Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При температуре 20 С для воды о = 0,0727 Н/м, для ртути а = 0,465 Н /м. С увеличением температуры поверхностное натяжение для одной и той же пары сред уменьшается. Поверхностное натяжение на границе раздела жидкости и газа может значительно измениться из-за наличия адсорбированного вещества, на поверхности жидкости. К таким веществам относятся нефтепродукты, которые, попадая на поверхность воды, расплываются по ней и уменьшают поверхностное натяжение по сравнению с чистой водой. Вследствие действия поверхностного натяжения граница раздела, имеет криволинейную форму и чтобы находиться в равновесии, давление в жидкости должно возрасти или снизиться на, величину Ьр= сг — +— где Я1 и й2 — главные радиусы кривизны границы раздела, полученные при ее пересечении двумя взаимно перпендикулярными плоскостями.
Увеличение давления в жидкости происходит при выпуклой границе раздела., уменьшение — при вогнутой границе раздела. Граница раздела жидкости и газа в реальных условиях ограничена стенками сосуда, в который заключена жидкость. При этом появляется линия контакта трех различных сред. Если среда, 1 — твердая стенка., среда 2 — воздух и среда. 3— жидкость (рис. 2.16), то условие равновесия линии контакта, которая пересекает плоскость рисунка в точке О, выражается равенством ~12 = ~31 + <~23 соз ~ 59 Рис.
2.16. Граница контакта трех сред Рис. 2.17. Высота подъема жидкости в трубке 4п сои 0 И" р Для несмачивающей стенки жидкости значение Н будет отрицательным, что соответствует опусканию свободной поверхности в трубке по отношению к уровню жидкости, окружающей трубку. В стеклянной трубке диаметром дтр — — 1 мм вода при температуре 20 С поднимается на высоту Н = 29,8мм, а ртуть опускается на Н = 10,15мм. Эти цифры показывают, что капиллярность может существенно влиять на точность измерения малых значений давления с помощью жидкостных приборов (пьезометров и ртутных манометров). 60 При соприкосновении жидкости с вертикальной или наклонной стенкой свободная поверхность поднимается либо опускается в окрестности стенки.
Это явление, называемое капиллярностью, наблюдается в трубках малого диаметра и узких щелях. Если поверхность стенки смачивается жидкостью (например, в случае воды в стеклянной трубке), жидкость поднимается, а если не смачивается (ртуть в стеклянной трубке), опускается. Для жидкости, смачивающей твердую стенку д ( 90о, для несмачивающей твердую стенку жидкости д - 150 о. Кроме того, на перемещение жидкости в трубке влияют поверхностное натяжение и размер поперечного сечения трубки.
Лля круглой трубки с внутренним диаметром Ытр (рис. 2.17) высота Н подъема смачивающей стенку жидкости приближенно определяется формулой Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте закон Паскаля. 2. Как изменяется абсолютное давление с изменением высо- ты подъема в атмосфере и глубины погружения в море? 3. Напишите уравнение равновесия жидкой среды, 4. Как распределяется давление в жидкости, находящейся в покое относительно движущегося сосуда? 5. Как определяются силы давления, действующие на плоские и криволинейные стенки? 6.
Приведите доказательство закона Архимеда. Глава 3 КИНЕМАТИКА '~КИДКИХ СРЕД 3.1. Переменные Лагранжа и Эйлера х = х(а,б,с,1), у = у(а,б,с,1), ~ = ~(а,б,с,1). (3.1) Функциями тех же координат является скорость частицы п= п(а,б,с,й) (3.2) и другие величины: плотность р, температура О. Переменные Эйлера выбирают как координаты х, у,ю некоторой точки пространства, в котором происходит движение среды, и время ~. В различные моменты времени через одну и ту же точку пространства будут проходить различные жидкие частицы, поэтому скорость конкретной частицы в данной точке пространства можно найти в определенный момент времени ~.
В переменных Эйлера скорость, плотность и температура 62 В отличие от рассмотренных ранее случаев равновесия жидких сред при их течении, кроме значений давления и плотности среды, необходимо знать егце скорости, чтобы полностью описать процесс движения. При этом могут использоваться переменные Лагранжа или переменные Эйлера. Переменные Лагранжа представляют собой координаты а, в, с начального положения жидкой частицы в момент времени 10 и время 1, при котором определяется новое положение той же частицы. Координаты частицы в новом положении находят с помошью функций жидкой среды представлены функциями и = п(х,у,г,1), Р=йх у, ~) 0 = 0(х,у,ю,~).
Первая из этих функций описывает векторное поле скоростей, две другие — скалярные поля плотности и температуры. Суть переменных Лагранжа и Эйлера не меняется при использовании вместо декартовых координат цилиндрических и других систем координат. Если известны функции от переменных Лагранжа, то вследствие взаимно однозначного соответствия между координатами х, у, л и а, 6, с, якобиан Р(х, у, ю) ~ О. Р(а, Ь, с) (3.3) При 1 = 1о, а = х, Ь = у, с = ~ якобиан равен единице. Из системы уравнений х = х(а, Ь, с,1), у = у(а, 6, с, ~), ю = г(а, Ь, с, 1) (3.4) можно найти а = а(х,у,~,1), 6 = 6(х,у,ю,1), с = с(х, у,~,1).
(3.5) и, = и~(а,Ь,с,1), и„ = и„(а,Ь,с,1), и, = и,(а,Ь,с,1) имеем проекции скорости в виде функций от переменных Эй- лера: и~ = и~(х, у, ~,1), ия — — иу(х, у, ю,1), и~ = и,(х, у, л,1). (3.6) Чтобы перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа, следует определить связь координат х, у, ~ с переменными а, 6, с, 1. В уравненях (3.5) время является независимой переменной и величины а, 6, с равны значениям начальных координат, поэтому Их 0у Н~ — =и., — =и, — =и~. Й " й ' й (3.7) 63 После подстановки а, 6, с в функции проекций скорости от переменных Лагранжа При известном описании движения среды в переменных Эйлера проекции скоростей и„иу, и~ заданы в виде (3.6).
Подставив эти функции в правые части (3.7), найдем й ' ' ' ' й ' ' ' ' й — = и,(х,у,г,~), — = и1(х,у,г,~), = и,(х,у,г,~). (3.8) Интегрируя уравнения (3.8), получаем х = х(С1 > С2 > СЗ > ~) > у = у(С1 > С2 > СЗ > ~) > ~ = ~(С1 > С2 > Сз, ») > где С1, С2, Сз — произвольные постоянные. Величины С1, С2, С3 как функции а,о,с определяются в результате решения уравнений (3.9) после подстановки в них 1 = Ц, х = а, у = 6, ю = с.
После вычисления таким способом произвольных постоянных, отбросывая общую для всего решения величину 1О, функции (3.9) можно записать в форме (3.4) и затем подставить в (3,6). В результате проекции скорости будут выражены функциями координат Лагранжа. Из-за необходимости интегрирования уравнений (3.8) переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа сложнее обратного перехода.. В гидромеханике и технических приложениях наиболее широко применяют переменные Эйлера, что объясняется возможностью более простого математического описания процессов движения жидкой среды. При этом, поскольку физическим законам подчиняются конкретные частицы среды, вводятся понятия индивидуальной (субстанциональной) и местной (локальной) производных.
Индивидуальной ~субстпанциональной) производной называют производную от какой-либо относящейся к выделенной жидкой частице величины А (векторной или скалярной) по времени 1. Если А — функция переменных Эйлера,, то при движении жидкой частицы А(1) = А[х(1), у(1),ю(1)]. Соответственно индивидуальная производная равна НА дА йх дА 4у дА сЬ дА й дх й ду й д~ й д1 В данном случае функции х(1), у(1), ~(1) описывают движение жидкой частицы, следовательно, Ых Иу д~ — =их, — =и, — =и,. Н ' сИ ~' й С учетом этих соотношений формула (3.10) принимает вид НА дА дА дА дА — = — и + — и„+ — и» + —.
й дх * ду " д~ д1 (3.11) В курсах гидромеханики индивидуальную производную дА — наряду с принятым в данном учебнике обозначением как БА 0А й полной производной часто обозначают — или —, подчер„к Ю' кивая тем самым связь этой производной с конкретной жидкой частицей. Скорость жидкой частицы определяет индивидуальная производная от радиус-вектора по времени: о',г и = —. й и» = и»(х,у,ю,1), и„ = и„(х,у,з,1), и, = и,(х, у,г,1). Ускорение жидкой частицы равно индивидуальной производной от вектора скорости по времени: ди а = —. й Согласно формуле (3.11), ускорение жидкой частицы можно представить в виде В переменных Эйлера проекции вектора скорости будут функциями выбранных координат пространства; в случае декартовых координат дц ди дп дп а = — + и — + и„— + и —.
д1 *дх "ду 'дя В проекциях на оси декартовых координат ~и» ди» дих ди» ди, а = — = — +и — +иу + и» й д~ 'дх "ду д»' (3.12) Ии~ диц ди„ди дид а~ - -— — — + и —" + ир — + и,—; Й д1 * дх " ду ' д~ ' Йи ди, ди ди, ди, а = = — +и — +и~ — +и~ —. Й д~ 'дх "ду 'д~ Местная (локальная) производная характеризует изменение во времени величины А, которая присуща каждой жидкой частице, проходящей через выделенную точку пространства. В переменных Эйлера А = А(х, у, х, ~), поэтому местная произ- дА водная представляет собой частную производную — . д1 В соответствии с приведенным понятием местной производной первый член в правой часги формулы (3.12) называют локальным ускорением, а последующие за ним члены конвективными ускорениями.
3.2. Траектории, линии и трубки тока Геометрическое место точек пространства, через которые последовательно проходит жидкая частица при своем движении называется траекторией частицы. Уравнение траектории находят, решая систему дифференциальных уравнений — = и~(х, р, ~, Х), — = и~(х, у, ю, Х), — = и (х, у, ~, й) (3.13) Й ' ' ' 'Й " ' ' ' 'Й при начальных условиях ФО) = хО Р(~О) = уО (~О) = ~О определяющих координаты частицы в момент времени 1 = $ю. О характере распределения скоростей в движущейся жидкой среде можно судить по линиям тока. Свойство каждой такой линии 1 состоит в том, что вектор скорости 2, вычисленный для данного момента времени в любой точке линии тока, направлен по касательной к ней (рис.3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
