Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Вектор скорости и этого потока не зависит от координат и составляет с осью Ох угол а ( рис. 6.5). Проекции вектора скорости на оси 124 Рнс. 6.5. Однородный поступательный поток координат и~ = и ~ соя а и иу — — ~иоо ~ яп а. Из уравнения (6.7) следует, что Иив = (и ~ '((сов а)Нл -В (ввп а)Иу~, поэтому у = )и )(х сока + уяп а). х сова+ уяпа = С1, — хяпа+ усова = С2, где С1 и С1 — постоянные величины. Для однородного поступательного потока эти линии будут взаимно перпендикулярными прямыми.
Комплексный потенциал этого потока и) = у+ 1ф = ~и, ~(хсоза+ уяпа — )х з1па+ 1усоза) = = ~и ~ ((л -'; уу) сова — у(в тур) в|па1 = ~и ~в(сова — ув!па). Применив формулу Эйлера е )~ = сока — ) япа, получим и) = (и )е )~л. (6.14) 125 (Лля упрощения записи формул здесь и ниже постоянная интегрирования считается равной нулю.) На основании (6.3) полный дифференциал Ыф = ~иоо~~ — дх япа+ дусояа] и ф = иоо ~( — х яп а+ у сои а). В частных случаях (а = О и а = )г/2) получим потенциал скорости и функцию тока для течений вдоль осей х и у. Полагая у и уу постоянными, находим уравнения линий равного потенциала и линий тока: Рис.
6.6. Источник (а) и сток (б) Источник. Пусть жидкость вытекает из некоторой точки (рис.6.6, а) или стекает в нее (рис.6.6, б) в радиальном направлении, На окружности с центром в данной точке модуль скорости одинаковый. Расход Я жидкости через замкнутую линию, окружающую источник, называют расходом, или интенсивностью источника. Поместим полюс О полярной системы координат в эту точку. В рассматриваемом течении имеется только радиальная составляющая скорости и„= = Я(2хт, которая обратно пропорциональна радиусу.
Так как Йр(Ыт = и„= Я(2~гт, то 0у = Яйт~2~гт. После интегрирования получим <р = — 1пт. 2т Поскольку йф(тй6 = и = Я(2тт, функция тока имеет вид Если течение направлено в начало координат (при стоке), то в приведенных выше уравнениях расход берут со знаком минус, Линии равного потенциала источника или стока— окружности т = сопя|, а линии тока — лучи д = сопй. Составим комплексный потенциал этого потока: ы = ~р+~'ф = — (1пт+ ~В) = — (1п ~~~+ 1'агд~) = — 1пя. Ю . Я 2~г 2т 27г 126 В общем случае расположения источника (стока) в произвольной точке плоскости ~О = хО+ 1'уО комплексный потенциал принимает вид и1 = — 1П(~ — ~О). Я (6.15) 2к Расход источника, как и ранее, считается положительным, стока — отрицательным.
Вихрь. Если в предыдущем примере линии тока и линии равного потенциала поменять местами, той же сетке кривых будет соответствовать циркуляциопное течение вокруг изолированной вихревой нити (точечного вихря) интенсивностью Г (рис. 6.7). Скорость ид = Г)2кт. Как и в предыдущем примере, она обратно пропорциональна радиусу. Потенциал скорости и функция тока вихря равны соот- ветственно Г ~р = — В, 2т Г ф = — — 1пт. 2~г Положительное направление обхода вихря — против часовой стрелки. При направлении скорости на линиях тока, противоположном указанному на рисунке, знаки в этих уравнениях меняются на противоположные.
Комплексный потенциал вихря Г . ~Г . ~Г и = ~р+ ~'ф = — (д — ~'1п т) = — — (1п ~~ + 7' аг~ г) = — — 1п ~. 2т 2т 2т Если вихрь расположен в точке ~О, то ~Г и = — — 1П(е — юО). 2т (6.16) 127 В двух последних примерах скорость в начале координат бесконечно большая. Начало координат является особой точкой поля скоростей, а источник и вихрь — гидродинамическими особенностями потока.
диполь; Расположим на отрицательной полуоси Ох источник интенсивностью Я, находящийся па, расстоянии а от начала координат (рис. 6.8). На положительной полуоси расположим сток той же интенсивности и находящийся на таком .х е 3 1 / ) / и 1 г ъ / Ь 1 Ф 1 Ъ ! 3 Рис. 6.7. Вихрь Рис. 6.8. Диполь же расстоянии а от начала координат. Комплексный потенци- ал этого течения ю = [1п(г + а) — 1п(г — а)~.
Ю 2т (6.17) Если сохранить Я постоянным, а расстояние 2а между источником и стоком устремить к нулю, то сток поглотит жидкость источника и течения не будет. Поэтому устремим 2а к нулю„увеличивая ~ до бесконечности так, чтобы их произведение осталось конечным и равным некоторой постоянной: 11гп (2аЯ) = Мдип. е- (6.18) Такую предельную совокупность источника и стока называют диполем, М䄄— моментом диполя, а направленную от источника к стоку линию осью диполя. Моменту Мд„„) О соответствует расположение источника слева от начала координат, а стока — справа, Мд„„< Π— противоположное расположение. Комплексным потенциалом диполя будет предельное значение комплексного потенциала (6 17) при условии (6.18): 128 ю = 11т — [1а(а -~- а) — 1а(а — а)] = Я а 0 27Г 1п(г + а) — 1п(г — а) 2аЯ 1пп а-+0 2а 1 = — 11гп 2п о Я ~ (щ Мдип 41п ~) Мдип 27г сЬ 27г~ Отделим в полученном выражении действительную часть от мнимой и найдем потенциал скорости и функцию тока: Мд Мдип Мдип х — 2 Р 27г~ 27г~(х+ ~~) 27г хг + ~г Мдип и ) 27г х2 + ~2 х2 + 1~2 Принимая во внимание (6.12), получаем Мдип х Мдип Р 27).
х2+ у2' 27г х2 + Рг' Полагая в первом из уравнений (6.19) Мдип/27г<р = сопй = = С1, найдем уравнение семейства изопотенциальных линий; (6,19) х — — +р х + т.е. линии тока — окружности с центрами на оси Оу, проходящие через начало координат (сплошные линии на рис. 6.8). 5 — 5733 Следовательно, изопотенциальные линии это окружности с центром на оси Ох, проходящие через начало координат (пунктирные линии на рис. 6.8). Если во втором из уравнений (6.19) положить — 2л ф/Мдип — — сопй = Сг, то после несложных преобразований уравнение семейства линий тока запишется так: Помещая диполь в точку ~е, получаем 'И = (6,20) В точке ло, где расположен диполь, скорость потока Ыю/д~ = 2 = — 2т/(ю — юо) обращается в бесконечность.
Поэтому так же, как источник или вихрь, диполь представляет собой гидродинамическую особенность потока. Вихреисточник, Поместим источник и вихрь в начало координат. Это суммарное течение называют вихреисточником, если Я > О, и вихрестоком, если Я ( О. Пусть циркуляционное движение направлено против хода часовой стрелки, Г ) О. На основании уравнений (6.15) и (6.16) комплексный потен- 9 — ~Г циал сложного движения и = 1пю. Положим ~ = те~~ т и выделим в комплексном потенциале действительную и мнимую части. Так как ы = [Я1п т+ ГО+ ~'( — Г1пт+ Яд)]/2т,то (р = (Я1пт+ Гд)/2т и ф = Яд — Г1пт)/2к.
Следовательно, и линиями тока, и изопотенциальными линиями служат логарифмические спирали ~~ д "~ В т = С1е, т = С2е, (6.21) где С1 и С2 — произвольные постоянные. Оба семейства линий представлены на рис. 6.9. Разумеется, получим те же резуль- Рис.
6.9. Вихреисточник 130 В пространстве между двумя параллельными стенками корпуса центробежного насоса или компрессора жидкость, выходящая из рабочего колеса, движется аналогичным образом. Расположив вдоль линии тока (6.21) твердую стенку, получим устройство для отвода жидкости от рабочего колеса — спиральный отвод. Подобное течение имеет место и в спиральной подводящей камере гидротурбины. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра.
Сложим однородный поступательный поток со скоростью и, вдоль оси Ох и диполь с моментом ЛХд„„. Направление оси диполя совпадает с осью Ох, жидкость вытекает из диполя навстречу поступательному потоку (рис. 6.10). Для рассматриваемого поступательного потока а = 0 и, согласно (6.14), комплексный потенциал и = ~и~,~~. В соответствии с (6.20) при юО = 0 комплексный потенциал диполя и = Мд„„/2тл.
Сложное течение определяет комплексный потенциал ~1~дип 1 и=)и (г+ 2т (6.23) Рис. 6.10. Бесниркулянионное обтекание цилиндра 131 таты, если складывать потенциалы скоростей и функции тока порознь, Лля вихреисточника в точке ~О ц — р и = 1п(~ — еО). 2т -3 0 ЗО 60 90 120 Р, град Рис. 6.11. Распределениескоростей и давлений при оесциркуляционном о0- текании цилиндра изменяется по закону синуса.
В точках разветвления потока А(0 =- 1800) и В(0 = О) скорость равна нулю, в точках С(0 = = — 90 ) и 0(д = 90 ) она максимальная: ~ игпа,г = 2 и о ~, а в точках д = 130~ скорость ~и( = ~и ~. График зависимости безразмерной скорости и / и,о~ от угла Д = ~г — 0 представлен на рис. 6.11. По известному распределению скоростей найдем распределение давлений на поверхности цилиндра и результируюшую силу, приложенную к цилиндру. Согласно уравнению Вернулли, в отсутствие внешних массовых сил давления в любых двух 133 точках стационарного потенциального потока связаны следу- ющим образом: рс,+ =р+ =С, р~иоо! р~и) 2 2 (6.25) где С = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
