). Конечно, соответствующие реэ>льтаты имеют место и для распространения в направлении двух других асей. Сущесгвует и иной способ построения, с помощью которого можно определить направления колебаний.
Известно, чта у эллипсонда существукхг два круговых сечения С, и С>, проходяц(их через центр, я что нормали к нвм р)> а (Ч, компланаргг ны с наибольшей и папиепьшей глзвяыми осях>' ми (г и х) эллипсоида. Направления Р)> и Ме иаэываютс» ентича>киви осями ") и будут рзссмотрены подробно н п. !4.3.3. Твк кзк С> и С,— .р" круговые сечения (и имея>т оданакавые радну.
сы), то в направлениях Р(„Р)> существует един«"гвеи> з» сю>рех гь ра> про>хранения; при игам звякая ке ряс, 14.3. 0 может иметь т>юав »вправление, перпеидзкулярцое к а. Пусть Š— эллиптическое центральное сечение, перпендикулярное к проязвальиому единичному вектору »армани э. Плоскость этого сечения пересекаю круги С, и С, ндал~ двух радиальных векторов го г„ которые равны по вслиюше н поэтому должны образовывать равные углы с глав»мни ос»ми сечения Е (см. рнс.
14.3 и 14Л). "1 аким абразоц, искомые изпрзвлснпя колебаний являкпся биыектр: свми >глав между г, и г,. Но г, перпездш улярен к )Ч> и з и поэтому перпендикулярен к пласкскти, садержащсй Х> и ь; аналогично ге пеРпеиДпк>л»Рен к плоскости, соДеРжап(ей Х> и к. Если этн плоскости псРссскзют плоское>ь эллипса Е ьДаль вектоРав го г.,', то главные осп эллипса также должны служ>а» биссектрисами ущюв ме>кд> г,' и г,'. (.ледоватсльио, т>о>кос>пи юомбаний ещтори .ыеюнричвсьога снеи>еаия, т.
е плоскости, содер>кащие в и 0' или 0", делят поползи внутренний илн внешний угол между плоскостямн ()Ч„з) и (Х,, э) 'е). Это построение агз.о»ится неопределенным, если направление з совпадает с направлением р(> илн Ме ') Те«нее, ленински,еи сеяли ее.инни> нерявлеа. Схкаветствующяе ее»саня лучевого эллипсе»хз (сл:. е»зе) ечрехелегт вета гыие ли>геен ееи «') В вастеящей глене символ (е, Ь) аеяачает ил>як>нт>, содержащую векторы е в Ь. (гл. 14 кгистнллпоптикд б. Лучевой эллипсоид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
