Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 15
Текст из файла (страница 15)
2 1 †(5.26) Согласно соотношению (1.27), "Р с ф (5.27) ы2 с2 — + = сопй. 2 Й вЂ” 1 (5.29) с2 Величину г = называют энтальпией (или теплой — 1 содержанием). Положив в (5.29) и = О, найдем энтальпию заторможенного газа Р0 $0= 0 ) й-1 й-1 р0 107 поэтому при адиабатическом процессе с =Й вЂ”. (5.28) р Формула (5.28) позволяет заменить в уравнении (5.26) величину Й вЂ” квадратом скорости звука и в результате получить р р где со — скорость звука в заторможенном газе. Если скорость газа в какой-то точке достигает значения скорости звука в этом месте, энтальпия го определяется через критическую скорость 2 2 г с„ с„ к + 1 с„ гв= — + 2 Й вЂ” 1 Й вЂ” 1 2 Уравнение (5.29), соответственно, принимает вид ~и с й+1 с„ 2 й — 1 /с — 1 2 (5.3О) Из уравнения (5.30) следует, что движение газа будет сверхзвуковым при и > с р и дозвуковым при и С с„р.
Данные условия обычно представляют с помощью безразмерного параметра, который называют числом Маха и обозначают Ма (или М). Число Ма равно отношению скорости и движения газа в данной точке потока к местной скорости с звука: Ма = —. (5,31) с Согласно (5.31), поток газа будет дозвуковым при Ма < 1, звуковым при Ма = 1 и сверхзвуковым при Ма > 1.
Скорость звука в воздухе вычисляют по формуле (1.29). При О = 273 К эта скорость равна 332 м/с. 5.3. ~становившееся движение идеального газа в трубе переменного сечения 108 При движении газа по каналам с переменными по длине проходными сечениями дозвуковой поток может перейти в сверхвзуковой. Пля приближенного исследования такого явления рассмотрим движение газа в трубе с проходными сечениями, изменяющимися вдоль оси трубы, и недеформирующимися стенками. Цвижение газа установившееся, причем вектор скорости в данном сечении трубы направлен вдоль ее оси. Скорость и, давление р, плотность р и температура О газа изменяются от сечения к сечению, но в пределах одного сечения каждая величина имеет одинаковые значения.
Газ предполагается совершенным и идеальным, а изменение состояния газа — адиабатическим. В данном случае гидродинамические и термодинамические величины приняты функциями одной координаты, поэтому поток газа является одномерным. Пренебрегая массовыми силами, после дифференцирова.- ния левой части (5.12) получаем иИи+ = О.
Ир (5. 32) Р В соответствии с формулой (5.27) имеем Ыр = с~др. С учетом этого соотношения уравнение (5.32) принимает вид др иНи (5,33) с2 По условию неразрывности при установившемся одномерном течении ри5 = сопя|, (5.34) (5.36) где 5 = 5(х) — площадь проходного сечения трубы, зависящая от координаты ж. После логарифмирования и дифференцирования соотношения (5.34) находим Ыр ди Н5 (5.35) р и 5 С помощью (5.35) уравнение (5.33) запишем в виде г г "и (и — с ) — =с —.
и 5' Разделив обе части уравнения (5.36) на с2 и воспользовавшись формулой (5.31), получаем уравнение Гюгонио: г (Ма. — 1) — = —. (5.37) и 5 Уравнение (5.37) при и > 0 позволяет сделать следующие выводы. 1. В случае Ма < 1 на участке трубы, где вдоль оси площадь проходного сечения уменьшается (Ы5 < О), скорость движения газа увеличивается (Ни > 0), а на участке трубы, где вдоль оси площадь проходного сечения увеличивается (д5 > 0), скорость движения газа уменьшается (Ыи < 0). 109 Рис. 5,4. Схема сопла Лаваля Следовательно, движение газа аналогично движению несжимаемой жидкости.
2. В случае Ма > 1, на участке трубы с уменьшающейся вдоль оси площадью проходного сечения (ЫЯ ( О) скорость движения уменьшается (ди < О), а на участке трубы с увеличивающейся вдоль оси площадью проходного сечения (Ы5 > О), скорость движения газа также увеличивается (Ни > О). Другими словами, в сверхзвуковом потоке газа в отличие от потока несжимаемой жидкости скорость увеличивается, если растет проходное сечение трубы. 3.
При Ма = 1, согласно (5.37), ИЯ = О. Это означает, что равенство скоростей движения газа и распространение звука возможно в сечении, для которого функция Я(х) имеет экстремум. На приведенных выводах основан принцип действия устройства, предложенного К. Лавалем, с помощью которого осуществяется переход от дозвукового потока к сверхзвуковому. Устройство имеет конфузорную (с уменьшающимся по длине участка проходным сечением) и диффузорную (с расширяющимся по длине участка проходным сечением) части (рис. 5.4). В месте сопряжения обеих частей скорость потока газа равна скорости звука. Такое устройство называют соплом Лаваля. Впервые оно было применено в паровых турбинах.
5.4. Интеграл Лагранжа — Коши Интеграл Бернулли (см. ~ 5.1) получен на основе уравнений Эйлера, записанных в форме (5.2) — (5.4) или (5.5), для установившегося движения идеальной несжимаемой жидкой среды. Чтобы решить задачу о неустановившемся движении 110 такой среды, уравнение Эйлера (5.5) преобразуют в уравнение Громеки — Лэмба. С этой целью используют оператор .д .д д ~,~ = г — +~ — + 1с —. (5.38) дх ду д~' Скалярное произведение вектора и скорости и оператора ~у имеет вид д д д п ° су =и~ — +и~ — +и~ —, дг дд дл (5.39) дп ди — = — + (гг с„7)и. й д1 Затем уравнение (5.5) записывают следующим образом: ди 1 — + (п ~)п = Р,„— — дакар. д1 Член (и ~„~)п уравнения (5.41) заменяют правой частью ра- венства (5.41) 2 (и ~„~)гг = огай — — и х гог п.
2 Окончательно уравнение (5.41) принимает форму уравнения Громеки — Лэмба: ди и~ 1 — + игам — — и х го1 п = Р~ — — дгас1 р. д1 2 Р В случае безвихревого движения го1 и = й = О, уравнение (5.42) упрощается: (5.42) ди ц2 — + дгас1 — = Р~ — — игаса р. д1 2 р (5.43) 111 Применяя (5.39) как оператор, находят ди ди дп (и ~„-1)ы = и~ — + ия — + и~ —. (5.40) 'дх "ду 'д~ С помощью (5.40) индивидуальную производную (3.12) представляют в виде Г~р, 2 дгас1~ — + — + П+ Ф = О. ~,д1 2 (5.46) Выражение, стоящее в уравнении (5.46) в скобках, не зависит от координат, но может зависеть от времени, поэтому ~р Ц2 — + — +П+Ф = У(~). д8 2 Уравнение (5.47), которое является первым интегралом уравнений движения, называют интегралом Лагранжа — Кощи.
Здесь ~(~) — произвольная функция времени, определяемая исходя из граничных условий. При установившемся двид~ женин жидкой среды — = О„Д1) = сопй, и уравнение (5.47) превращается в интеграл Бернулли, который строго не вычисляется в случае неустановившегося движения жидкой среды. Но в отличие от интеграла Лагранжа — Коши для интеграла Бернулли достаточно выполнения условия баротропности только на линии тока или вихревой линии, а не во всем пространстве, занятом жидкой средой.
В том, что интеграл Бернулли справедлив также вдоль вихревой линии, можно убе- 112 ди д При этом в соответствии с формулой (3.62) — = — игаса ~о, но дг д~ благодаря независимости частной производной по времени от производных по координатам, допустимо поменять последова- тельность дифференцирования: ди д~о — = цгас1 —, д1 д1 (5.44) Если, кроме того, поле массовых сил, как и при вычислении интеграла Бернулли, потенциально, то можно также восполь- зоваться соотношением (5.6). В предположении баротропности жидкой среды во всем занимаемом ею пространстве и наличия функции давления (5.13) 1 — етая р = игай Ф.
(5.45) Р Применяя с учетом сказанного выше соотношения (5.6), (5.44) и (5А5), уравнение (5.43) записывают в виде ди диться, записав уравнение Громеки — Лэмба (5.42) при — = О д1 в виде г игам Е+ й х и = О, Е = — + П+ Ф. (5.48) 2 После умножения уравнения (5,48) скалярно на й можно выделить следуюшие равенства: й ЫЕ й рай Е = Й вЂ” игам Е = Й вЂ” = О, (5.49) й й где И/Й означает дифференцирование вдоль дуги вихревой линии.
Равенство (5.49) показывает, что вдоль вихревой линии я2 Е = — + П + Ф = сонями, 2 т.е. справедливо такое же уравнение, как интеграл Бернулли (5.15), полученный вдоль линии тока. Вектор й х п принадлежит потенциальному векторному полю, поскольку гоС(й х и) = — го1 ягас1 Е = О. В этом случае через каждую точку пространства, занятого жидкой средой, проходит поверхность, ортогональная векторной линии й Х и. Такие поверхности можно получить, проводя через все точки линии тока вихревые линии (рис. 5.5) или проводя через все точки вихревой линии линии тока. Указанные поверхности называются поверхностями уровня трехчлена и — + П+ Ф интеграла Бернулли. Константы, которым равен 2 трехчлен, будут разными вдоль разных линий тока или разных вихревых линий. Рис. 5.5.
Линии тока и вихревые линии, определяющие поверхности уровня Е = сопв1 113 Трехчлен имеет одинаковое значение во всем пространстве, занятом жидкой средой, если во всех точках этого про- странства (5.50) йх и=0, что указывает на отсутствие поверхностей уровня.
Равенство (5.50) имеет место в двух случаях: движение бвзвихревое (й = О); движение винтовое, когда вихревые линии совпадают с линиями тока, жидкие частицы поворачиваются вокруг касательных к линиям тока. 5.5. Теорема Кельвина о возможности безвихревого движения жидкой среды В предыдущих параграфах движение жидкой среды подразделялось на вихревое и безвихревое (потенциальное).
Возможность существования последнего вида движения требует дополнительного обоснования. Для этого необходимо рассмотреть, как во времени изменяется циркуляция скорости Г, вычисленная по состоящему из одних и тех же жидких частиц контуру, так называемому жидкому контуру. Перемешаясь вместе с жидкой средой, такой контур может деформироваться, поэтому в общем случае Г = Г(1). Если контур не замкнут, то в различные моменты времени Г(~) = и Ыг = (и,.Йх + и, йу+ и,й~), (5.51) где пределы интегрирования А и В зависят от времени. Изменение циркуляции Г(~)характеризует производная В с~Г И .— = — ~ и дг, й ~Й,/ 114 Чтобы перейти в интеграле (5.51) к переменной, область интегрирования которой не зависит от времени, следует положение М жидкой частицы на, контуре АВ в момент времени ~ связать с ее положением Мо на контуре Ао Во в момент времени 10 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
