Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Интегрируя (8.96), получаем Р: г + СО ° (8 ° 97) 6ии01 1 Ь, ""о Из граничных условий (8.91) после преобразований находим 1+й 6, =260 2+ й' 6Ц~О~ 1 Ю РО . 2 0 0,2 0,4 0,8 0,8 хд Закон распределения давления по длине слоя определяется формулой Рис. 8.16. Распределение давления по длине смазоч- ного слоя ~+й ~г 6ии01 ~ + и 0 (8.99) 1+ йх 2+ й 2+ й (1+ йх)2 В безразмерных координатах зависимость (8.99) можно представить в виде функции 6Ри01 (8.100) Р = (Р— РО)дх. (8.101) Подставляя (8.99) в (8.101), получаем 6,ицо~2 й2~,2 0 2й 1п(1+ й)— 2+й (8.102) 238 график которой для значения й = 1,2 приведен на рис. 8.16.
х ф Наибольшее давление достигается в точке х„где — = = (2+ й) Сила давления, рассчитанная на единицу ширины опоры, определяется интегралом Функция (8.102) достигает максимума при й = 1, 2, максимальная сила давления примерно равна ~2 Ргпах = 0,16Нио 2' о (8.103) Точка максимума силы давления определяется координатой х, = 0,311 (см. рис.
8.16). Силы трения зависят от касательных напряжений (8.104) В соответствии с законом распределения скоростей (8.92) и соотношением (8.104) имеем ио Ь др то=р —— (8.105) Ь 2дх Исключая из (8.105) и и р, согласно (8.90) и (8.99), после преобразований находим 4~ 6(1+ й) 12 (8.106) 1+А 2+1 (Е+й )2 Силу трения, рассчитанную на единицу ширины пласти- ны с помощью формулы Ртр — — ~ тойх, в которую подставлено О выражение ~8.106), представим в виде ио~ ~ Ртр = И ~о 4 6 — 1п(1+ /с)— й 2+1 (8.107) При й = 1,2, приблизительно отвечающем максимальной ио~ силе давления, сила трения равна Р~р — — О, 75р —. йо 8.7.
Ламинарный пограничный слой 239 Рассматривая обтекание вязкой жидкостью твердой поверхности, условно выделяют пристеночную и внешнюю области потока. Для первой области, называемой пограничным слоем, характерно интенсивное проявление вязкости жидкости, которое распространяется вдоль всей твердой поверхности. При безотрывном обтекании поверхности скорость по толщине пограничного слоя увеличивается от нулевого значения у твердой поверхности до некоторого значения, которое несколько меньше скорости внешнего потока.
В пределах пограничного слоя скорости изменяются очень резко, поскольку толщина пограничного слоя 6 невелика по сравнению с расстоянием от точки его образования. По направлению течения толщина пограничного слоя возрастает, но малость отношения — сохраняется и на всей длине обтекаемого х слоя. Приближение скорости в пограничном слое к скорости внешнего потока происходит асимптотически, поэтому конечное значение толщины пограничного слоя будет зависеть от точности, с которой принимают равенство скоростей пограничного слоя и внешнего потока на их общей границе. В теории пограничного слоя чаще используют понятие толщины вытпеснения б*, косвенным образом связанной с поперечным размером пограничного слоя.
Предположим, что при обтекании плоской пластины не- возмущенным потоком вязкой жидкости (рис, 8.17) граница пограничного слоя ОА определяется его толщиной, назначенной условно, Линии тока невозмущенного потока перед пластиной (х < О) представляют собой параллельные пластине прямые, но над пластиной (х > О) они будут отклоняться. В сечении т — и с толщиной пограничного слоя б скорость и~ всюду меньше, чем скорость невозмущенного потока и~, расход жидкости через сечение т — и будет меньше, чем через сечение а — 6 в невозмущенном потоке того же размера б. Поэтому, чтобы проходил тот же расход изб, линии тока над пластиной должны отклониться на некоторую величину 6*.
Запишем уравнение баланса расходов для сечения а — 6 и т — и: (8.108) 240 Рис. 8.17. Пограничный слой на пластине С помощью уравнения (8.108) и очевидного равенства (8.109) находим толщину вытеснения в виде б ~0 = 1 ~У- (8.110) +, = и~ + иУ , '(8.111) д и~ ди~ дих д2иУ диУ диУ + = и~ — + иУ вЂ”; (8.112) дг 'д Уд„ вЂ” У=О. (8.
113) дУ 1 Р Р 1 Р У ди — + д 241 Согласно формуле (8.110), толщина вытеснения б* равна отклонению линий тока вязкой жидкости от линий тока невозмущенного потока жидкости. Это отклонение вызвано тормозящим действием твердой поверхности (т.е. образованием пограничного слоя). Величина б* не зависит от точности определения б, так как и~ = ио на некотором расстоянии от пластины часто принимают и~ = О, 99ир. Связь между толщиной пограничного слоя б и толщиной вытеснения б* можно найти, определив распределение в плоском пограничном слое с помощью двух уравнений Навье— Стокса и уравнения неразрывности, записанных в виде При расчетах пограничного слоя обычно пренебрегают массовыми силами, принимая Р = Ру — — О.
Чтобы упростить уравнения (8.111) — (8.112), сравнивают между собой порядки членов, учитывающих вязкость и конвективные ускорения жидкости. Для этого выбирают следующие масштабы: У = и — продольная составляющая скорости на границе я=О пограничного слоя; 1 — характерный продольный размер; б— толщина пограничного слоя. При таких масштабах величины х, у, и~ имеют порядки 1, 6, Г соответственно.
Порядок производных, входящих в уравнения (8.111) — (8.113), определяют исходя из того, что при изменении проекции и переменная у ди изменяется от 0 до б. Поэтому производная будет иметь ди У порядок —. Порядки остальных производных для и равны ° х соответственно где Π— обозначение порядка величины (от латинского огс1о— порядок), Порядок проекции и„находят с помощью соотношения о о Г/б согласно которому О (ия) = —. У Поэтому 1 др д2и, ди, ди~ — — — +и = их — +и~ —. рдх ду2 * дх ду ' (8.114) иУ Порядок членов, зависящих от вязкости, составляет —, а у2 порядок конвективных ускорений †.
При одинаковом порядь~ У' ке указанных членов — = С вЂ”, где С вЂ” постоянная. Отсюда ~2 ~~2 следует, что величина имеет порядок значений кинематической вязкости и. Кроме того, или И 1Ле Таким образом, исходная предпосылка о малой величиб не относительной толщины пограничного слоя — будет выполИ няться тем лучше, чем больше число Ке = —, до тех пор пока сохраняется ламинарный режим течения (см. далее гл. 9). Полученные порядки значений проекций скорости и их производных показывают, что оба члена в правой части урав- нения (8.111) имеют один и тот же порядок У2/1, тогда как первый из членов, учитывающих вязкость жидкости, мал по сравнению со вторым, поскольку д и д2и~ б~ Это в предположении одинакового порядка малости членов, учитывающих вязкость и конвективное ускорение жидкости, д и, позволяет исключить из уравнения (8.111) 2 и записать его в виде В правой части уравнения (8.112) порядок каждого члена ц2~ равен — а первым учитывающим вязкость жидкости., как ~2 1 и в уравнении (8.111), можно пренебречь.
Сохраняемый член уравнения (8.112) тоже имеет порядок так как О(У26/1) = и. Следовательно, в уравнении (8.112) 1 др ~Г2~ порядок члена — — будет равен †. Разность давлений на Р дУ ~г границе р и стенке р для данного сечения пограничноу=б у=э го слоя составит б о т.е.
является весьма малой величиной порядка У~Р/Р. В связи с этим пренебрегают изменением давления по толщине погра- ничного слоя, принимая др — = О. ду (8.115) Уравнения (8.115) — (8.116) служат основой для расчета ламинарных течений в плоских пограничных слоях. Рассмотренный анализ уравнений (8.111) — (8.112) показывает, что их можно заменить одним уравнением (8.114), которое вместе с уравнением неразрывности (8.113) образует предложенную Л.
Прандтлем систему ди, ди 1др д и~ и~ — +иу — — — — — — + и д* " ду Рд~ ду ди диу + — = О. дх ду Вопросы для самопроверки 1. Приведите примеры точных решений уравнений Навье— Стокса. 2. Как определяется длина начального участка при ламинарном установившемся течении в круглой цилиндрической трубе? 3, Как рассчитать расход жидкости при ламинарном течении в зазоре между двумя цилиндрами со смещенными и параллельными между собой осями? 4. Опишите картину течения в ламинарном пограничном слое. 5, Выведите уравнение Рейнольдса и постройте эпюру распределения давления между валом и опорой гидродинамического подшипника.
Глава 9 ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 9.1. Экспериментальные данные о неустойчивости движения жидких сред Ламинарное движение жидкой среды может качественно меняться при изменении вязкости среды. До тех пор, пока вязкость не меньше некоторого критического значения, ламинарное движение устойчиво и соответствует уравнениям Навье— Стокса, которые имеют единственные решения независимо от начальных возмущений. Если вязкость будет меньше критического значения, то при тех же исходных геометрических и кинематических параметрах возникают новые, более сложные виды движения, теряющие, в свою очередь, устойчивость и переходящие в еще более сложные движения.
Такое неупорядоченное движение с сильным перемешиванием в поперечном по отношению к основному направлением течения называют турбулентным. Определение условий, при которых нарушается ламинарное движение жидкой среды, относится к числу важных задач, составляющих проблему гидродинамической устойчивости. Первые экспериментальные исследования в области гидродинамической устойчивости выполнил в 1883 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
