Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Крыловой профиль тельную толщину — с = с„, /1. Острый угол между вектором скорости потока на бесконечности и направлением хорды называют углом атаки. Форму крыловых профилей имеют подводные крылья судов, крылья летательных аппаратов, лопасти ветродвигателей, воздушных винтов, неподвижные или вращающиеся лопасти центробежных и осевых насосов, вентиляторов, турбокомпрессоров, паровых и газовых турбин, а также других лопаточных машин.
Главный вектор и главный момент сил давления потока на обтекаемый замкнутый контур. Формулы сЕаплыгина. Найдем главный вектор и главный момент сил давления, приложенных к неподвижному цилиндрическому телу произвольной формы при безотрывном обтекании его установившимся однородным поступательным потоком несжимаемой жидкости. Движение плоскопараллельное, тело может иметь любую форму, в частности форму крылового профиля. Внешними массовыми силами пренебрегаем. Сначала предполагаем, что не существует потенциал скорости. Положительные направления осей координат, отсчета углов, проекций главного вектора и вектора скорости, главного момента и нормали к контуру тела показаны на рис.
6.17. Положительным направлением обхода контура считается такое направление, при котором контур остается слева. По аналогии с понятием комплексной скорости введем комплексный главный вектор сил давления Г = Е" + ~Е'„и его зеркальное отображение от действительной оси — комплексный сопряженный главный вектор Е = Е~ — ~Г~, Если, как показано на рис. б.17, и — направление внешней нормали к контуру Х 142 МО Рис. 6.17. Главный вектор и главный момент сил гидро- динамических давлений тела, а д — угол между элементом контура й и осью Ох, р— давление, то проекции элементарных сил ЫГ~ = — р(япд)Й, ЙРу: р(соя 0)й.
Тогда Х' = Х~~ — ~Еу — — — р(йп д + ~ сов 6)й Ь вЂ” ре ~~й. Замечая, что ~Ь = Ах+~Ау = сИ(сов В+~ ып 9) = Ь = еУВЛ Нт = Ь вЂ” Э'др = а(созд — 351пВ) = е 39М = е 23дЬ, и применяя уравнение Бернулли (6.25), определяем Г = — уС НТ+ — ~и~~ИУ= — ~и ~сЕ = — ~ ~и~~е ~~ Й~. А Ь Ь Ь При безотрывном обтекании вектор скорости течения на контуре тела направлен по касательной к контуру. Следовательно, (и~с ~~ = )и)(соя 0 — ~ ып 0) = и — уиу = и и У = Š— ~'У'„= — 1 и~сЬ.
2,/ Найдем главный момент сил давления относительно оси, перпендикулярной плоскости течения и проходяшей через начало координат (центр приведения). Как видно из рис. 6.17, момент элементарных сил относительно начала координат 143 ~МО = 'Рх(соя0)сИ + ру(ып0)й. Поэтому Мо = р(хсоьд+ ь +у яп 0)Ж = р(Ых+ у0у), Воспользовавшись снова интегра- Ь лом Бернулли и замечая, что С (хйх+ уИу) = — С Н(х + 1 г 2 ь ь +рг) = О, приходим к выражению Мо = — — у ~и~ (хсЬ+ у~р). Р 2 23 с Так как ЫТ = (х + ~у)(Ых — ~Ау) = хйх + уЫу+ ~(у~Ь вЂ” Ыу), то Ле(Ы~) = хйх+ рйу и Мо = — — Ве й~лЬ.
Если течение Р 2 Ь потенциальное, то й = Ыю/0ю и формулы для главного вектора и главного момента сил давления примут вид 2 — ~Х Я~д— с Мо = --Ле — ~сЬ. (6.31) (6,32) 144 Эти формулы главного вектора и главного момента сил давления получены С.А. Чаплыгиным в 1910 г., носят его имя и являются эффективным инструментом для вычисления силы и момента, действующих на профиль.
Решение зада чи обтекания крылоного профиля методом конформных отображений. Отображающая функция и комплексная скорость. Одним из способов решения задачи обтекания крылового профиля является описанный выше метод конформных отображений. Пусть в плоскости течения ~ = х + ~у имеется крыловой профиль (рис. 6.18). Комплексная скорость установившегося плоскопараллельного потока на бесконечности и~ = ~и~о~е~~.
Отобразим внешность контура Х на внешность круга С во вспомогательной плоскости ~ = ~ + ~ц с помощью функции Рис. 6.18. Конформное отображение плоскости течения на вспомогательную плоскость Д~). Зная циркуляционное обтекание круга во вспомогательной плоскости, найдем сопряженную комплексную скорость в плоскости течения и далее — циркуляцию, подъемную силу, момент и распределение скоростей и давлений на профиле. Сопряженная комплексная скорость 1 ()= (О, (6.33) выражается через комплексную сопряженную скорость Б© во вспомогательной плоскости и производную И~/Ы~ = ~'(~). Отображающая функция должна удовлетворять следующим условиям: точке л = оо соответствует точка ~ = оо; острая выходная кромка В профиля отображается в точку окружности ~ = В (на действительной оси).
В соответствии с теорией аналитических функций отображающую функцию можно представить сходящимся при В < ~ < оо рядом Лорана: ~ = ~(~) = с1~+ сО+ + +... (6.34) ~г Комплексные коэффициенты с1, с 1, с 2 зависят от формы профиля, а коэффициент сО определяет положение профиля на плоскости ~ и от формы профиля не зависит. Поскольку во всей внешней к профилю области, включая и сам контур Л, особых точек нет, сопряженную комплексную 145 аО=й,=)и )е а1аг Интеграл й~Ь = (ао+:+ +...)~Ь = 2та Д, по- Ь А скольку все интегралы, кроме ~ ю ~Ы~, равны нулю.
С другой Е стороны й<Ь = — ~Ь = йо = (Жр+ ~ЙЯ = Йр = Г, Л Е Ь А Ь так как вследствие непроницаемости контура И~ = О. По- этому второй коэффициент Г а — 1= —.. 2г7 (6,37) а р Интеграл йгсЬ = (ао~+ а 1+:+...)сЬ = 2та Е Ь 1 отсюда а г = —. ею. Подставляя в подынтегральное вы2т~ ь и' ма ражение й = — = — — = й© вЂ”, заменяем переменные и Н~ И~ находим 1 а ~ = —.у йиЬ. 2т1' ~ Ь Умножим уравнение (6.30) на ряд (6.34) и сохраним в полученном выражении только коэффициент при ~ .
Тогда 146 скорость также можно представить рядом Лорана: й(л) = ар+ — + — +.... (6.35) ,,г Для расчета главного вектора сил давления необходимы два коэффициента ряда (6.35) ао и а 1, для определения момента этих сил потребуется еще и третий коэффициент а 2. Найдем ~ казанные коэффициенты. Из уравнения (6.35) следует, что при г — + оо скорость й(ю) ~,—,„, = ао и (6.36) В(е2~ 1~ — 1) В2 е21 Р 1+ ~2 й®~(~) = ~и ~е с1 с2 Х с1~+ сО+ — + +...
~2 =~и, ~е ~" + ВсО(с2~~ — 1) — с1В2е2~я +... После интегрирования найдем третий коэффициент е 21" сО (с 1 — ВСО) +  — — В2 с1 с1 а 2 = ~и ~е~ "с1 (6.38) выраженный через модуль скорости и', ~, угол и, радиус круга В и три коэффициента сО, с1, с Теперь сопряженную комплексную скорость (6.35) представим в виде Г 1 а и(з) = и /е ~ + —.— + — + 2~Г~ ~ .г2 (6.39) с й 1 Б2(,) „2,-2,. Г~ц ~е ' 1 Г2 1 + 2а 2~и ~е ~ — — — +.. 4у2 ~2 После подстановки в уравнение (6.31) этого выражения и ин- тегрирования получим ~ = ~х — 3У„= ~риссГ, .с' = .с' + ~Г„= — ~ри~,Г.
(6.40) Следовательно, значение главного вектора сил давления на профиль равно произведению плотности жидкости, модуля 147 Подъемная сила. Условие Чаплыгина — Жуковского. Гидродинамическая хорда профиля. Воспользуемся первой формулой Чаплыгина (6.31) и найдем главный вектор сил давления на профиль. В соответствии с (6.39) предварительно подсчитаем г> 9ОО Рис. 6.19. Направление подъемной силы при разных знаках циркуляции скорости набегающего потока и модуля циркуляции (6.41) )Г( = р~и ~ Г~. 148 Его направление определяется поворотом на 90 вектора скорости набегающего потока и против хода часовой стрелки, если Г < О, и по ходу часовой стрелки, если Г > О. На рис. 6.19, а циркуляция Г ( 0 и сила Г направлена вверх.
Такую силу называют подьемной или поддерживающей; она, например, поддерживает крыло самолета в горизонтальном полете. На рис. 6.19, б Г > 0 и сила направлена вниз, Формула (6.41) выражает теорему Жуковского о подьемной силе крыла в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжимаемой жидкости. Она была доказана Н.Е. Жуковским в 1906 г.
с использованием теоремы импульсов до появления формул Чаплыгина (6.31) и (6.32). В заключение отметим, что составляющая силы вдоль движения жидкости — сила сопротивления — отсутствует. Как и при обтекании круглого цилиндра, здесь имеет место парадокс Даламбера. Из вышеизложенного очевидно, что значение подъемной силы и ее направление зависят от циркуляции. В 1909 г. С.А. Чаплыгин в дискуссии по докладу Н.Е. Жуковского предложил находить значение циркуляции так, чтобы скорость на острой кромке оставалась конечной.
Это условие однозначно определяет циркуляцию вокруг профиля и его называют постулатом Чаплыгина — Жуковского. Если рассмотреть движение жидкости из состояния покоя, то в первый момент течение потенциальное, причем острая кромка обтекается с очень Рис. 6.20. Образование начального вихря по Л. Прандтлю большой скоростью (теоретически бесконечно большой), как показано на рис.
6.20, а. Затем на участке профиля образуется начальный вихрь, который увлекается потоком и сносится вниз по течению. На профиле крыла появляются добавочные скорости, и точка разветвления В смещается к кромке В'. Обтекание острой кромки и, как следствие, образование начальных вихрей прекратится, когда точка В совпадет с кромкой (рис. 6.20, б). Эти наблюдения согласуются с теоремой Кель- вина о постоянстве циркуляции по замкнутому жидкому контуру во все время движения.
В начале движения циркуляция скорости Г~ по жидкому контуру 1 вокруг профиля равна нулю, так как жидкость покоится. Через некоторое время этот контур примет форму, показанную на рис.6.20, б. Проведем линию ЕГ, которая делит этот контур на две части: 11 и 12. Внутри первого контура находится профиль, а внутри второго — начальный вихрь.
Так как во все время движения Г~ = Г11+Г~2, то Гц = — Гд~. По контуру, охватывающему профиль, имеется циркуляция, равная интенсивности начального вихря (или суммарной интенсивности всех начальных вихрей, если их образовалось несколько). Сорвавшиеся с профиля вихри останутся далеко позади него и установится обтекание с циркуляцией вокруг профиля, причем точка схода потока совпадет с заостренной кромкой, а скорость на этой кромке будет конечной. Выясним, как связаны между собой скорости в бесконечно удаленных точках плоскостей ~ и ~. Производная отображающей функции в точке ~ — + оо равна первому коэффициенту ряда (6.34): 149 Из уравнения (6.33) очевидно, что комплексные сопряженные скорости на бесконечности в плоскости течения ~ и вспомога- тельной плоскости ~ связаны соотношением и1в) = и(О~ (6.42) В свою овередь 1си.
рвс. 6.18), и(с) = ~и ~с си, и(д~ = ~и' ~е ~~6. Если представить комплексное число с1 в показательной форме с1 = те~6"о, то после подстановок соответствующих величин в уравнение (6.42) найдем ~и ~е ~" = т)и~„-)е (6.43) где )и, ) = т~и1661 р = а — ао. При конформном отображении циркуляция по контурам С и Х одинакова. Подставляя в уравнение (6.28) значения и', ~ и и, получаем Г = — 4тЯ~и~ ~т з1п(а — ао).
В таком случае модуль подъемной силы, согласно уравнению (6.41), Г( = 4тйр~и~~ т~ йп(а — ао)(. (6.44) 150 Если набегающий на профиль со скоростью и поток на(о) править под углом а = ао, то циркуляция и подъемная сила будут равны нулю (см. рис.6.18). Это направление называется нулевым или направлением бесциркуляционпого обтекания профиля. Острый угол между направлением набегающего потока и нулевым направлением называют гидродинамическим углом атаки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
