Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 11
Текст из файла (страница 11)
3.4). Скорости тако- го скашивания прямого угла определяются величинами идх ид~ Вху — ~ух— Х 3.4. Вихревые линии и циркуляция скорости Выше показано, что жидкая частица может поворачиваться с угловой скоростью О, 5Й. В пространстве с движущейся жидкой средой такое вращение частиц описывают, используя вихревую линию 1, касательная 2 к каждой точке которой совпадает с направлением вектора вихря Й в этой точке (рис.
3.5). Согласно условию коллинеарности элемента Нг вихревой линии и вектора Й, дифференциальные уравнения вихревой линии имеют вид Их Иу сЬ Йх йу й, (3.44) 74 Аналогично можно записывать другие с;~ при ~ ф Й. Обобщая рассмотренные случаи, деформацию бесконечно малого объема жидкой среды можно представить как результат суммарного действия растяжений (сжатий) в направлениях координатных осей и деформаций сдвига. Рис. 3.6. К вычислению циркуляции Рис. 3.5.
Вихревая линия Г = и Иг = (и~с1х + иуду + и~ах). А А Для замкнутого контура (кривая, точки А и В которои совпадают) Г = п.Иг. (3.46) На основании теоремы Стокса переходят от криволинеиного интеграла (3.46) по замкнутой кривой к интегралу по поверх- ности з, ограниченной этой кривой (рис. 3.7): 75 Вихревые линии, проведенные через точки замкнутого контура, образуют вихревую трубку, которую при бесконечно малом контуре, называют вихревой нитью.
Движение жидкой среды, при котором вектор Й вихря во всей области или в какой-либо ее части не равен нулю, называют вихревым. Одной из важных характеристик вихревого движения служит циркуляция скорости. Ц р у Ци к ляцию скорости по некоторой кривой АВ находят в виде (рис. 3.6) В В Г = и~ й = и сов(и, йг) й, (3.45) А А ~ы=а.
где Йг — вектор перемещения вдоль этои кривой, ~ Учитывая, что и сов(ц, Иг)Л = п.Ыг, формулу (3.45) можно записать так: ц ° Ыг = (гоара ° п)05 = Й„И5, (3.47) где Й„проекция вектора вихря на нормаль к поверхности. Интегралом ~ й„д5 определяет- 5 ся поток вихря через поверхность 5. Величина йвй5 называется интенсивностью (напряженностью) вихревой трубки. Рис.
3.7. Замкнутый контур при вычислении циркуляции 3.5. Теоремы Гельмгольца Теорема 1. Если в момент времени Ц жидкие частицы образуют вихревую линию, во все предыдущие (1 ( ~о) и последующие (1 ) ~о) моменты времени при движении тех же частиц существуют вихревые линии, Для доказательства теоремы рассмотрим вихревую поверхность, в каждой точке которой, по ее определению, вектор вихря перпендикулярен нормали к поверхности, и поэтому (3.48) й„=й п=О.
Г= п дг= й псам=О. (3.49) Ао ~о В момент времени 8 жидкие частицы, находившиеся в момент времени 1в на контуре Ло, образуют новый контур Л, ограничивающий участок о на новой поверхности. Для не- вязкой баротропной жидкой среды при имеющих потенциал Полагая, что в момент времени ~о существует вихревая поверхность, и выделяя на этой поверхности ограниченный замкнутым контуром Х0 участок п0, в соответствии с теоремой Стокса запишем | й„сБ = й~й (Л~, 5 Ъ' (3.51) где 5 — ограничивающая объем Ъ' поверхность, которая состоит из 51, 5~ и Е (рис. 3.8).
Согласно (3.51), поскольку ЖАЛО = й~ го~и = О, й„ЫЯ = й„д5 + й„ИЯ+ й„ЫЯ = О. (3.52) 5 51 ~2 Е массовых силах, согласи ласно тпеореме Кельвина (Томсона), циркуляция по замкнутому контуру не зависит от времени ~~ 5.5). П этому для участка о новой поверхности Г= п Ыг= й пИ~г=О. Ь 0 В связи с произвольным выбором первоначального участка вихревой поверхности равенства (3, ) 3,50) означают, что для любой точки новой поверхности выполняе у ( . ).
тся словие (3.48). Следовательно, новая поверхность, как и исходная, является вихревой. После приведенного выше доказательства можно показать, что вихревая линия при движении жид р кости сохраняется. Пля этого в момент времени 10 выделяют вихревую линию А0В0, которая представляет собой лин р ию пе есечения двух Е Е . В момент времени 1 по- вихревых поверхностен Е01 и Е0~. верхности Х01 и Е0~ перейдут в поверхности Е1 и Е2, которые также будут вихревыми, а линию Л0 0 р Л В пе есечения исходных ния АВ пересечения новых вихревых поверхностен заменит ли поверхностен.
ак Т как вектор вихря й должен лежать в касательнои плоскос кости к каждой из поверхностей Е1 и Ег, он направлен по касательнои к линии А „р АВ кото ая также будет вихревой. Теорема . ото 2. П к вихря через поперечное сечение вихревои тру ки бки постоянен по ее длине и не изменяется во времени. Для доказательства теоремы воспользуемся формулой Гаусса — Остроградского: Рис. 3.8. Ограничивающая объем У поверхность На боковой поверхности вихревой трубки Й„= О, поэтому из (3.52) следует, что (3.53) Вводя Л1 и Л2 — ограничивающие соответственно сечения 5'1 и 52 контуры, с помощью формулы Стокса можно найти цир- куляции Й„ИЯ = и .
дг = Г2, Ь2 Я2 | Й„ЫЯ= и Нг= — Г1, Ь1 51 (3.54) (3.55) где Г1 и Г2 — циркуляции, вычисленные при обходе контуров в одном направлении. Учитывая соотношения (3.54) и (3 55), легко заметить, что поток вихря через поперечные сечения 51 и 5'2 будет одинаковым, т.е.
постоянен по длине вихревой трубки. Неизменность потока вихря во времени обосновано упомянутой ранее теоремой Кельвина. Следствием постоянства потока вихря через поперечное сечение вихревой трубки является то, что вихревые трубки не могут обрываться внутри жидкой среды в силу непрерывности поля скоростей. Вихревые трубки оканчиваются на границах пространства, занятого жидкой средой, или имеют форму замкнутых колец (рис. 3.9).
При доказательстве теорем Гельмгольца использовалась теорема Кельвина, которая справедлива, если жидкая среда принимается невязкой и баротропной. Кроме того, предполагается, что массовые силы потенциальны. В отсутствие этих условий вихри могут не сохраняться. Рис. 3.9. Вихревые трубки в ограниченном пространстве с жидкой средой 3.5. Безвихревое (потенциальное) движение жидкой среды При безвихревом движении жидкой среды (3.56) й=гоСп= О.
(3.57) дД д2' ди ди~ йд — — — — — О, дл дх (3.59) д* д~ В случае выполнения условий (3.57) — (3.59) линейное дифференциальное выражение и Ых + ияИу + и~Ил будет полным дифференциалом некоторой функции <р(х, д,ю,1) для любого фиксированного времени 1, т.е. (3.58) (3.60) Йр = и Йх + и Йу + и~Ию. Так как, в свою очередь, д~р ду др ~Ар = — сЬ + — Ыу+ — сЬ, дх ду д~ 79 В проекциях равенство (3.56) можно представить в виде трех уравнений: то д~Р д~~7 д~7 и = —,ц„= — и дх др дз Соотношения (3.61) показывают, что проекции скорости можно представить частными производными функции ~р(х, р, ~, 1) по координатам.
Эту функцию называют потенциалом скоростей. Соответственно безвихревое движение жидкой среды называют потенциальным. В векторной форме соотношения (3.61) сводятся к одному непосредственно следующему из (3.56) равенству: ц = ягайло. (3.62) При безвихревом (потенциальном) движении жидкой среды можно построить эквипотенциальные поверхности, уравнения которых имеют вид ~р(х„д, ю, 1) = сопй, и ортогональные таким поРнс. з.1О.
Эквипотенцнельные верхностям линии тока поверхности (рис. 3.10). Вопросы для самопроверки 1. В чем различие переменных Лагранжа и переменных Эй- лера? 2. Что представляют собой траектории, линии тока, вихре- вые линии, трубки тока и вихревые трубки? 3. Укажите три составляющих движения жидкой частицы. 4. Как определяется индивидуальная производная? 5. Приведите формулу, описывающую циркуляцию скорости. 6.
Сформулируйте и докажите теоремы Гельмгольца. 7. В каком случае движение жидкой среды называют потен- циальным? 80 Глава 4 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ В ДИНАМИКЕ ЖИДКИХ СРЕД 4.1. Особенности применения законов механики системы материальных точек в механике жидких сред В разделах теоретической механики, посвященных равновесию и движению твердых тел, достаточно подробно рассмотрены теоремы о количестве движения и кинетической энергии.
Их используют также в механике жидких сред, представленных в соответствии с гипотезой сплошности континуумом материальных объектов — жидких частиц. Однако для описания движения жидкой среды в переменных Эйлера приходится дополнительно учитывать отмеченные в 8 3.1 особенности дифференцирования по времени векторных и скалярных величин. Если для каждой жидкой частицы выбрана какая-либо величина А, то может возникнуть необходимость вычисления индивидуальной производной по времени от объемного интеграла: (4.1) При движении жидкой среды изменяются положение частиц, выделенный объем Ъ' и величина А в различных точках занятой жидкой средой пространства, поэтому 81 Чтобы найти (4.2), берут два близких момента времени: 1 и $' = 1+ Ь|. Лля момента времени 1' интеграл (4.1) имеет вид 1' = А'сй~, (4.3) ~~' ! где штрихами отмечены значения всех величин, изменившихся к моменту времени 1.
При малых Ь| ! Ы = 1' — 1 = (А' — А)НЪ'+ А(~Л'. (4.4) ~!! — Ъ' С точностью до малых величин первого порядка А' — А = — Ы, дА (4.5) Й Второй интеграл в правой части (4.4) записывают в виде А'дГ = Ы А'и„й5, Ъ" — T Я где д5 — сечение элемента жидкои среды, объем которог о ИЪ' и„— проекция скорости движения жидкости на нормаль к сечению с~5'. Соотношения (4.5) и (4.б) позволяют привести формулу (4.4) к виду (4.6) Ы = Ь~ — Л'+ Ь|~ А и„ИЯ. дА ! д1 Ъ' Я (4.7) Разделив обе части (4.7) на Ь| и затем устремив Ы к нулю, находят производную — — й'" + Аи„д5, И дА й дг (4,8) 82 в последнем члене которой А' заменено на А вследствие малого различия этих величин.
Согласно формуле 1'аусса — Остроградского, интеграл по поверхности в правой части (4.8) можно заменить интегралом по объему: Аи„ИЯ = А и~сов(п,х)+ и~сов(п,у) + и, соь(п,х) 6~5 = =1[ д д д — (Аи~) + — (Аи~) + — (Аи,) Н' = дх ' ду " д~ В результате подстановки полученного значения интеграла производная (4.8) принимает вид дА дА дА дА — +их — + и~ — +и, — + д~ 'дх "ду 'д~ +А д+д+ сЛ~. (4.9) С учетом (4.2), а также формул для определения индивиду- альной производной и дивергенции вектора скорости, интеграл (4.9) записывают следующим образом: — АЫЪ' = — + Ас1и~п сИ~. (4.10) 83 В соответствии с (4.10) производная по времени от интеграла некоторой величины А, взятого по движущемуся объему, равна взятому по тому же объему интегралу суммы производной от А по времени и произведения Айчп. При установившемся движении жидкой среды локальная производная дА/д1 обращается в нуль, поэтому производная по времени от объемного интеграла (4,1) будет содержать только конвективную составляющую, которую, согласно (4.8), можно представить в виде Соотношение (4.11) показывает, что при установившемся движении жидкой среды производная по времени от интеграла некоторой величины А, взятого по движущемуся объему, равна количеству той же величины, проносимому сквозь неподвижную поверхность, ограничивающую этот объем в данный момент времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
