Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 35
Текст из файла (страница 35)
2, 303 уи* 2, 303 — 1ц — + а — 1яа. и* Х Х (10.36) Согласно проведенным И. Никурадзе измерениям, скорости воды в сечении круглой цилиндрической трубы близки к значениям, соответствующим логарифмическому профилю скоростей (рис. 10.3): й уи' — = 5,751ц — + 5,5. и* и (10.37) 272 Отсюда, с помощью соотношений (10.33) и (10.34) находят постоянную С4 ' цФ 34 зг зо 28 26 24 22 го 18 16 14 1г 1О о 1,О 1,4 1,8 2,2 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 Уи Рис. 10.3. Соответствующая логарифмическому профилю скоростей прямая и результаты опытов Никурадзе Уравнение (10.37) справедливо в широком диапазоне чисел Рейнольдса (от 4 10 до 3, 24 106), поэтому логарифмический закон (10.36) распределения скоростей по сечению трубы называют, универсальными. Коэффициенты в (10.36) близки к указанным в уравнении (10.37), если у = 0,4, а = 11,5.
Использование в формуле (10.36) двух параметров, требующих экспериментального определения, явилось причиной того, что рассмотренный при ее выводе подход к математическому описанию турбулентного потока относится к полуэмпирическим теориям. 10.5. Расчет турбулентного течения в плоском канале На основе подобия распределения пульсационных скоростей в турбулентном потоке Т. Карман получил следующую формулу пути смешения: 273 Ии Ыу ~2 2 (10.38) где и — осредненная скорость потока (черточка и индекс «х» здесь опущены, чтобы вид формулы соответствовал часто применяемому в гидромеханике); у — безразмерный коэффициент, одинаковый для всех потоков рассматриваемого типа.
При определении пути смешения с помощью формулы (10.38) соотношение (10.21) для расчета турбулентного напряжения принимает вид (10.39) Применение формулы (10,39) можно рассмотреть на примере расчета распределения установившихся осредненных скоростей в плоском канале с постоянным по длине размером 26 дй~ ди'~ (рис. 10.4). Поскольку в этом случае йу —— О, = О, * = О, ' дх ' дх из уравнения Рейнольдса следует, что йт Нр — = — = сопв1, Ыу И* отсюда т = ау+6.
Первым граничным условием является равенство напряжений т и то на стенке канала,т.е. т = = то при у = О. Второе граничное условие находится из услои'и вия, что на оси — = О, поэтому ду т=Оприу=Ь. Рис. 10.4. К расчету профиля скоростей при турбулентном течении в плоском канале 274 С учетом указанных граничных условий т=то 1 —— (10.40) Пренебрегая в турбулентном ядре, как прежде, вязким трением, можно подставить т из (10.40) в (10.39) вместо гг. В результате получаем дифференциальное уравнение (10.41) Уравнение (10.41) после извлечения квадратных корней Н ~ принимает вид (принят знак «минус», так как ~ < 0) ~уг И~и ~ 1 (ди~ Ну~ и* у ~ ду( Ь позволяющий найти первый интеграл — — =2 — Ь 1 — — +С. х у Йи и* Ь Иу Чтобы вычислить постоянную интегрирования, Карман приди нял — =ос,у=О, Иу В этом случае 2~Ь С= — —, цХ ди и* Ну 2зЬ у Интегрируя последнее уравнение, получаем (10.42) 275 и — и 1~ и* Х~ 1п(1 — ~/1 — у~6) ~- ~/1 — у!Ь~ и „-и ЦЭ 0,2 0,4 0,6 0,8 1-- Ь Рис.
10.5. Профили скоростей при турбулентном течении в плоском канале по формулам: — (10.42); — (10.43) Если путь смешения определять с помощью формулы (10.29), то, согласно уравнению (10.36), для плоского канала (й, =- и) Цпч ах = — 1п —. (10.43) и* Х У Графики, соответствующие формулам (10.42) и (10.43), приведены на рис. 10.5. Кроме того, на рисунке отрезками вертикальных прямых обозначено поле результатов измерений Никурадзе, представленных точками на рис. 10.3 ~8]. Графики показывают, что рассчитанное по формуле (10.43) распределение скоростей точнее соответствует экспериментальному, чем рассчитанное по формуле (10.42).
В круглой цилиндрической трубе профили 1 — 6 скоростей, измеренных при разных числах Рейнольдса, имеют вид кривых, изображенных на рис. 10.6, где для нижней кривой В.е = 4 103, для верхней — В.е = 3, 24 106. В случае меньших значений числа Рейнольдса профили скоростей при турбулентном движении приближаются к имеющему форму параболы профилю 7 скоростей ламинарного потока. С увеличением числа Рейнольдса равномерность распределения скоростей турбулентного потока по сечению трубы возрастает, что можно 276 И й 0,9 О,8 0,7 0,6 0,4 о,з о,г О,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 О,б 0,7 0,8 0,9— га Рис.
10.6. Профили скоростей при ламинарном и турбулентном течениях в цилиндрической круглой трубе оценить по отношению скорости и„„на оси трубы к средней ис по сечению трубы скорости. Для ламинарного потока иг„ = 2. Зля турбулентного потока это отношение меняется Иср от 1,3 при Я,е 4 . 10~ до 1,15 при Я,е - 3 106. Кроме рассмотренных основных моделей турбулентных течений в механике жидкости и газа разработаны и используются модели с уточненным описанием турбулентности в ядре и промежуточных слоях потока*.
Хинце И.О. Турбулентность. Ее механизм и теория: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963. 277 10.6. Сопротивление трения гладких труб В формулы, полученные для расчета распределения по сечению трубы скоростей осредненного турбулентного потока, входит динамическая скорость и*, которая связана с напряжением трения на стенке трубы. Эту величину можно дополнительно определить, описав сопротивление трения трубы при турбулентном движении. Коэффициент Л сопротивления трения круглой цилиндрической трубы обычно представляют в виде Л= 2 Риср (~о 2 (10.44) д2 — го~~о~.
о 4 Отсюда 4Л ~ цр = — то. с~о Подставляя полученное для Лр выражение в формулу (10.44), имеем 87о г . Риср С учетом (10.31) последнее соотношение можно записать в виде 8и*2 г иср или иср 2~2 и =,Гл (10.45) 278 где Ьр — перепад давления на участке трубы длиной Х; Нов диаметр проходного сечения трубы;и, средняя по сечению трубы скорость. При установившемся осредненном турбулентном движении сила от действия перепада давления на жидкую среду уравновешивается силой трения, возникающей на стенке трубы, т.е, Чтобы найти в соотношении (10.45) связь Л с числом РейисрА нольдса Й,е = —, от которой, как было показано, зависит распределение скоростей по сечению трубы, применяют формулу (10.43) для границы вязкого подслоя, где у = Б, „, и = и ~.
В результате определяют отношение ~8] = 5,751д + 5 5 гО = с~О/2. ис Р Эту формулу приводят к виду + — „= 5, 751~ Р— + 5,5. (10.46) и* и* ' и 2и Первый член в (10,46) можно вычислить путем усреднения обе- их частей формулы (10.43) по сечению трубы: тО итах иср — 1 / у '~ 2 1п ~ — ) 2тг(гΠ— р)ЙР = и' Хкт ~, тО) О 1 — — 1 — — И вЂ” - 3,75. Применяя, кроме того, соотношение (10.45), находим искомую зависимость — = С1~(Ке~/Л) + 1?. 1 Л (10.47) 1 — = 21д(й.е ~/Л) — О, 8.
,Л= (10.48) 279 Большое число экспериментов, проведенных разными авторами, подтверждают зависимость (10.47), представленную с такими численными коэффициентами: 18110 10 1,40 1,24 1,08 0,92 0,76 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 5,4 5,8 6,2 б,б 7,0 7,4 18 Ке Рис. 10.7.
Изменение коэффициента сопротивления трения гидравлически гладкой трубы в зависимости от числа Рейнольдса Вместо неявной зависимости Л от числа В.е (10.48) Никурадзе предложил использовать следующую зависимость (рис. 10.7): Л = О, 0032+ 0 23Т ' О, 221 (10.49) д 0,23Т ' На рисунке точки, соответствующие экспериментальным значениям Л, практически совпадают с графиком функции (10.49). Там же показан график, построенный по полученной экспериментальным путем формуле Блазиуса для сопротивления трения гладкой трубы О, 31б4 д 0,25 (10.50) 280 б4 и график Л = — для сопротивления трения трубы при лами- И.е нарном движении.
Формула (10.50) относится к так называемым степенным эмпирическим формулам сопротивления, имеющим вид Л= (10.51) Н,е™ Коэффициент а и показатель степени т зависят от чисел Рейнольдса, причем т уменьшается с увеличением Ве. Карман, используя метод размерностей, установил, что при степенном законе сопротивления трения распределение скоростей по сечению трубы можно описать степенной функцией (10.52) названной позднее законом одной седьмой. Рассмотренные формулы сопротивления трения справедливы для труб с гладкой внутренней поверхностью (гладких труб).
К таким трубам относятся стеклянные, медные, стальные при определенной технологии их изготовлении, а также шланги с внутренним фторпластовым покрытием стенок. Кроме гладких труб широко применяют шероховатые трубы, внутренняя поверхность которых имеет неровности и может быть волнистой. Известно большое количество экспериментальных данных и обобщающих их формул, связанных с исследованием сопротивления трения шероховатых труб. 10.7. Сопротивление трения шероховатых труб Наиболее подробные исследования влияния шероховатости стенок на сопротивление труб были проведены И. Никурадзе.
В его экспериментах использовались трубы с зернистой шероховатостью стенок, которая создавалась наносимым изнутри покрытием с зернами песка примерно одинакового размера. Отношение высоты полученной таким способом неровности к радиусу то (или диаметру Ы0) трубы определяет относительную шероховатость. Величина, обратная относительной шероховатости, служила параметром в каждой серии экспериментов, выполнявшихся в широком диапазоне чисел, Полученные в результате экспериментов значения коэффициента сопротивления Л представлены кривыми, изображенными на рис.
10.8. Кривые показывают, что изменение Л в зависимости от числа Рейнольдса и параметра то(Ь подчиняется следующим закономерностям: 1) относительная шероховатость не влияет 281 18(10 '1) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 О,з о,г 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 5,4 18 НЕ Рис. 10.8. Изменение коэффициента сопротивления трения трубы с зернистой шероховатостью в зависимости от числа Рейнольдса па значения критического числа, Ве = 2300, при котором ла.- минарное движение теряет устойчивость; 2) на возникающий после потери устойчивости переходный режим относительная шероховатость также практически не влияет; 3) с уменьшением относительной шероховатости (увеличением значении гО/Ь) диапазон чисел Рейнольдса, в котором справедлива формула Блазиуса,, расширяется, о чем свидетельствует совпадение коэффициентов сопротивления трения шероховатой и гладкой труб; 4) начиная с некоторых значений Ке, которые увеличиваются при уменьшении относительной шероховатости (росте то/Ь), коэффициент Л сопротивления трения не зависит от числа Рейнольдса, а изменяется только в зависимости от параметра го/Ь.
Перечисленные особенности изменения сопротивления труб с зернистой шероховатостью обьясняются разным взаимодействием жидкости с неровностями на стенке. При совпадении коэффициентов сопротивления трения шероховатой и гладкой труб неровности не выходят за пределы вязкого (ламинарного) подслоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
