Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В принятых обозначениях он равен и = а — ао. Параллельную нулевому направлению потока и жестко связанную с профилем хорду ВК называют гидродинамической хордой. Безразмерный коэффициент подъемной силы Су= 2 16 (6.45) р~и 2 зависит только от формы профиля и угла атаки и не зависит от плотности жидкости, скорости набегающего потока и размеров профиля. Для геометрически подобных профилей при постоян- ном угле атаки этот коэффициент постоянный. Подставим в уравнение (6.45) модуль подъемной силы (6.44), а — ио = а и найдем коэффициент подъемной силы в виде В С~ — — 8тт — ~ ы'и и~. Обозначая постоянную для данного профиля В /с~ — 8тт —, (6.46) получаем следуюшее уравнение для коэффициента подъемной силы: Ск —— Й~~ ипр~.
(6.47) В соответствии с (6.47) коэффициент подъемной силы любого профиля, обтекаемого плоскопараллельным потоком идеальной жидкости при соблюдении условия Чаплыгина — Жуковского, прямо пропорционален синусу гидродинамического угла атаки. Коэффициент пропорциональности й„ зависит только от формы профиля и характеризует скорость изменения коэффициента подъемной силы при изменении угла атаки. Момент сил давления потока на профиль. Главный момент сил давления найдем по второй формуле Чаплыгина (6.32). Возведем ряд (6.39) во вторую степень, подсчитаем Подставим в это выражение коэффициент а г по уравнению (6.38), ~и', ~ = г)и~(, с1 = те~~о и, имея в виду, что 151 г Гг — ~ =... + 2а г~ио~~е ~~ — — — +... и после интегрирования получим 2 О =-'-, ° Е г = — — Яе1 2ту~2а г~ио,~е — — = — 2пр~и~,ДЯе(а уе ~ ).
— и 47гг ) а — ао =,а, а Ве(1В2) = О, найдем главный момент относи- тельно начала координат: со е  — +(с 1 — Всо) с1 с1 Мо = — 27гр~и ~ т Ве Первое слагаемое в квадратных скобках зависит только от формы и положения профиля, второе — еще и от направления потока. При изменении коэффициента со отображающей функции (6.34) профиль перемещается в плоскости ~ параллельно самому себе и, соответственно, меняется Мо. Выберем с со = (6.48) При этом второе слагаемое обращается в нуль, и момент относительно начала координат не зависит от направления потока, а следовательно, и от угла атаки. Жесткую связанную с крыловым профилем и характерную для него точку ~, такую, что вычисленный относительно нее главный момент сил давления потока не зависит от угла атаки, называют фокусом профиля. Координата фокуса профиля с ~у=со — 7 В а момент сил давления относительно фокуса равен (6.49) М7.
= — 2тр~и т Йе 2 2 Зс — 1 с1 (6.50) Отсюда следует теорема Чаплыеина: силы давления на профиль могут быть приведены к силе Жуковского, приложенной в фокусе, и к паре сил с постоянным, т.е. не зависящим от угла атаки, моментом (рис.
6.21). При бесциркуляционном обтекании профиля подъемная сила равна нулю, момент относительно фокуса в общем случае нулю не равен. Рис. 6.21. Главный вектор и главный момент сил давлений, приведенные к фокусу профиля 152 Как и для подъемной силы, введем безразмерный коэффициент момента М См = р)и (~ 2 (6.51) относительно точки, для которой подсчитывается момент М. В отличие от коэффициента подъемной силы он зависит не только от формы профиля и угла атаки, но и от выбранного центра приведения (начало координат, фокус, точка на входной кромке), Например, момент относительно фиксированной точки на пересечении геометрической хорды с контуром профиля,как показано на рис.
6.21, равен (6.52) Подставив в уравнение (6.51) момент по уравнению (6.50), по- лучим коэффициент момента относительно фокуса: (6.53) 153 Поскольку главный вектор и главный момент сил давления взаимно перпендикулярны, то эти силы можно привести к равнодействующей силе (рис. 6.22). Как доказал С,А. Чаплыгин, огибающая линий действия равнодействующей при различных углах атаки представляет собой параболу, названную им параболой устойчивости, или параболой метацентров.
Фокус этой параболы совпадает с фокусом ~ профиля, координата которого определяется формулой (6.49). Директриса параболы параллельна гидродинамической хорде, т.е. направлению бесциркуляционного обтекания. Чтобы найти линию действия равнодействующей, следует провести прямую, касательную к параболе и перпендикулярную вектору скорости на бесконечности. Каждому потоку со скоростью и,„„и~, и соответ- / Н ствует равнодействующая Г, Е', Г". Эту равнодействующую можно переносить вдоль линии действия в любую точку профиля, Точку Ц пересечения линии действия с его геометрической Рис, 6.22, Линия действия равнодействующей хордой называют центролит давления, который при изменении угла атаки перемещается вдоль хорды. Распределение скоростей и давлений. Вектор скорости на профиле направлен по касательной к нему.
Поэтому достаточно найти лишь модуль скорости. В соответствии с уравнением (6.33) 1 ]й(г)] = ]й(~) По уравнению (6.30) на окружности ~ = Ле~~ комплексная сопряженная скорость и1с) = и14) = и' е еп]14- '1е~еп — 1)е е — е е"е в . ~ д = 2 и )е е~)пир ~-е1п1 — р)] = 4р~и' 1е е1п — соеСр — — ), а, согласно (6.43), модуль ]и' ] = т]и ], Поэтому модуль скорости на профиле, который обозначим как и, в долях модуля скорости на бесконечности равен д 0 и 4е) е!и — сое1р — — )] 2 ]и ]сЬ/4п,] Связь между координатой точки на окружности ~ = Яе~~ и координатами точки на профиле устанавливается отображаю- 154 щей функцией ю = ~(Яе~ ).
(6.55) Задавая параметр О < д < 2т, по уравнению (6.55) находим координату точки профиля в плоскости ~, а по уравнению (6.54) модуль скорости в этой точке. Распределение скоростей определяется формой профиля и углом атаки. Распределение давлений на профиле зададим безразмерным коэффициентом давления р — р и г Р— 2 2. р)и~~ (иск( 2 (6.56) 155 Анализ этого уравнения показывает, что подъемная сила на профиле появляется, главным образом, благодаря разрежению на верхней стороне профиля, где р < р, . Возникновение и развитие кавитации на лопастях гидравлических машин тесно связано с характером этого распределения.
Тонкие профили. Применим полученные ранее соотношения для изучения обтекания некоторых частных видов профилей. Сравнительно просто исследовать профили, которые образуются отображением окружности с использованием функции Жуковского. Исследование таких теоретических профилей Жуковского позволяет судить о влиянии основных параметров, определяющих их форму, на гидродинамические характеристики лопастей, которые применяются на практике. Зависимости коэффициента подъемной силы от угла атаки с поправкой на влияние решетки можно использовать для приближенных расчетов осевых турбомашин.
Предельной формой профилей Жуковского являются бесконечно тонкие профили— пластина и дужка. Тонкие профили нашли применение, например, в центробежных и осевых насосах с высокими кавитационными качествами. Пусть в плоскости ~ имеется бесконечно тонная пластина длиной 1, точнее разрез на плоскости (рис. 6.23). Она обтекается однородным поступательным потоком со скоростью на бесконечности ~и~~ = ~и~ с~с'. Отображение внешности разреза в плоскости течения ~ на внешность круга радиусом Л: Рис.
6.23. Конформное отображение внешности разреза на внешность круга во вспомогательной плоскости ~ осуществляется с помощью функции Жуковского, которую можно записать в виде (6.57) Ее производная д, д2 — =1— ~г' (6.58) (6.59) х=1созд, у=О. Ясно, что полному обходу окружности О < д < 2т соответ- ствует двойной обход отрезка ЕВ: по верху ВЮЕ и низу ЕСВ разреза. 156 В соответствии с (6.57) точке ~ = Ве~~ на окружности соответствует точка, л = (Ке~~ +.пе ~~) = 2Всов 0 = 1соя 9. Поэтому полярные координаты точки (О,.п',) на окружности связаны с декартовыми координатами соответствующей точки (т, р) на пластине соотношениями В общем случае отображающая функция задана рядом (6.34).
В рассматриваемой частной задаче об обтекании пластины она определяется уравнением (6.57). Сравнивая отображающие функции, получаем с1 = те~~о = 1, т=1, ав=О; со = 0; с 1=В. 2 (6.49) 4' (6.61) а момент сил давления относительно фокуса — по (6.50): (6.62) м~=о, так как Ве = Яе~Я, = О. Следовательно, при любом угле 2с-1 2 с1 атаки подъемная сила проходит через точку, расположенную на расстоянии 1/4 от передней кромки пластины, и эта точка Ц является постоянным центром давления (рис. 6.24). Наличие постоянного центра давления у пластины, а также у тонких симметричных профилей, делает их удобными для применения в качестве рулей и поворотных лопаток в направляющих 157 Таким образом, циркуляция вокруг пластины равна нулю, если поток на бесконечности направить под углом а~ = О, т.е.
вдоль пластины. Поэтому гидродинамическая хорда совпадает с пластиной, гидродинамический угол атаки равен углу атаки, отсчитанному от направления пластины р = а, комплексные скорости в бесконечно удаленных точках плоскостей ю и ~ рав- ны. Учитывая, что В = 1/4, далее по уравнениям (6.44), (6.46) и (6.47) находим модуль подъемной силы, коэффициент пропор- циональности и коэффициент подъемной силы соответственно: )Г( = згр1)и, ! ( ыпа), й„= 2т, С„= 2я~ з1па~.
Координата фокуса пластины определяется по уравнению аппаратах гидравлических турбин, лопастей насосов, компрессоров и вентиляторов. Если ось вращения выбрать в точке Ц, то при повороте пластины придется преодолевать лишь небольшой «шарнирный момент». Момент сил давления относительно входной кромки не равен нулю и определяется уравнением (6.52): Рис.
6.24. Подъемная сила Ме = ~г1р~иоо~ ав1па = — р~иоД Ряпасоаа, (6.63) 2 где а = 1/4 сов а. Коэффициент момента вычисляют по формуле (6.51): 1 Сук = — С„сов а. 4 (6.64) ~Ь модуль — = ~1 — е ~~ ~ = ~е ~ (е~ — е ~ )~ = 2~уе ~линд~ = с~~ О 0 = 4 ып — соя — ~. Вспоминая, что параметр т = 1, р = а, и 2 2 подставляя в уравнение(6.54) соответствующие величины, получаем относительную скорость на пластине соя а —— (6.65) и ) д СО6— 2 Коэффициент давления, согласно по уравнению (6.56), сов а —— С„= 1— соз2— 2 158 Воспользуемся уравнением (6.54) и рассчитаем скорости на пластине. В соответствии с (6.58) на окружности ~ = Ве~~ Рис.
6.25. Распределение скоростей на пла- стине Я2 1 й' (6.66) отобразим внешность дужки на внешность круга радиусом Л: во вспомогательной плоскости ~1 = ~1 + 1п1. При этом отображении точке ю = оо соответствует точка ~1 = оо, комплексные скорости в этих точках одинаковые и(г)~,— оо = и(Д~~ = ~иоо Е1~, ПРИЧЕМ цЕНтр О ОКружНОСтИ раСПОЛОжЕН НЕ В НаЧале координат, как на рис. 6.23, а, в точке ~1 = 1'Ь. Чтобы получить уже известное циркуляционное обтекание круга.
радиусом В с точкой схода потока В на действительной оси, нужно отобразить далее плоскость 1,1 на. плоскость ~ = ~ + 1п с помощью функции ~1 = й "~+Ф (6.67) 159 Координата соответствующей и точки на пластине определяется ~и4 уравнением (6.59). 2 Согласно уравнению (6.65), в точке А(0 = ~г — 2а) разветвле- в~, ния потока скорость равна нулю, ~оРона коэффициент давления максималь- Нижняя сторона ный и равный единице, В точке В(д = 0) схода потока в соответ- е ~ ~ в ствии с постулатом Чаплыгина— Жуковского скорость конечная и = = ~ио,~ сова. В точке Е(д = тг) на передней бесконечно тонкой кромке пластины скорость бесконечно большая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
