Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 28
Текст из файла (страница 28)
К расчету ламинарного течения в трубе 216 — =0; — =0; др др д. = ' дВ = ' (8.15) 1 др дги 1 ди~ — — — +и — + — — ~ =О. рд~ дтг т дт~ (8.16) Из уравнения (8.15) следует, что давление по сечению трубы постоянно и зависит только от ~. Это позволяет представить уравнение (8.16) в виде Дги 1 с1и 1,ф + атг тит = РЬ или, что равносильно, в форме (8.17) (8.18) Правая часть уравнения (8.18) не зависит от т, его можно дважды проинтегрировать и получить 1 "Рг и = — — т + С1 1п т + Сг.
4и Ыл 1 "Р г С2 = — — — т0 4р (Ь (8.20) Закон распределения скоростей можно записать с помощью формулы Хагена — Пуазейля: 1 "Р г г и = — — (т — тО). 4р (Ь (8.21) На оси трубы (т = 0) скорость достигает максимального значения (8.22) 217 Так как скорость всюду должна иметь конечное значение, то С1 = О. Лля определения Сг следует воспользоваться граничным условием на стенке трубы: и(то) = О, где то — радиус трубы. Следовательно, Закон распределения безразмерных скоростей имеет вид и т — = 1 — —. ит тО г (8.23) та тО т гип, г 2хтийт = 2ти,7, т 1 — — Йт = хто —, (8.24) тг 2 о о Я = хтои, г и„, 2 т.е.
при ламинарном режиме в круглой трубе максимальная скорость вдвое больше средней. Учитывая (8.22), находим 1прг (8.27) 8,и ~Ь Если длина расчетного участка между сечениями с давле- ниями р1 и рг равна 1 (см. рис. 8.5), то, интегрируя (8.27) по г, получаем формулу Пуазейля: 8рЬ Р1 — Рг = тО (8.28) трубы длиной 1.
определяющую падение давления на участке Формуле (8.28) можно придать такой вид: 32рЬ г (8.29) или представить как 32иЬ Ь,р —, 6 р — (р1 — рг)/рд. ~г (8.30) В гидравлике (см. далее гл. 11) потери Ьтр по длине трубы определяют с помощью формулы Ларси — Вейсбаха: 1 тР ~тр=~ Н 2д' (8.31) 218 Пространственная эпюра скорости представляет собой параболоид вращения с основанием тт~ ~и высотой и„, (см. рис. 8.5). Расход жидкости можно вычислить по формулам в которую входит коэффициент Л сопротивления трения, для рассматриваемого случая равный 64и 64 Л= од Ке (8.32) 8.3.
Течение в кольцевом зазоре Для описания ламинарных течений в трубах, имеющих разные формы поперечных сечений, ось 0~ принимают параллельной образующей боковой поверхности цилиндрической трубы. При этом вследствие прямолинейности линий тока по- лучают 1 др 1 др — — — =О; — — — =О; рду рду 1др ди ди ди~ ди — — — +~ — + + — ~ =и —; рд~ д.2 д 2 д 21 Я' (8.33) (8.34) — = О. (8,35) де Из уравнения (8.35) следует, что скорость и не зависит от координаты ю, а, из уравнения (8.33), что давление р есть функция только переменной ~. Поэтому система уравнений (8.33) — (8.35) сводится к одному уравнению: дг„дг + — = —— (8.36) д.2 д.г — ц д~ в котором левая часть не зависит от л, а правая зависит от др переменной —, Следовательно, каждая из этих частей порознь д~' равна одной и той же постоянной Со.
д2и д2и — + = — СО, дх2 дуг др дз = —,иСо. (8.37) (8.38) 219 и~=иу — — О; и,=и. Пренебрегая действием массовых сил, уравнения Навье— Стокса и уравнение неразрывности соответственно записывают в виде Уравнение (8,38) показывает, что закон изменения давления на участке трубы длиной 1 будет линейным: Се = — ~~ = р1 — р2 Ьр ф' (8.39) Уравнение (8.37) с постоянной правой частью с учетом (8.39) принимает вид д2и д2и Ьр + — =-— д~г ду2 (8.40) И д д д д Принимая во внимание уравнение (8.35) неразрывности, запи- сываем это уравнение в форме Интегрируя, получаем йи Ьр т С1 — = — — — +— Йт ф2 т Повторное интегрирование дает ~-~р 2 и = — — т + С1 1п т + С2, 4ф где С1 и С2 — произвольные постоянные.
Рис. 8.6. Схема течения в кольцевой трубе 220 граничным условием является равенство нулю скорости на стенке трубы. В случае трубы с кольцевым зазором между двумя соосными цилиндрами ввиду осевой симметрии течения можно воспользоваться цилиндрической системой координат, расположив ось 0~ вдоль оси трубы (рис. 8.6).
Используя оператор Лапласа в цилиндрических координатах для осесимметричного течения, приведем уравнение (8.40) к виду а 1п— т +иО а 1п— Ь а 1п— 2 т2 ( 2 62) т 1п— Ь Ьр и=— 4ф (8.41) Если цилиндры неподвижны, распределение скоростей в кольцевом зазоре, согласно (8,41), будет представлено функци- ей а 1п— и= — а — т — (а — 6) а ~Р 2 2 2 2 т 4ф 1п— Ь (8.42) которая позволяет найти расход ( 2 62)2 Р 4 4 а — 6 8,1 (8,43) а 1п— Ь Средняя скорость течения равна отношению расхода к площа- ди кольца, поэтому ьр 2 2 а2 — Ь вЂ” а +Ь 8р1 1п— Ь (8.44) При эксцентричном расположении цилиндров величина Ь зазо- ра между ними зависит от угла а (рис. 8.7). В случае малых значений Ь допустимо считать, что (8.45) 6 = а — 6+ есояа, где е — эксцентриситет.
Через фрагмент зазора площадью а5=8 да 2 В общем случае рассматриваемое течение может быть обусловлено как перепадом давления Лр, так и движением одного из цилиндров. Если внутренний цилиндр перемещается в направлении оси Ог со скоростью иО, то граничные условия определяют равенства и = О при т = а, и = ио при т = Ь. Указанным граничным условиям соответствует следующее решение: Рис. 8.7. Расчетная схема тече- ния в зазоре между эксцентрично расположенными цилиндрами элементарный расход жидкости составит сЦ = — — 6 (а+ 6)ао, ~р 3 24 рА где Л вЂ” длина щели; Лр — перепад давления на щели. Здесь предполагается, что в каждом элементарном фрагменте зазора течение такое же, как и в плоском зазоре. После интегрирования уравнения (8.4б) по всей окружности, получаем расход через зазор (8.46) 2х НЯ (а+ 6) 1+ 2 (а 6)~' (8 47) 12 рХ 2(а — 6)2 О Для максимально возможной несоосности цилиндров, т.е.
ко- гда е = а — 6, имеем Я = 2,5ЯО, где ЯΠ— — расход через коль- цевой зазор при соосном расположении цилиндров (е = 0). 8.4. Течение между движущимися стенками У и= ио— Ь' (8.48) что следует из уравнения (8.4). Для плоских стенок, расположенных параллельно друг другу, возможны два варианта. В первом — нет перепада др давления, т.е. — = О. Единственной причиной движения дй жидкости служит перемещение стенки. Течение описывается линейным законом распределения скоростей (рис. 8.8) Рис. 8.8.
Профиль скоростей при ламинарном течении, возникающем в зазоре между параллельными стенками вследствие перемещения одной из ар них со скоростью ио, — = О ' дх Касательное напряжение ди иО тО=И =И Ну Ь (8.49) 1 д = иИу = — иОЬ.
2 (8.50) дя Для второго варианта (шечение Хуэпипа) иО ф О; — ф О. Расах пределение скоростей при таких условиях определяется уравцр пением (8.4), в котором градиент давления — может быть как и'х отрицательным, так и положительным. В первом случае давление падает в направлении скорости иО, а во втором — возрастает. Наличие положительного градиента давления может вызвать возвратные течения. Уравнение (8.4) удобно представить в безразмерной форме: и Ь др у/ у~1 у иО 2риО Йх Ь | Ь( Ь' которой соответствует семейство кривых, отличающихся па- раметром (8.51) Ьг 2риО дх (8.52) Кривые распределения скоростей при нескольких значениях р, приведены на рис. 8,9.
Можно видеть, что вблизи неподвижной стенки при р, ~ — 1 существуют возвратные течения, будет постоянным по толщине слоя. Удельный расход жидко- сти, увлекаемой движущейся стенкой, ширина которой равна 1, составит Возврат теч 0 0,4 0,8 -0,4 Рис. В.О. Распределение скоростей в ламинарном потоке между параллельными стенками при ав ф О и — э~ 0 Ыр Их возникновение которых объясняется наличием положительного градиента давления. Существенно, что решения, рассмотренные в этом параграфе, опираются на допущение о прямолинейности линий тока (и: — О ). Это допущение выполняется достаточно точно лишь на некотором расстоянии от входа в плоский канал, где поток подчиняется выведенным зависимостям и влияние на- (8.53) (8.54) 224 чального участка мало.
Лля движения жидкости между двумя перемещающимися без вращения цилиндрами в отсутствие разности давлений вдоль оси Ох уравнение распределения скоростей находится в виде (Ь < т < а, и = О при т = а, и = ио при т = Ь) а 1п— и= иΠ— а> т 1п— Ь а распределение касательных напряжений в слое жидкости описывает у равнение Рис.
8.10. Схема для расчета течения в зазоре между вращающимися цилиндрами где 6 < т < а. Формула (8.54) показывает, что при уменьшении б = а — 6 касательные напряжения в жидкости возрастают. Ламинарное течение в кольцевом пространстве между соосными вращающимися цилиндрами рассмотрим с помощью рис. 8.10. Ксли линии тока являются концентрическими окружностями и и, = О, то течение плоское (и, = 0). Пусть ди движение будет установившимся — = О, а влияние массовых д1 сил незначительно. Уравнения Навье — Стокса и уравнение неразрывности в цилиндрических координатах для этих условий примут вид 1др 2 ди и — — +и — — = —; рдт т2 дд т' 1 др (ди 1ди — — — +и + — — + рт дд ~,,дт2 т дт 1 ди2 д~и и~ иди + — — + — —— т2 дР д~2 т2 ~ т дВ' 1 др — — — =0; р д~ ди — =О, дд (8.55) (8.56) 225 8 5733 Согласно уравнению неразрывности (8.56), скорость и не зависит от переменной В.
Давление р не зависит от переменной О вследствие осевой симметрии течения; равны нулю и все производные по Ою, так как движение в направлении этой оси отсутствует. При таких ограничениях система уравнений (8.55) (8.56) сводится к двум уравнениям: 10р и рат т а~и 1аи и + — — — — — О, йт' т ат т' (8.57) (8.58) Уравнение (8.58) содержит одну функцию и и может быть решено независимо от уравнения (8.57), которое выражает закон распределения давлений по радиусу. Граничные значения скорости и определяют равенства и=~1а при т=а; и=~26 при т=Ь, Ь(~с — 1)т~ 2 + ~ст~ 2 — т1' или Й вЂ” 1 = О.
Частными решениями будут функции и1 = т и и2 = т — 1 а общим решением является сумма В и = Ат+ —. т (8.59) С помощью граничных условий составим для определения постоянных А и В следующие уравнения: В В ы1а = А+ —; о~2 = АВ+ —, а 6 отсюда 62~2 — а2~1 а262 А — 2 2,' В = 2 2(м1 ~)2). Ь вЂ” а Ь вЂ” а (8.6О) Выделим цилиндрическими поверхностями радиусов т и т + ат тонкий слой жидкости, подверженный деформации сдвига вследствие разницы угловых скоростей ы1 и ~2. Предположим, что ы1 > ~2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
