Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Устойчивость движения жидкой среды между вращающимися концентрическими цилиндрами При течении жидкой среды между двумя концентрическими цилиндрами, из которых внешний неподвижен, а внутренний вращается, могут возникать чередующиеся вихри. Оси вихрей параллельны направлению окружной скорости вращающегося цилиндра. Вихри чередующиеся, с вращением по ходу часовой стрелки и в обратном направлении, поэтому в сечении, перпендикулярном к оси вихря, линии тока имеют вид, показанный на рис. 9.9.
Такие вихри впервые исследовал ,Пж. И. Тейлор в 1923 г., в связи с чем они названы его именем. Условие возникновения вихрей Тейлора выражается неравенством Л. Прандтля: 41 3. (9.3) 258 где Г,„, В~„— окружная скорость и радиус внутреннего цилиндра соответственно; Й вЂ” расстояние между стенками внутреннего и внешнего цилиндров. 11осле возникновения вихри остаются устойчивыми и сохраняется ламинарное течение при значениях Ке = У~„Й/и, которые несколько больше вычисленных с помощью формулы (9.3). В случае превышения этих значений устойчивость вихрей нарушается и течение становится турбулентным.
Внешний Внутренний Рис. Э.Э. Линии тока вто- ричного течения между двумя цилиндрами (внутренний — вращается, внешний— неподвижен) С точки зрения теории гидродинамической устойчивости рассмотренному течению между вращающимися цилиндрами аналогична неустойчивость, возникающая при трехмерных возмущениях в пограничных слоях на вогнутых стенках, В отличие от выпуклых стенок, при течении вдоль которых центробежные силы незначительно влияют на устойчивость пограничного слоя, для вогнутых стенок это влияние может быть значительным. Вопросы для самопроверки 1.
Приведите экспериментальные данные, согласно которым ламинарное течение в трубе становится неустойчивым и переходит в турбулентное течение. 2. Чем может быть вызван кризис сопротивления плохо об- текаемого тела? 3. Как определяется с помощью нейтральных кривых наименьшее значение числа Рейнольдса, при котором течение будет устойчиво? 4.
Объясните термины «невязкая» и «вязкая» неустойчи- вость течения. 5. Какие факторы вызывают изменение условий устойчиво- сти в случае неустановившегося течения в трубе? б. В чем проявляется нарушение устойчивости течения с вих- рями Тейлора? Глава 10 ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ СРЕДЫ 10.1.
Статистические характеристики турбулентности После потери устойчивости движение жидкой среды становится турбулентным. При таком движении происходит хаотическое изменение гидродинамических величин, допускающее, тем не менее, статистическое описание характеристик потока. Первая статистическая характеристика . — степень ~интенсивность) турбулентности — это отношение фи' )В, ~ин)В, фи',)~ либо н осредненной по времени мессией снорости, либо к осредненной по сечению потока скорости; штрихами отмечены проекции пульсационной составляющей скорости, а черта сверху показывает, что квадратичные значения этих проекций осреднены по времени. Здесь и далее в случае турбулентного течения принят термин «осреднение», оттеняющий временной характер этой операции. Вторая статистическая характеристика — масштаб турбулентности — определяет в выбранном направлении средний размер области статистически связанных между собой пульсационных составляющих скорости.
Мерой статистической связи пульсационных составляющих скорости служит коэффициент корреляции между двумя случайными величинами, вычисляемый по формуле (10.1) 260 где ~Д~ — среднее интегральное за достаточно большой промежуток времени произведение величин ~1 и ~2,' осредненные по времени квадратичные значения величин ~'1 и Я2 соответственно. В отсутствие статистической связи между величинами числитель формулы (10.1) равен нулю и В = О.
При полностью связанных величинах ~1 и 6, согласно формуле (10.1), Я = ~1. Если за основное выбрано направление потока с характерной скоростью и~ вдоль оси Ож, продольный масштаб турбулентности можно найти в виде (10.2) и' (п)Г(п)дп !2 0 и, Г(п)дп Π— и ' (п)Г(п)дп, О (10.3) поскольку Г(п)Ип = 1. О 261 О где Л~ — коэффициент корреляции между пульсационными составляющими и и и' скоростей для точек, лежащих на оси Х1 ХР Ож на расстоянии ~ = х2 — х1 друг от друга.
Кроме продольного масштаба турбулентности вычисляют поперечный масштаб турбулентности при тех же скоростях пульсаций для двух точек, расположенных на осях Оу и Ою. Третьей статистической характеристикой турбулентности служит функция с'(п) распределения кинетической энергии пульсаций по частотам и этих пульсаций во времени. Величина Г(п)дп определяет ту часть отнесенной к единице массы общей осредненной энергии пульсационного движения, которую составляет энергия пульсаций с частотой, находящейся в диапазоне и...
и + дп. Осредненную по частотам энергию, 1 отнесенную к единице массы среды, без учета множителя —, находят по формуле Интенсивность и масштабы турбулентности экспериментально определялись в различных потоках, особенно большое внимание уделялось пограничным слоям. Согласно ряду экспериментов, в пограничном слое на пластине преимущественные значения частот достигают 50 Гц и с увеличением числа Рейнольдса могут снижаться до 20 Гц, в то время как вне пограничного слоя получались значения частот, равные 100 Гц.
10.2. Уравнение Рейнольдса для осредненного турбулентного движения Используемые в рассмотренных выше статистических характеристиках величины определяются путем их измерения и регистрации в различных точках исследуемых потоков жидкости или газа. Для выбранной точки пространства, в котором движется среда, эти величины можно представить равенства- ми / — / — / их — йх + их иу = иу + иу и~ = йг + и Т 1+— 2 1 й(1) = — и,(г)Ыт, Т (10.4) где индекс г заменяется на ж, у, ю при осреднении соответствующей составляющей (проекции) скорости потока; т — вводимое при вычислении интеграла переменное время. Промежуток времени Т называют периодом осреднения. Он должен быть большйм по сравнению с периодом пульсаций скорости, но малым по сравнению с временем, характерным 262 где и~, иу, р, — действительные мгновенные значения составляющих (проекций) скорости потока в данной точке; й~, йу, й, — осредненные по времени составляющие (проекции) скорости потока в данной точке; и, и, у, — пульсационные составляющие скорости потока в данной точке.
Осредненные по времени составляющие скорости находят как интегральное среднее за промежуток времени Т: для изучаемого осредненного турбулентного потока. Таким временем может быть, например, период колебания жидкости в трубе. По своей сути турбулентное движение является неустановившемся, поскольку скорости изменяются во времени. Осредненное по времени турбулентное движение называют установивши иск, если вычисленные по формуле (10.4) для разных моментов времени осредненные значения каждой составляющей проекции скорости получаются одинаковыми. Описанный подход к осреднению турбулентного движения впервые примененил О, Рейнольдс для вывода уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости при наличии турбулентности.
Без учета массовых сил исходные уравнения гидродинамики имеют вид (см. гл.7) ди~ ди~ ди~ ди~ 1 др — + и~ — + иУ вЂ” + и = — — — + и~ и~; (10.5) д~ ' дх "ду ' д~ рдх диу диу диу ди„1 др + и~ + иУ + и,— = -- — + и7 иУ, (10.6) ди, ди, ди, ди~ 1 др + и~ — + иУ вЂ” + и,— = — — — + иT и,, (10.7) д1 дх " ду дю р дз где ди~ диУ ди, — + — + — = О.
дх ду д~ Сначала все преобразования для вывода уравнений Рейнольдса удобно выполнить, воспользовавшись одним из уравнений системы (10.5) — (10.7). Выбрав первое уравнение и воспользовавшись уравнением (10.8), найдем (10.8) дух д(икцр) д( хиУ) д(цх~~) 1 др ~72 (1 9) д, + дх + ду + д, д +'~"* ~РОЗ) 263 дг дг дг дх2 ду2 дю2 К системе уравнений (10.5) (10.7) необходимо добавить уравнение неразрывности дйх д(ихих) д(ихи~) д(ихи») 1 др — + + + — — — — +и~ йх. (10.10) д1 дж др дг р дх Содержащиеся в уравнении (10.10) осредненные значения произведений проекций скорости можно выразить через осредненные и пульсационные скорости, выполнив следующие действия: и' )(йх + и' ) = (й2 + 2йхи' + и'2) = 2и,и' + и',2, ихих = (йх + и2х + их и~ — — (йх + их)(й~ + и'„) = й,йр + ихи,'„+ йяи' + и'„и' + ихи!„+ й~ и'х + и' и!„, = йхй~ иу )Я» + и») — йхй» + йх и» + й»их + их и» + ихи' + и, и' + и' и',.
йи» = (йх + = ихй» Отсюда — 2 !2. ихих = и. + их; с г. ( / ихи~ — — ихиу+ и и„; ихи» = ихи, + и.и . В этих операциях с осредненными величинами использовались два условия: первое — осредненная по (10.4) величина при повторном осреднении не изменяется; второе — в силу первого условия и линейности операции осреднения по (10,4) средние значения пульсационных составляющих проекций скорости равны нулю. Кроме того, учитывалось, что при установившемся турбулентном движении осредненное значение каждой проекции скорости зависит только от координат. В силу такого свойства 264 Переходя к осредненным величинам, следует учитывать, что в соответствии с формулой (10.4) среднее значение производной от функции по какой-либо координате или времени равно производной от среднего значения функции по той же независимой переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
