Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если в точке А (рис. 8.11) 226 где и1 и ы2 — угловые скорости вращения внешнего и внутреннего цилиндров. Лля нахождения общего решения уравнения (8.58) следует воспользоваться функцией вида и = т~. Подставив ее в (8.58), получим окружная скорость равна и, то и угловая скорость будет —. В т точке В угловая скорость равна и Ы и — + — — йт.
Следовательно, т Йт т за время й частица, находившаяся в точке В, пройдет путь — + — — Ит й (т + дт) ВВ . Если угловые скорости ы1 и ю2 равны, то жидкость между цилиндрами не будет испытывать деформацию сдвига и будет вращаться вокруг общей оси цилиндров. Отрезок Ьт за время й переместился бы в положение А'В", Из-за разности ~1 и ю~ он переместится в положение А'В'. Малый отрезок В'В" и соответствующий ему угол да характеризуют деформацию сдвига: Рис. 8.11. К определеиию деформации сдвига жидкого слоя и с~ и В" В' = (т+ йт) и й — (т+ йт) — й = т ~ т — — Йтй.
Лля малых углов или Касательное напряжение равно т=~и — =рт — — =и (8.И) ии и Определяя — и — с помощью уравнения (8.59) и подстав- Йт ляя результат в ~8.61), получаем 2В т = — и— 1 т или 2а262 ы — м2 (8.62) Если принять т = а или т = 6, то можно получить значения касательных напряжений на внешнем или внутреннем цилиндрах соответственно. Момент силы трения определяет соотношение Мтр —— 2хт1тт, где 1 — размер цилиндра вдоль образующей, Учитывая (8.62), находим,что и262 Мтр — Р~~ 2 2 (~1 ~'2) (8.63) ~2 62 не зависит от радиуса слоя т. Лля двух соосных цилиндрических поверхностей, ограничивающих слой жидкости, моменты сил вязкого трения, распределенных по этим поверхностям, равны по модулю и противоположны по знаку.
Частный случай имеет место, когда наружный цилиндр неподвижен (ы1 = О). Если зазор между цилиндрами б = а — 6 малая величина, то а — Ь = (а+ Ь)(а — Ь) = (26+ б)б ж 26б. Момент сил трения и2 2;г 621 Мтр — — — 2рт~ — и - — р и, б (8.64) где и = ы26 — окружная скорость вращения цилиндра. В соответствии с (8.64), момент силы трения растет с уменьшением зазора б. В случае вращения вала в подшипнике при наличии смазки используют формулу (8.64), предложенную Н.П.
Петровым. 8.5. Основы теории гидродинамической смазки Пары трения деталей машин и механизмов, как правило, разделены тонким слоем вязкой жидкости или газа, в котором развивается давление, предотвращающее соприкосновение 228 поверхностей. Особенностью движения смазочного слоя явля- ется его малая толщина по сравнению с размерами граничных поверхностей, что дает возможность считать граничные поверхности слабоискривленными и пользоваться декартовыми координатами.
Рассмотрим слой жидкости, который движется вследствие взаимного перемещения двух слабоискривленных поверхностей, расположенных одна над другой. Движение считаем установившимся, а действие массовых сил несущественным. Расположим ось Ох на нижней поверхности и направим ее так, как перемещается эта поверхность со скоростью и1 . Ось Оу перпендикулярна нижней поверхности. Верхняя поверхность может иметь составляющие скорости и2 и иг~. При малой толщине Ь слоя жидкости для любой точки внутри слоя со- ставляющие и; скорости жидкости изменяются интенсивнее в направлении оси Оу, чем по оси Ох, поэтому (8.65) Эти обстоятельства позволяют пренебречь в уравнениях движения не только инерционными, но и вязкостными членами, которые содержат производные по х и ~. Пренебрегая малыми членами, получаем систему уравнений р д2их др др д2и, дх ду2 ' ду ' дх ду2 ди ди„ди — + — + =О, дх ду дю которую называют системой уравнений Рейндольса для сма- зочного слоя.
Ее используют для решения задач, связанных с движением смазочного слоя. Из второго уравнения системы (8.66) следует, что давление не зависит от координаты у, поэтому первое и третье уравнения могут быть проинтегрированы по координате у, В ре- зультате находим 229 др г и = — — у + С1у+ Сг', 2р дх др г у +Сзу+ С4, 2р дл (8.67) где С1, Сг, Сз и С4 в общем случае зависят от х и ~, Они могут быть определены из граничных условий на твердых по- верхностях.
Рассмотрим случай течения в тонком слое. Пусть обе поверхности неподвижны и течение происходит только под действием перепада давления в слое переменной толщины Ь(х, ю). Тогда граничные условия будут иметь вид и = и, = О при у = О и у = й. Внося их в (8.67), получаем значения постоянных интегрирования 6 др Ь.
др С1=- — —; Сз=- —— 2р дх' 2р д~ скоростей Сг = С4 = О; и закон распределения 1 др и* = — — у(у 2р дх 1 др — 6); и = — — у(у — Ь). 2и дю (8.68) Воспользуемся интегралом так как то д 1 д ( — ~ и~с~у+ — ( и~ду = О. д./ д./ ' 230 о который, согласно уравнению неразрывности, равен нулю, а Рис.
8.12, Схема для расчета течения в смазочном слое цилиндрического подшипника Выполняя интегрирование с учетом (8.68), получаем уравнение, описывающее распределение давлений в слое: — Ь вЂ” + — Ь вЂ” = О. (8.69) Ь Ьз,~„„>, д = — иоу = — + —. 12р дх 2 (8.71) О Введем постоянную величину Ь„связанную с расходом соот- иЬ ношением д = —. С помощью этого соотношения формулу 2 (8.71) представим в виде 231 В общем случае Ь(х, ~) является функцией, определяемой условиями задачи. Перейдем теперь к движению тонкого смазочного слоя жидкости между двумя эксцентрично расположенными цилиндрами, когда внутренний вращается с постоянной угловой скоростью (рис. 8,12).
Будем считать движение установившимся ламинарным и изотермическим. Толщина слоя смазки в подшипниках очень мала по сравнению с радиусом цапфы, потому, выбирая систему координат, пренебрегаем кривизной поверхности цапфы и подшипника. Оси координат показаны на рис. 8,12. При плоском течении распределение скоростей в слое описывает уравнение 1 йр у и = — — у(у — Ь)+ и — — 1 (8.70) 2р дю Ь где и окружная скорость поверхности цапфы. Расход жидкости в слое единичной длины, если скорость течения направлена в сторону, противоположную оси Ох, ра- вен — = — (6„— 6).
Ыр бра Ьз (8.72) Из уравнения (8.72) ясно, что ܄— толщина слоя в том сече(ф нии, где — = О. и'х Поскольку зазор б = В2 — В1 (< В1, то приближенно можно принять В1+ Ь = В2 — есовд, отсюда Ь = д — есовд. Так как йр 1 Ыр х = В1д и дх В1 Ыд' то вместо (8.72) имеем ~~р Ь, — = б,и~В1 Тд = б~йВ1 6, 1 ез(а — соя д)з е2(а — сов д)2 (8.73) й* 1 ] р(д) — р(0) = брюВ1 (8.74) Ьз(д) 62(д) Так как р(0) = р(2т) = рд, то равенство (8.74) преобразуется к виду й' 1 ] (8,75) Ьз(д) 62(д) 232 Здесь а — отношение зазора к эксцентриситету, а = 8/е.
Интегрирование уравнения (8.73) в пределах от д = 0 до д, дает Из уравнения (8.75) выведем величину 6,: Н ~ И0 2,/ (о — соя 0)2 2 О О 2а(а — 1) ~х— — е — е 2гг 2т 2а2+ 1 й~ ( И0 ~3,/ ( — о 0)3 (8.76) О О С учетом полученного результата (8.76) уравнение (8.73) можно преобразовать к виду 2о(с~2 1) 1 (2о2+ 1) (а — соз0)3 (а — соз0)2 ир 6рюВ1 Н0 е2 (8.77) После интегрирования вместо (8.77) получим 6рюВ1 а~ ып 0 О р(0) — ро — ' 1 + О2 2а2+1а — сов0 о — соз0 Знак разности р(0) — рО определяется знаком йп0. (8.78) Р = [р(0) — рО) В1 яп 0И0 (8.79) О определяет значение силы давления, приходящейся на. единицу длины цапфы.
После интегрирования получим о' 6иУюВ1 (~,2 ~~,).,Я2- -1 6~ (8.80) где 5 = 2тВ1 — поверхность цапфы единичной длины. Коэффициент силы 2 4 )— (2а~ ~- 1)ч а~ — 1 (8.81) зависит от параметра а. Характер изменения этой величины показан на рис. 8.13. При а < а*, согласно исследованиям 233 Сила давления направлена нормально к прямой, проходящей через центры 02 и 01. Интеграл О,б 0,5 1Р(2л- 0,4 о,з 0,2 о 1 2 3 4 5 б 7 3 9 а Рис.
8.13. Зависимость коэффициента силы 9 от параметра а Рис. 8.14. Элементарные силы давления и трения, приложенные к поверхности цапфы Л.С. Лейбензона, нарушается сплошность течения из-за отрыва слоя. Сила трения определяется касательными напряжениями, которые можно найти с помощью соотношений ди тО =Р,— др и Ь Ыр =Р Ь 2Л1 аВ (8.82) Подстановка (8,77) в (8.82) приведет к выражению 2 За(а2 — 1) а — соя д (2а2 + 1)(а — соя д)2 (8.83) Сумма проекций элементарных сил трения на направление линии центров равна нулю, т,е. результирующая сил трения нормальна к линии центров (рис, 8.14). Приведенные ниже интегралы определяют силу и момент трения, вычисляемые при единичной длине цапфы: Ртр = тО Л1 ~0' 0 2л М р — — тОЯ, Ю.
2 (8.84) (8.85) 234 После интегрирования формулы (8.84) и (8.85) принимают вид Уи 2а(а~ + 2) (2а~ ~- 1)на~ — 1 Уюй1 2а(а2 + 2) б рд2 -~ 1)~(аг— (8.86) (8.87) Анализируя выражения для определения сил давления (8.80) и сил трения (8.86), можно сделать следующие выводы. 1. Сила трения на порядок меньше силы давления. 2. При вычислении поддерживающей цапфу силы можно пренебречь силой трения. Отношение силы трения к силе давления называют коэффициентом трения цилиндрического подшипника.
Этот коэффициент с помощью формул можно представить в виде — а+— (8.88) Зависимость коэффициента ~ от параметра а имеет минимум при а = ~/2., т.е. 2 б ЛП1п = Л+ — = 0,943 —. ЗЛ,,,2 Д, 8.6. Плоский клиновидный слой смазки Движение слоя смазки в подшипнике скольжения, применяемого в опорах машин, примерно соответствует следующей схеме: течение происходит между двумя непараллельными плоскостями, одна из которых (пусть нижняя) перемещается с постоянной скоростью ио в направлении, противоположном 235 Величина а = ~/2 меньше о*, что указывает на предположительный характер полученного значения ~,„;„.
При а — оо (уменьшение эксцентриситета) формула (8.87) переходит в формулу (8.64) Петрова для соосного расположения цилиндров. оси х (ри с. 8. 15), вторая (верхняя) неподвижна, имеет длину 1. Перепад давления на неподвижной пластине отсутствует. Ламинарное установившееся течение предполагается плоским. В этом случае местные скорости в слое можно описать уравнением (8,67), т.е. Рис. 8.15.
К расчету плоского клиновидного слоя 2 и~ = — — у + С1 у + С2. 2р дх (8.89) Зависимость 6(х) получим из геометрических соотношений (см. рис. 8.15): 61 — 60 х 6=60+ х:Ь0 1+Й (8.90) 61 60 гдето = Ь, ния. Запишем граничные условия: параметр клиновидности опоры скольже- и~= — и0, иу — О пРи У=О; и~=О, и„=О при у=Ь; р=р0 при х=О и х=1 (или при 6=6 и Ь= 61). (8.91) 1 др у и~ = — — у(у — 6) — и0 1 —— 2и дх Ь (8.92) Согласно уравнению неразрывности, — и'+ " ау=о.
236 Определяя при этих граничных условиях постоянные С1 и С2, получаем закон распределения скорости и~: ~ди~ Ь Так как ~ — Ир = ид, то с учетом граничных условий У'У ю ю для и„получим ди~ д Г ду = О или — ~ и~Ну = О. дх д~ Используя закон распределения и~, в соответствии с (8.92) выполняем интегрирование: (8.93) Выражение в скобках не зависит от х, не зависит оно и от р, поэтому можно принять Р ~ю~ ю~~х + (8.94) 12и дж 2 2 а затем уравнение (8.94) представить в виде др Ь вЂ” Ь, — = — барию ду ~3 (8.95) Перепишем (8.95) с учетом (8.9О): др барию ~ 1 (8.96) д~ ~~ ~~ ьз 237 др Константа 6, равна толщине слоя, при которой — = О, т.е. давление достигает максимального значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
