Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Расстояние от начала координат до точки С будет равно единице. Для точек свободной поверхности струи в вектор скорости сохраняет величину ио, а его направление постепенно изменяется от вертикальноРис. 6.32. Годог а ско- го вниз в точке С до приближарости ющегося к направлению струи в точке Е.
Соответственно, в плоскости годографа конец сопряженного вектора относительной скорости перемещается по дуге единичного радиуса от С к Е. При перемещении от точки Е к Л1 вектор скорости поворачивается и в точке Ю1 становИтся горизонтальным.
В плоскости годографа конец сопряженного вектора относительной скорости продолжает двигаться по дуге единичного радиуса от точки Е1 к .У1, Аналогично выглядит годограф скорости для границы ВБЕЙ~.У2. В точке Е угол между вектором скорости и осью х больше, чем в точке Е1. Скорость в точке, средней между точками Е1 и Е, направлена под углом а, а ее модуль меньше и0, так как толщина струи еще продолжает уменьшаться. На рис. 6.32 годограф этого участка и участка ГГ2 показан штрихпунктирной линией, На участке границы М1Ж1 скорость сохраняет направление горизонтальное направо, а ее величина постепенно возрастает.
То же будет и на участке границы М2Х~. Концы векторов относительной скорости для точек этих границ будут лежать в плоскости годографа на отрезке горизонтальной оси справа. Соответствующие участки годографа изображены раздельно, в виде двойной линии на рис. 6.32. В точках М1 и М2 174 плоскости ~ скорость будет несколько большей, чем средняя скорость и1, а в средней между ними точке — несколько меньшей (в результате затормаживающего воздействия обтекаемой пластины). Годограф сопряженной скорости на участке М1 М~ изобразится дугой около точки А.
Различие в величинах и направлениях скоростей на условных границах М1Мг, Е1 Е и Г~Е усиливается, когда эти границы приближаются к пластине, и ослабляется при удалении от нее. По мере удаления этих границ от пластины скорости выравниваются и стремятся к постоянной и1 на границе М1М~ и к ио на Е1Е и ЕгГ. Штрихпуннтирные линии этих участков делают годограф для границ области течения замкнутой линией. Модуль скорости безвихревого движения несжимаемой жидкости может достигать максимума только на границах области. Поэтому точкам плоскости ю, расположенным внутри области течения, будут соответствовать концы векторов в, находящиеся внутри построенного годографа для границ области. Это можно показать, построив ориентировочный годограф для точек произвольной струйки, что изображено пунктирными линиями на рис.
б.31 и б.32. Посмотрим теперь на полученную в плоскости з фигуру с другой точки зрения, отвлекаясь временно от ее происхождения, как некоего изображения скорости. Как отмечалось ранее, переменная л есть аналитическая функция от ~. Следовательно, эта функция осуществляет конформное отображение области течения в на плоскость ~, и построенная нами фигура является отображением границ области. Точки, лежащие внутри области течения, перейдут во внутренние точки области в, ограниченной этой фигурой.
1" сли двигаться вдоль границ области ю и соответственно вдоль изображения этих границ в области з, то внутренние точки области течения и их отображения будут расположены по одну и ту же сторону по отношению к направлению движения. Существенное отличие этого конформного отображения от первоначальной области течения .состоит в том, что все участки границ оказываются геометрически полностью определенными.
Они состоят из отрезков прямых, расположенных радиально относительно начала координат плоскости в, и дуг окружности единичного радиуса с центром в начале координат. 175 Следующим шагом будет перенос потока из плоскости ~ в плоскость годографа. Здесь удобно использовать следующее правило: при конформном отображении расходы и циркуляции на соответствующих участках линий сохраняют свои значения.
Это позволяет найти значения и расположение особенностей потока в плоскости годографа. На участке М1М~ плоскости ю расход Я = 27и1 и направлен внутрь области течения. Следовательно, такой же расход проходит через границу М1М2, окружающую точку А плоскости годографа.
В пределе граница М1М~ стягивается к точке А, а расход сохраняет свою величину и определяет интенсивность источника в этой точке. На участках Е1Е и Г2Г плоскости ю расходы равны Я/2 и направлены наружу. Итак, течение в области годографа (см. рис. 6.32) определяется: 1) источником с расходом Я = 27 и1 в точке л 1 = Л„и двумя стоками с углом т/2 и расходом Я/2 в точках в~ = е~~ и яре ~~; 2) границами — вертикальным диаметром СЮ, дугами С%1 и Б%~ по четверти окружности каждая, и отрезком горизонтального диаметра (двойным) вправо от точки вА = Л~.
Эти линии должны быть линиями тока. В рассматриваемом случае течение симметрично относительно горизонтального диаметра, который и будет линией тока. Поэтому условия могут быть упрощены: особенности представлены источником Я в точке А и двумя полустоками — Я/2 в точках Е и Г, а границами (линиями тока) приняты вертикальный диаметр и полуокружность (рис. 6.33, а). Чтобы удовлетворить последним условиям, воспользуемся приемом зеркального изображения.
В точках А', Е', Г', симметричных относительно вертикального диаметра, размещаем источник ~ в точке А', и два полу- стока — Я/2 в точках Е' и Г' (рис. 6.33, б). Лополнив полу- окружность до целой, добавляем вне этой окружности источники и стоки в точках, являющихся инверсиями внутренних точек. В результате получаем систему из восьми особенностей (табл.6.1), обеспечивающих обтекание границ.
Обращаем внимание на то обстоятельство, что в области течения внутри полукруга никаких особенностей сверх заданных не добавлено. 176 А'1 Рис. 6.33. Граничные линии тока и особенности в плоскости годографа Такая таблица облегчает запись функции течения от си- стемы источников (о.87) или в развернутом виде 1п(в — Яц) + 1п(в + Яц) + 1п(в — 1/Яц) + 1п(в + 1/Яц)— — 1п(в — е~~) — 1п(в+ е ~ ) — 1п(в — е ~ ) — 1п(в+ е~ ) Производная этой функции (6.88) или 1 1 в+е ~~ в — е 177 сЫ Я~ О; Ыв 2т ~- в — а, ь=1 1 1 1 1 + + + в — ~~и в + ~ц в — 1/Ви в + 1/~~ц 1 в+ е~о В точке В (точка разветвления) скорость в плоскости годогра- фа должна быть равна нулю.
Следовательно, 8 8 — с,=О. и=1 ' ~=1 Последний столбец табл, 6.1 позволяет убедиться в правильно- сти этой формулы. Переходим теперь к установлению зависимости между пе- ременными г и з. Из уравнения (6.82) имеем И~ = — — —. (6.90) Подставляя значение производной и заменяя 1/ио = 27 В„/Я, получаем в сокращенной записи 8 ° = — л(~ ' ) — '. ~=1 Разлагая каждый из членов суммы на элементарные дроби, находим (з аг)з а~ з аг з з — а, з Но в соответствии с (6.85) второй член в скобках равен нулю.
Поэтому Т 8 с, — ~и ~ (6.91) а=1 Интегрируя уравнение (6.91), получаем функцию ю = г(з), осуществляющую взаимное конформное отображение плоскостей ю и з. Путь интегрирования должен проходить внутри области потока. Теперь функция течения, определенная уравнением (6.87) для плоскости з может быть перенесена на плоскость ~. Чтобы установить зависимость кинематических параметров А„ и а от геометрических размеров устройства, проинтегрируем уравнение (6.91) от точки М до точки С: вС 7 1 с; юС вЂ” ю8~ = Н вЂ” ~(й — ?') = — Я„~ ~~~ ' ~Ь.
~г,/ з — аг ~м ' 179 +2Аи сои а1п ~~', —,+2~Аи яп а1п ф — — — +~гАи(61п о+~ соя а). 2 ~4 2/ Разделяя действительную и мнимую части, получаем г 1+Аи С~ т — = (1+ Аи)1п " + Аи тяпа+ 2соза1п18 —,(6.92) и 2 А т — — 1 = — 2(1 — А ) агс~~ А— г 'Т / и и тсова+ 2ыпа1пЦ~ — —— ~4 2,/ л„[ (6.93) Н 'т — = ~гА, + (1 + Аи) 1п г 1+Аи и В соответствии с (6.84) и (6.86) сила, действующая на пластину, равна Г = 'Три~~(1+ Аг).
В пределе при Н/'Т вЂ” + со получается сила действия свободной струи на плоскую стенку, размер которой велик по сравнению с шириной струи Г~ = 2,э'Ты0 ° г Рнс. 6.35. Натекание струи на безграничную плоскую стенку 181 Последние уравнения определяют зависимость между кинематическими и геометрическими параметрами, Задавая О < А„< 1 и О < а < 7г/2, по уравнениям (6.85) и (6.86) находим коэффициенты расхода и силы, а по уравнениям (6.92) и (6,93) — соответствующие геометрические размеры. В рассмотренной задаче интересны четыре предельных случая.
7Г й 1. а = 7 /2. При этом 1~ — — — = О и, согласно (6.93), 4 2 й/Т вЂ” + оо, как показано на рис. 6.35. У'равнение (6.92) принимает вид 2. Л„= 1. При этом в соответствии с (6.92) Н/7 — + оо. Получаем обтекание пластинки свободной струей шириной 27. На основании (6.93) и (6.86) имеем ~г — — 1 ~гсова+2я1па1п~~ — — —, С = 2(1 — сова). ~4 2,l 3. В~ — ~ О. Это случай истечения из безграничного резервуара (рис.
6.36). Угол о является функцией отношения 5Т ~Н. Чтобы получить эту зависимость, разделим уравнение (6.93) на уравнение (6.92): 182 Взяв половину потока (до осевой линии), найдем коэффициент сжатия струи б = 7о(Н = и':и7~Н в колене при повороте под прямым углом, причем Н и 7 — ширина каналов после поворота и до него. Коэффициент сжатия струи можно использовать для подсчета потери напора после дальнейшего внезапного расширения с образованием срывающихся вихрей (по формуле Борда).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
