Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 165
Текст из файла (страница 165)
гйгп три во»важности соответствуют трем группам (в порядке 111, ! ! н 1), которые мы тол~ко что рассмотрели. Териниы «однооспый» н «двухосныи» относятся к числу оптических осей эллнпсоида, т. е. к числу диаметров эллипсоидз, перпендикулярных к его кругозолзу центральному сечению. В общем слу ше эл.тнпсоид имеет два таких диаметра (двухосные кристаллы), сфероид — одна (одноосные кристаллы), а сфера - - бесконечное число 1изотропные кристаллы), В табл. !4.1 приведены все випми>к»зые случаи. 1'лавныс диэлектрические оси, положение которых може~ зависеть от длины волны (С), пщ»ыаоы двумя тонкими линиями под небольшим углом друг к другу (что укззынает на их положение для двух длин волн), фыкснровазшьзе оси (Г) иэобрззкены хгирнычи линиями, з оси с произвольпыы направлением (»2) поз,азапы в вндс пунктирных линий, заканчивающихся ва круге или сфере.
14лй2. Распространение света в одноосных кристаллах. Начнем о уравнения волновых нормалей Френеля (14.2.24) и запишем его в виде в»»(озз — о>~~] (озз — о )+5»»(и»,— о ) (о»,— о„).т.з (»»р — о„) (оз — оз) =О. (1) Для оптически односснь|х кристаллов с оптической осью вдоль нзпранлсння е имеем о„= оз. Обозначив через о, эту обгдую скорость н через о, скорость ою получим нз (1) "') (оз — оз) ((з»+ ззз) (ор — и ) + з (Ор — о»)1 = О.
(2) Пусть Ю вЂ” угол, образуемый нормалью з с осью г; тогда 3 +5 =ззп'б, 5» — соззб, и (2) переходит в (из — оз) ((озр — оз) з(пз б+ (оз — оз) соззб) .-.=. О. Двумя корнями этого уравнения (скажем, оз и оз) служат (о,')'=-оз, (о,)з =о»сов»О+о» з!изб, (4) Уравнения (4) показывают, что двувз оболочками яоверхи»ми»»» нормалей служит сфера радиуса оз — — о, и овалоид — ловерхяо»тпь враи(е»«»»л четвертого гшря»)ка.
Таким образом, одной из двух поли, соответствующих люболзу данному напранлеиикз гюлновой нормали, является обьигигыенн я волна, скорость которой не зависит от направления распространения. Другая — необыкиовгииал во,»»»а, скорость которой ззвисит ог угла между направлением волновой нарвали и оптической осью. Обс скорости равны лишь при О = О, т. е. когда волновая нормаль направлена вдоль оптической осн. Когда о, ьо, (рис.
14.6, а), обыкновенная волна распространяется быстрее, чеы пеобыкповеипзя (ис»тюкая направление О=-О, когда нх скорости разны). Такой кристалл называют положительным одпоосным кристаллом (иэирил»ер, квнрц). Если о,(о» (рпс. 14.6, б), обыкновенная полна рзспросзраняется медленнее, чем необыкновенная, н мы называем такой кристалл отрицаглельиым одноосным кристаллом (например, исландский шпзт).
') тззирк»»зр, кр»сг»ллы »око«линзой системы хзрзктзрязу»отгз либо з»ыо второго зоззлзз. ззрзз»ельаой взвой яз крэг»азлограгззчз»зил осей, либо зеркальной пло. скос»»ю, ззриекззкулярзой зй, либо э тзы, з другим. Яыю, иэ ьо зсзл свучззз одна вз осей этого эл:.и гсовзз зо экзз бы»ь изозл ~ель» з гзьой »»ркс»злзогрзюзчзскот» оса.
катар»я об»сиз«из»э» с~о »ьзрзззззз зр». оэзрзаяз», зе ыея»»ю~ззх гзччг.гью зрэстзллзчзской струк»уры. Вохров»о» оив«зяэз крэг»зализ»»«зх зззг»ол з озьоз!иа сзычзтояз прззоазтгз з кзвгз 151. **1 Пззгь индексы о н в означаю«. юбыквозеввый» э «кеобыквовекный», что станет понятным з дзльяшшзм. (гц. 14 кгистАллооптнхх Направления колебаний нетрудно найти обычным способом с помощью эллипсоида волновых нормалей, у' которого в данном случае две разные главные осн. Плоскость, в которой лежит волновая вормаль а и оптическая ось Ог, называется главной ллоскослвю (па рпс.
14,7 она заштрихована). Эллипсоид Паэпг па<в« л) в7 Рас. 14.6. па««рхиастн варн«лев вала«акал»«ага (а) а атрицательаага (о) цаца»сва«в «р«ст«лля, симметричен относительно этой плоскости. Отсюда вытекает, что эллиптическое сечение плоскостью, проходягцей через О и перпендикулярной к в, симметрично относипльцо главной плоскости и, следовательно, одна из главных осей эллипса перпендикулярна, а другая параллельна главной плоскости (см. рис. 14.7). Длина полуоси, перпендикулярной н главной плоскости, равна радиусу экваториального круга офероида, т.
е. обратно в) пропорциональна скорости о, обыкновенной волны. Рбы видим, что вгкяор 0 обыкновенной волны ())' на рис. 14.7) колаблется пврпвндикулчрно к главной плоскости, и ввкпюр нгцб»илов«мной волны (В") — в главной плоскости. Оптические явления в одиоосных кристаллах сыграли значительную роль в истории оптики в связи с вопросом о том, перпендикулярно лн колебание «светового вектора» к плоскости поляризации или параллельно ей.
Плоскость поляризации определялась каи плоскость падения света, падающего под таким углом, чтп любая падающая волна превращается при отражении от плоской грзиппы воздух — диэлектрик в линейно поляризованную, т. е, иа языке электромагнитной теории как плоскость (Н, з) (см, стр. 47 и 59). Сегодня не имеет смысла подробпообсуждать этот Ря«.
!4.7. П«цр«г ВОПРОС *), тЗК КаК МЫ ЗнаЕМ, Чта ПвтОДПОГО-ЕДИНСтВЕНВОГО я«яяя «ат«е«я»в физического понятия, которое можно былобы считать«свез 'цмаасцаи «Рц- товьгя векторов». 14.3.3. Распространение света в двухосных кристал- лах. Теперь исследуем главные следствия основного уравнения (1) для общего случая двухосного кристалла, Опо поможсг пам наглядно предсгавить поверхность нормалей. если вначале мы рассмотрим сечения этой поверхности тремя координатными плоскостями х=О, у=-О и «=О нашей исходной системы (главные диэлектрические оси).
Для определенности будем считать, что е, С аг»< а (в„ >'вг > в ). (б) ') Описание астория запроса см. в книге (з). 9 14.3) оптичзскин свойстве одноосных и двухосных кгнст*ллон 629 Если в уравнении (1) положить з„ = О, то оно распадется на два, а именно (ьр) = О» (ор)'=с»во+О>(з».
[6) Положим пло = р, с в,=.г, тогда пр'-— -р»+з», и уравнения (6) примут в>ш р» -1 з' = с»н (у»+г»)' =-п~у» + од»з».1 (ба) Таким обрзюч. з сечении повеохкости нормалей координатной плоскостью х -О получаются окружность и овал. В ссмспни каждой из оставил>хся дв) х координатных плоскостей также полу чаются окружи ность я овал, прн >ем едиипп>епное рззлпчпезаключается в относительном расположении этих двух в Рзе.
14,9. Поверхность нори»лев двухосного крнстеллд. Рнс. 14.З. Ге»еннн оонерхностн нор»»алея двухосного крзсталнз. кривых. Прн выборе осей, заданном (5), вся окружность расположена вне овала в плоскости рг и внутри нега в плоскости ху. В плоскости гх окружность и овал пересекаются в чстырех точках (рис. 14.8). Нэ рис. 14.9 в перспектив. показана часть поверхности нормалей, стягиваемая кривььин А'В'Г'Ж и А "В"С"Л(.
В общем случае две ~онсрхнос~п пересекаются по кривой, но н нашем случае онн имеют лишь четыре общие точки: точку Л' и сгютнетствующие точки в других квадрзптах. Две линии, соединяющие начало координат с кажи»>й пз ьпнх точек, являются двумя оптичгскнып ш:нчи волновых нормалей. Из геоме>рнческой теоремы о числе пен> рнльных кр)говых сечений зллипсонда. упомянутой на стр. 623, следует, что нс супгеств) ет других таких точек н, значит, других оптических осей волновых нормалей Л(ы подтвердим зто прямым расчетом н одновременно выведем неравенство, которое понадобится нам в дальнейшем. Пусть ". =од»+ Ч», о.'= с,' — В., од» = од»+Ч, (2) где»)» и»), положительны (смр(6)). При такой зал>ене уравнение (1) примат внд Фг (д +»),)+ 3,', (В+ Ч.) (д — д.) Ч-3'. (Ч вЂ” Ч,) (> = О (Ва) или »)»+ [з,"4»+ зАВ, — »)„) — 5»»)„] Ц вЂ” зди»в, =-О. (86) Так как постоянный член — з»»В„»у» не может быть положительным, корни етого ъравнения должны быть вещественными.
Если мы обозначим нх через»)' и В", то наидем г)'в" =- — зо(.р, --О. Следовательно, В' и 4' должны иметь разные знаки. Пусть»)')О, а»)' -.О. Если в>д» или В< — В», то все члены слева в уравнения (8а) положитееы>ы. Вне;>оватсльно, значения») должны лежать в интервале — »),<(><(>„ и, таким образом, — в, -з'--О<д'<дд. (9) Два корня»)' и»)" могут бить равными, то вко если оби они равны ирлю, Тогда, кРисг*ллооптикх [гл. 14 (14) согласно (86), мы должны иметь одновременно !!О) Таким образом, мы получили два направления з, для каждого из которых со- отвстствугощие две скорости равны, что подтверждает существование двух оптических осей волновых нормален. Как уже было отмечено ранее, зги осн лежат в олоскостн хх. Если Р— угол, который образует одна из осей с направ- лением з, ток,=з!п6 из,=сааб, где, согласно(10), !86=,—" ~']У ~" =-~']У (11) Г Ч РР— Р„ Таким образом, оптические оси расположены симметрично относительно оси г, Неравенства (9) можно записать через скорости, т.
е. слг - (РР) - РР ~~ (оР) ~~ пг. (12) Вто соотнопгсние гтонадобится наы в дальнейшем. )г(ы видим, что обе фазовые скорости вещественны для любого направления волновой нормали. Такое же заключение вытекает, разумеется, из геометрического построения лля фазовых скоростей с привлечением зллипсоида волновых нормалей. Выражение дли двух фазовых скоростей, соответсгвующих заданному направлению волновой нормали з, принимает очень простую форму, если з определить через углы б, и д„, которыеэта нормаль образует с двумя оптггче- скнми осями волновых нормалей. Поскольку нзправляющпе косинусы отгы чсских осей равны ~з!и 5,0, сох[3, углы дг и дг определяются соотношениями создг=згз!п[)+згсозй, созд,= — з з!п6+згсозр.
' (1Э) Корни уравнения (86), выраженные через з„и з„иммет вид ! Ч=~ — Р~ — Р б, 2 2 где, если воспользоваться тождеством а„'+з„'+зг = 1, Р = з„'Ч вЂ” з[Ч„+ Чг — Ч„, (15) 8=РР+4РРЧ„Ч,=(Ч +Ч)г--2(Ч„-ЬЧР)(агуг+згг)г)+(згЧР— згЧР)г. (!6) Но из (13) и (11) имеем созб,гоаб, =.. '* "" сов*6,, соз'6,— 2 "'" * * (17) Ч«-Еег г'' ' Чг+Ч. Следовательно, выразив (15) и (16) через б, и б„получим Р = Чг — Ч,— (Чг+ 4„) соз б, соз 6„ (! 5а) .1= [(Чг-1 Чг) 3!Пб„з!ПЮ ]», (!6а) Подставляя (15а) н (16а) в (14) и залгсняя Ч, Ч„и д, их значениями из выраже- ний (7), окончательно находим о'„= —, [о„' -1- о, '+ (о* — ег) соз (б, ~ 6,)] .
1 (18) Хотя в нос теднее уравнение и ие входит РР, оно неявно содержится в б, и бм таа кок эти углы зависят от угла р, являющегося функнией всех трех главных скоростей. В частном случае односг.ного кристалле 6, и б„равны. Легко показать, что тогда уравнение (!8) точно переходкт в (4). Подобный анализ примепйм и к лучам. Начав с лучевого уравнения (14.2.29), мы найдем, что а сечегшн лучевой поверхности координатной плос- костью х 0 получаются две кривые (19) й 14.31 оптичкскне свойства одноосных и дэгхосных кгистьллоз 631 (21) т. е< г(ы ) О. (22) Следовэгельно, вектор з'<и' — этп должен быть перпендикулярен к границе раздела. Допустимые направления волновых нормалей э' можно определить следующим образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
