Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Решению проблемы гидродинамической устойчивости с помощью нелинейных математических моделей посвящено большинство отечественных и зарубежных работ, опубликованных в последние десятилетия. В них рассматривается вязкая жидкая среда, движение которой создается внешними силами или перемещением поверхности, ограничивающей заполненное средой пространство. Поле скорости при таком движении определяется решением уравнений Навье — Стокса и уравнения неразрывности при известных начально-краевых условиях. Тем самым предполагается заданным для любого момента времени поле скоростей на ограничивающей жидкую среду поверхности, а также считается, что известны в начальный момент времени поля скоростей во всем пространстве, занятом жидкой средой.

Изучаются два решения названных уравнений при фиксированной вязкости жидкой среды. Для одного из них начальные условия изменяются возмущениями, вызвавшими отклонения скоростей и давлений от значений, полученных в другом решении уравнений при исходных начальных условиях. Если со временем оба решения сближаются, то движение жидкой среды устойчиво, если расходятся — то неустойчиво. 253 Чтобы найти условия сближения решений, вводится понятие средней энергии еоэлрщений: г(~)=0,5< и' >, (9.2) где ~и'~ — абсолютное значение возмущения вектора скорости; < ...

> — усреднение возмущения по занятому средой объему. Решение называется асимптотически устойчивым, если Если же существует некоторая положительная величина б, такая, что е(~ = о) < б, то решение в отсутствие возмущений называется условно устойчивым. При б — ~ оо решение будет устойчиво в целом. Приведенные условия устойчивости в основном схожи с известными в механике и теории управления теоремами А.М.

Ляпунова об устойчивости систем, математические модели которых представлены нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, При анализе устойчивости движения жидких сред приходится обращаться к решениям нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, что существенно усложняет задачу.

Для некоторого ее упрощения жидкую среду принимают несжимаемой и не содержащей источников или стоков, т.е. используют уравнение неразрывности йч и = О. Расчеты показывают, что при таком анализе устойчивость ламинарного движения жидкой среды в круглой цилиндрической трубе сохраняется при конечных значениях В.е „р. 9.3. Распределение скоростей и устойчивость ламинарного неустановившегося движения жидкой среды в круглой цилиндрической трубе 254 Гидродинамическая устойчивость неустановившегося движения жидкой среды — еще более сложная задача, чем задача об устойчивости движения, которое первоначально является установившемся с известным распределением скоростей во всем пространстве, занятом жидкой средой.

Согласно расчетам, распределения скоростей при различных неустановившихся ламинарных движениях жидких сред в круглых цилиндрических трубах, а также в пограничных слоях плоских пластинок могут существенно отличаться от распределения скоростей при установившемся движении среды. Такие расчеты в большинстве случаев выполнены в предположении конечной длины участка формирования потока и его устойчивости независимо от вида и значений изменяющихся с течением времени внешних сил или перемещений для ограничивающих поток поверхностей.

Измерения с помощью электротермоанемометра, проведенные 1964 — 1968 гг. автором монографии [10], позволили получить реальные распределения скоростей по сечению круглой цилиндрической трубы при гармонических колебаниях жидкостей разной вязкости. Колебания создавались поршнем так, чтобы средний за период расход жидкости равнялся нулю.

Результаты измерений в виде точек наносились на рассчитанные путем решения уравнений Навье Стокса профили скоростей (рис. 9.7). На осях графиков указаны следующие величины: безразмерный радиус т(т0 и безразмерная местная мгновенная скорость жидкости и~то/~8и), направленная вдоль оси трубы. 50 25 0,5 тlго Рис. 9.7. Распределение скоростей при колебаниях ламинарного потока в трубе 255 Кроме того, фиксировалась безразмерная ыго/(8и) частота ко- 2 лебаний, а также определялось фазовое смещение измеренного профиля скоростей относительно графика колебаний расхода жидкости в трубе. В приведенных выше соотношениях т— радиальная координата точки сечения трубы, в которой измерялась скорость и жидкости; то — радиус проходного сечения трубы; и — кинематическая вязкость жидкости; м — угловая частота колебаний. Профили скоростей имеют характерные для периодического движения жидкости черты, отличающие их от параболического распределения скоростей при установившемся ламинарном движении жидкости в трубе.

В центральной части сечения трубы мгновенные местные скорости распределены более равномерно, чем при установившемся движении. По мере приближения к стенке трубы неравномерность распределения мгновенных местных скоростей возрастает, причем около стенки по отношению к центральному потоку возникает движение жидкости в противоположном направлении. физические причины такого искажения профилей скоростей состоят в том, что при периодическом изменении перепада давления по концам трубы, вызванном колебаниями поршня, всем слоям жидкости в некоторые моменты времени сообщаются равные ускорения.

Вследствие этого скорости жидкости во всех точках сечения трубы получают почти равные приращения, которые в пристеночных слоях могут привести к изменению знака скорости, а в центральных слоях только уменьшить ее значение. Максимальные значения местных скоростей в моменты времени, когда увеличивается амплитуда расхода, перемещаются от оси ближе к стенке трубы. Приведенные экспериментальные значения скоростей, близкие к рассчитанным в предположении существования ламинарного устойчивого потока, подтверждают справедливость данного допущения.

Было также обнаружено, что при безразмерной частоте 11,9 местная турбулизация потока возникает в моменты времени, когда мгновенные числа Рейнольдса превышают Н.е„~ при установившемся течении. Это соответствует результатам экспериментальных исследований устойчиво- 256 определяется параметрами режима, при котором искусственно вызванные в ламинарном потоке турбулентные пробки начинают расти.

Границы устойчивости, полученные таким способом, приведены на рис. 9.8. На рисунке по оси абсцисс отложены значения К.е го ах, вычисляемые на амплитуде а„ средней в сечении трубы 3600 2600 г100 1600 О 4ОО 1гОО гООО а. ю КЕпях= Ч Рис. 0.8. Границы устойчивости при колебаниях ламинарного потока в трубе терпкая Т. Экспериментальное определение критического числа Рейнольдса для пульсирующего течения Пуазейля // Тр.

Амер. о-ва инж.-мех. Сер. Теоретические основы инженерных расчетов, 19бб. Ма 3. 257 9 — 5733 сти ламинарного движения жидкости при колебаниях потока в трубе*. Согласно указанным исследованиям, на устойчивость пульсирующего ламинарного потока влияют два фактора. Один из них способствует нарушению устойчивости ламинарного течения, другой — оказывает стабилизирующее действие на поток.

Первый фактор связан с наличием точек перегиба на профилях скоростей при колебаниях потока в трубе, второй — с тем, что при ускорении потока задерживается возникновение турбулентности. Отношение времени существования точек перегиба на профилях скоростей к остальной части периода колебаний Т.

Сарпкая предлагает принимать за показатель, определяющий устойчивость неустановившегося ламинарного течения при периодическом изменении расхода. Показатель зависит от отношения амплитуды расхода к установившемуся "ю'Сю нею о значению расхода, на которое накладывается его периодическое изменение, и безразмерной частоты колебаний. Критическое число Рейнольдса 4100 скорости, Ыо — диаметр этого сечения. На оси ординат указаны числа Рейнольдса, соответствующие усредненному за период колебания значению средней в сечении трубы скорости юо.

Частота колебаний потока представлена безразмерным параметром Й = то~/ы/и, где ы — угловая частота колебаний; и — кинематическая вязкость. Границы устойчивости показывают, что при колебаниях ламинарного потока с увеличением частоты и уменьшением амплитуды колебаний область устойчивости ламинарного движения жидкости (при Й = сопя1 ограничена кривыми сверху и справа) приближается к значению числа В.е О, равного В,е ~р для установившего течения. 9.4.

Характеристики

Список файлов книги