Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Например, при движении газов существенным является число Маха, вычисляемое по формуле (5.31), а при истечении жидкой среды под малым напором через отверстия малых размеров — число Вебера О. Че= ~~у2 г ' (7.34) где с — поверхностное натяжение ( см. ~ 2.6). При возникновении в жидкой среде неизотермических процессов, дополнительно используют число Нуссельта с~т~ Хи = —, ~т (7.35) 200 где ат — коэффициент теплоотдачи; Йт — коэффициент теплопроводности жидкой среды. Из сказанного следует, что на подобие гидродинамических процессов могут влиять различные факторы, которые в значительной мере отражаются в приведенных выше числах, часто называемых критериями подобия.
Соответственно критерии подобия рассматривают не только как коэффициенты безразмерных уравнений, описывающих тот или иной процесс, но и как своего рода показатели значимости одного фактора по сравнению с другим, Например, критерий Рейнольдса позволяет оценить насколько велико влияние на процесс вязкого трения по сравнению с инерцией жидкой среды, проявляющейся при установившемся течении в конвективных ускорениях. Критерий Струхаля показывает степень влияния на неустановившееся течение локального ускорения среды в зависимости от характерного для процесса времени. Для колебательного процесса таким временем является период колебаний. С позиций физического смысла таким же образом можно определять другие критерии, чтобы в безразмерной форме представить факторы, которые влияют на изучаемый процесс.
7.4. Метод размерностей в моделировании гидродинамических процессов . Методы физического моделирования изучаемых явлений и представления результатов опытов с помощью критериев подобия давно используются в различных областях научных исследований. Вначале, особенно при исследовании тепловых процессов, создавалась общая теория подобия, затем Л.И. Седов* и другие ученые разработали метод размерностей, широка применяемый в гидромеханике.
Этот метод состоит в следующем. Пусть требуется в безразмерной форме представить функ- цию А=~(А), а=1,2,3,...п,, (7.36) описывающую влияние ряда факторов (величин А,) на какой- либо параметр А изучаемого процесса. Все выбранные величины имеют размерности, принятые в Международной системе (СИ), основные единицы которой длина А, масса М и время Т. В данной системе размерности (с11гп, сокращенное дппепяоп) величин А и А, находятся с помощью формулы ЖтпА; = 1РМ "~Т'~. (7.37) В другой системе, основными единицами которой из нескольких величин А; выбраны три величины: Ар, А~, А„с независимыми размерностями, формула (7.37) принимает вид йгпА = А*~А "~ А,'~. Три выбранных величины в СИ имеют размерности (7.38) с1ппАр — — У" М "РТ'Р, 61гпА~ = 1~~ М"~Т'~ с1ппАе = й~еМ~" Т'~.
(7.39) (7.40) (7.41) Седое Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М., 19б5. 201 Подстановка правых частей формул (7.39) — (7.41) в правую часть формулы (7.38) и сравнение результата с формулой (7.37) позволяют для каждой из рассматриваемых величин со- ставить по три таких уравнения: (7.42) (7.43) (7.44) ч~ = ц~~+ьц+ь ~, г = т,Х +т1У. +т„а, 8~ — — ~Р~1+ ~~~ + ~„~~. Путем решения уравнений (7.42) — (7,44) определяют х~, р и л . После этого все величины А; и величину А пересчитывают в безразмерные с помощью соотношения П = ДП1, Пг Пз,1,...,1,...,1,...,П„).
(7.46) Функцией (7.46) выражено содержание т-теоремы, согласно которой зависимость физической величины А от и других физических величин А; можно заменить зависимостью безразмерного комплекса П, содержащего А, от п — 3 безразмерных комплексов, полученных для А; величин. Если определяются зависимости между т и и физическими величинами, то общее число безразмерных комплексов составит и — Й+ т, где Й вЂ” число величин с независимыми размерностями. Чтобы находить безразмерные комплексы, не решая уравнения (7.42) — (7.44), С,С.
Руднев предложил способ, примеры применения которого привел в конспекте своих лекций по гидродинамике*. В одном из примеров рассмотрено установившееся движение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе с шероховатыми стенками (рис. 7.1). Определяется зависимость перепада давления Ьр = р1 — р2 на участке трубы Руднев С.С. Гидродииамика вязкой жидкости. Ч.1.
М.: МВТУ, 1977. 202 А П (7.45) А А" А' Р причем размерности величин А., Ар, А~, А„принимают в СИ. Три величины, которые были выбраны в качестве новых единиц измерения, при подстановке в соотношение (7.45) дают значения П;, равные единице, поэтому безразмерная форма функции (7.36) будет такой: Рис. 7.1. Схема круглой цилиндрической трубы (а) с шероховатой стенкой (б) (7.47) Ьр = Я, д, о, р, р, 6).
Для перехода от (7.47) к безразмерной зависимости составляется табл. 7.1, в которой записываются безразмерные комплексы, полученные при двух вариантах выбора новых основных единиц. Таблица 7.1. Определение безразмерных комплексов для установившегося течения вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе 203 от длины 1участка, внутреннего диаметра И трубы, средней по сечению трубы скорости жидкости ю,плотности и динамической вязкости жидкости р и и соответственно. Шероховатость стенки трубы характеризуется высотой Ь выступа. В общем виде зависимость перепада давления от влияющих на его значение физических величин записывается в виде С помощью таблицы найдены следующие безразмерные функции: по варианту 1 по варианту 2 Ьра 1 юЫр Ь (7.48) (7.49) — = — Юг(, — „).
(7.50) (7.51) С помощью функции (7.50) нетрудно найти широко применяемую при гидравлических расчетах формулу для потерь Ь„напора в трубе. Так как Ьр = рдЬ„, величина Ь„определяется соотношением 2 Ь =Л вЂ”вЂ” с~ 2д' (р Ь~ где Л = 2~р1 ~ —, — ) .
Ь~ 'д Величина р/(юНр) имеет значение, обратное числу Рейнольдса Ке = Ыр/р = Ы/и, поэтому коэффициент Л сопротивления тренин трубы будет функцией Ке и относительной шероховатости: Л = Л(Ке, Ь/а). 204 В функции (7.48) и (7.49) вместо шести исходных размерных величин, от которых зависит перепад давления, входят три независимых безразмерных переменных, что позволяет значительно сократить количество опытов, необходимых для определения достаточно общих закономерностей изучаемого физического явления, Если труба имеет постоянный по длине диаметр на участке, где распределение скоростей не изменяется по сечению трубы (так называемое равномерное течение), то величину 1/Ы можно вынести за знак функции. При этом функции (7.48) и (7.49) несколько упрощаются: Результаты экспериментов, приведенные далее в гл, 10, хорошо подтверждают эту зависимость.
В соответствии с функцией (7.51) перепад давления Ьр можно определить соотношением р~Л ~'Р='Рг 2 > ~г которое с точностью до постоянного множителя совпадает с формулой, полученной для ламинарного течения Хагена— Пуазейля. В этом случае уг = 32 (см. далее гл. 8). 7.5, Подобие нестационарных течений ц(т 1) ГО 1 т ((4и1) 2~т (7.52) где Га — циркуляция скорости в момент удаления вихревой нити из жидкой среды (~ = О). 205 Согласно теореме Гельмгольца (см.~ 3.5), при наличии в жидкой среде вихрей они сохраняются во все последующие моменты времени. Это утверждение справедливо, если жидкая среда принята идеальной, т.е. не учитывается ее вязкость. В действительности жидкая среда является вязкой, что может быть причиной превращения вихревого движения в безвихревое или, наоборот, возникновения вихревого движения из не- вихревого.
Затухание вихрей связано с работой сил вязкого трения, вызывающих диссипацию механической энергии, поэтому в отсутствие поступления энергии извне среда приходит в состояние покоя. Диссипация энергии сопровождается распространением (диффузией) угасающих вихрей в вязкой жидкой среде. Характер диффузии вихрей выясняют, предположив, что помещенная в безграничный объем вязкой среды бесконечная прямолинейная вихревая нить мгновенно удаляется из среды. Вызванное таким возмущением изменение окружной скорости и среды во времени 1 на разном расстоянии т от начального положения вихревой нити нашли К.В.
Озеен и Г. Хамель путем решения уравнения Навье — Стокса. Решение имеет вид [15] Рис. 7.2. Изменение распределения скоростей в вязкой жидкой среде после удаления вихревой нити Рис. 7.3. Изменение завихренностн вязкой жидкой среды во времени Графики функции (7.52) приведены на рис. 7.2. Этому распределению скоростей соответствует следующее распределение вихрей: Го, д4и) (7.53) 4тИ Построенные с помощью формулы (7.53) графики пока,- зывают, что завихренность вязкой жидкой среды в некоторые моменты времени может быть максимальной, а затем апериодически убывает (рис. 7.3).
При нестационарных (неустановившихся) течениях вблизи подвижных стенок и в трубах завихренность также изменяется. Примеры первых видов течений рассмотрены в двух задачах Г. Стокса. В первой задаче определяется профиль скоростей при разгонном течении вязкой несжимаемой жидкости, создаваемом плоской стенкой, которая из состояния покоя внезапно начинает перемещаться в своей плоскости с постоянной скоростью и, . Решение задачи основано на использовании усеченного уравнения Навье — Стокса, которое при размещении стенки в плоскости хОх декартовых координат записывается в виде их 02 Цх Д~ ~ Дуг (7.54) 206 Начальные условия в данном случае следующие: при 1 < О их = О для всех значений у, при ~ ) О их = ост для у = О, их = О для у = оо.
Введя новую переменную и,=О, ~(Ц) находим уравнение ~2у ~у — +21 — = О „,1,,2 с граничными условиями ~ = 1 при ц = О, 1 = О при 11 = оо. Уравнение (7.55) имеет решение (7.55) 2 и, = О,т 1 — — е " йц = Острец). (7.56) У ч= 2~1и 1,б Для различных моментов времени наблюдается аффинность описываемых функцией (7.56) профилей скоростей, т.е. изменением масштаба в направлении у их можно совместить в одну кривую, изображенную на рис 7.4. Вторая задача Стокса посвящена расчету скоростей движения вязкой несжимаемой жидкости около стенки, совершающей гармонические колебания в своей плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
