Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 34
Текст из файла (страница 34)
После осреднения всех членов уравнения (10.9), согласно этому правилу, получается уравнение При неустановившемся в среднем турбулентном движении приходится принимать дополнительные условия. После проведенного осреднения уравнение (10,10) прини- мает вид В свою очередь осреднение членов уравнения (10.8) неразрывности позволяет найти дй~ дй~ дй, — + — + =О.
дх ду д~ (10.12) С учетом (10.12) левая часть уравнения (10.11) принимает вид дйх дих дйх дйх 1 дР 2 + й~ + йу — + й — = — — — + и T й,— д~ 'дх "ду ' д~ рдх дх ду д~ (10.13) Умножая все члены уравнения (10.13) на р, имеем ( дй, ди, дй~ дй~ ~ др Р~ д +~х д +~У +~~г ) = +Р'~7 йх+ (10.14) + — — ри'2 + — — ри' и,'„+ — — ри' и', где и = ри — динамическая вязкость. Аналогично можно вывести уравнения осредненного турбулентного движения, соответствующие уравнениям (10.6) и (10.7): 265 дй ди д(й~йу) д(и й ) дх ду д~ 1дР 2— +и~ и†(10.11) диг дй~ дй~ дй~ др р — +йх — +иу +й, = — — +р~7 и,+ д1 дж "ду д~ дю (10.16) + ри и + ри! и~ + ри Систему уравнений (10.14), (10.15) и (10.16) осредненного турбулентного движения несжимаемой жидкости вместе с уравнением неразрывности (10.12) называют уравнениями Рейнольдса, которые представляют также в криволинейных координатах, в частности — цилиндрических координатах.
Сравнение уравнений (10.14) — (10.16) с уравнениями (7.15) — (7.17) показывает, что по своей форме уравнения осредненного турбулентного движения отличаются от уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости наличием дополнительных членов. Эти члены отождествляются с турбулентными напряжениями, возникающими в потоке из-за пульсаций. В соответствии с гипотезой Буссинеска турбулентные напряжения могут определяться по аналогии с законом вязкого трения Ньютона посредством соотношений вида дих рих иу = Рт ду ' Величину рт рассматривают как тпурбулентиную или вихревую вязкость, вызванную переносом количества движения при турбулентных пульсациях скоростей.
Масштаб таких пульсаций несоизмеримо больше молекулярных колебаний, которыми объясняется динамическая вязкость и жидкой среды. Чтобы отличить и от и~, ее называют также молекулярной вязкостью. Согласно оценкам возможных значений р,, турбулентная вязкость существенно превышает молекулярную вязкость, причем может изменяться по сечению потока в зависимости от его структуры.
Однако молекулярная вязкость оказывает основное влияние на гидродинамическую устойчивость (10.17) 266 диу дйу дйу дйу др р~ — +й — +иу +й, = — — +р~7 йу+ ~ д1 * дю " ду ' ду ди (10.15) + — — ри', и„'+ — — ри'2 + — — р и'и', потоков, нагрев жидкой среды и другие явления, зависящие от внутренней диссипации энергии в жидкой среде. 10.3. Формула Прандтля для расчета турбулентного трения Появление в турбулентном потоке дополнительных напряжений сопровождается возникновением турбулентного трения между слоями жидкой среды.
Для объяснения механизма такого трения на одной из линий тока плоского осредненного по Рейнольдсу движения выделяют элементарную площадку иЯ = дх (рис. 10.1). Через площадку проходят линии 1 и 2 тока пульсационного движения, благодаря которому происходит обмен количества движения между слоями, расположенными выше и ниже площадки. Границы этих слоев находятся на одинаковых расстояниях 1'/2 от площадки, скорость переноса равна скорости и„пульсационного движения, направленного поперек осредненного движения. При показанном на рисунке профиле скорости и~ разность осредненных проекций на ось От количества движения, проносимых в единицу времени пульсациями через площадку вверх и вниз, будет равна силе ттиБ, приложенной от верхнего слоя к нижнему. Следовательно, ттйЯ = Ри' Отсюда (10.18) где тт — турбулентиное напряжение, возникающее в жидкой среде вследствие пульсаций.
Воспользовавшись соотношением (10.17), формулу (10.18) можно записать в виде Рис. 10.1. Схема механизма возникновения турбулентной вязкости 267 ~И~ тт=Рт Иу ' (10.19) представив рт как турбулентную вязкость: Рт = Рия~ ! / (10.20) Величину 1' Л. Прандтль назвал путем смешения и показал, что эта величина определяет пропорциональную зависийй, мость скорости и' от —.
Заменив с помощью такой зави- У (~у ' йю~ симости и' в соотношении (10.20) на —, Прандтль вместо У иу (10.19) получил формулу г 7т =Р1 (10.21) Й~~ Й~~ гт — — ф г (10.22) При такой записи г ~их Ит =Р~ Иу (10.23) Путь смешения по своему смыслу близок к рассмотренному в 8 10.2 масштабу турбулентности. Влияние турбулентного трения на движение жидкой среды можно показать на примере плоского течения, параллельного безграничной стенке, совпадающей с осью Ох (рис. 10.2). При ламинарном движении в отсутствие массовых сил уравнения гидродинамики для данного случая имеют вид дгих др Р г =0; =0 ду ' ду Из решения этих уравнений следует,что и~ = С1у+ Сг, р = сопй. 268 сохранив для новой величины 1 название пути смешения.
Чтобы не потерять изменение знака тт, формулу (10.21) записывают еще в виде о а Рис. 10.2. Распределение скоростей в ламинарном (а) и турбулентном (б) потоках Для определения постоянных С1 и С2 необходимы два граничных условия. Одним из них является следующее: и~=О при у=О. (10.25) После интегрирования (10.25) получаем уравнение Йй И вЂ” +тт = СЗ. ду (10.26) 269 Согласно такому условию, С2 = О. Другим граничным условием может служить значение касательного напряжения на стенке "= ( — ',") . Если т0 известно, то распределение скоростей в ламинарном потоке характеризуется линейной зависимостью (10.24) Р График Функции (10.24) показан на рис. 10.2, а.
Напряжение трения между слоями движущейся среды постоянно и равно т0. Турбуленное движение в отсутствие массовых сил можно описать осредненным по Рейнольдсу уравнением, Такое уравнение выводят с помощью (10.14), (10.17), (10.19) и представляют в виде д й, дтт р — + =О. д„г д„— На стенке нормальные к ней пульсации не существуют, поэтому тт = О, а значение касательного напряжения, как и в случае ламинарного движения, допустимо принять равным т0. Тогда Сз = то и уравнение (10.26) соответственно принимает вид (10.27) По мере удаления от стенки турбулентное трение будет увеличиваться и существенно превысит вязкое трение. Вследствие этого, определяя осредненные скорости движения жидкой среды на некотором расстоянии от стенки, можно пренебречь в левой части уравнения (10.27) первым членом. Используя, кроме того, соотношение (10.21), запишем уравнение (10.27) в форме Р~ = О (10.28) В связи с тем, что величина у является единственным для данного потока характерным размером, Прандтль предложил для пути смешения 1 соотношение (10.29) 1= ХР> где коэффициент ~ пропорциональности определяется опытным путем.
После подстановки 1, согласно (10.29), уравнение (10.28) достаточно просто проинтегрировать и найти зависимость осредненной скорости и~ от р в виде й~ = — — 1п д+ С4. Х Р (10.30) 270 График функции (10.30) приведен на рис, 10,2, б. Сравнивая законы распределения скоростей в ламинарном и осредненном турбулентном плоских потоках, ограниченных с одной стороны бесконечной протяженности стенкой, отмечаем их существенное различие. Линейное распределение скоростей при ламинарном движении сменяется логарифмическим при турбулентном движении. 10.4. Логарифмические профили скоростей при турбулентном движении жидкой среды в трубе и (10.31) ~ф и* (10.32) Вычисляемая с помощью (10.31) величина имеет размерность скорости, ее называют динамической скоростью на стенке; величина, определяемая соотношением (10.32)„имеет размерность длины.
Скорость и ~ на границе вязкого подслоя и 271 Для определения в формуле (10.30) постоянной С4 в потоке выделяют тонкую пристеночную область ламинарного движения, которую называют ламинарным или вязким подслоем, и область со значительно большим турбулентным трением по сравнению с вязким трением. Эту область часто называют тпурбулентным ядром потока. Между указанными двумя областями имеется промежуточный слой, где турбулентное трение в разной по толщине слоя мере соизмеримо с вязким трением. При такой модели турбулентного потока постоянную С4 можно найти, сшивая решение (10.30) и решение, описывающее распределение осредненных скоростей в промежуточном слое.
Последнее решение, в свою очередь, сшивается с решением (10.24), полученным для вязкого подслоя. Расчеты упрощаются, если ограничиться двухслойной моделью турбулентного потока, условившись, что вязкий подслой непосредственно сращивается с турбулентным ядром. Такая модель при установившихся потоках, как подтверждают эксперименты, является оправданной, если требуется найти распределение скоростей по сечению потока.
Более точную трехслойную модель и модель с большим числом слоев приходится применять в задачах теплопроводности, а также при изучении структуры потоков в условиях неустановившегося движения жидкой среды. 11вижение в вязком подслое характеризуется напряжением то на. стенке, динамической вязкостью д и плотностью р жидкой среды. Эти три величины можно свести к двум: его толщина б, „могут быть представлены соотношениями, содержащими одну и ту же константу а: и аи бВ.П и* то' Р (10.33) а, согласно (10.24) и (10.31), то 7п аи и ~= — б,„= — =аи*. И И то Р (10.34) На границе вязкого подслоя скорость и ~ принимают равной осредненной скорости й, вычисляемой по формуле (10.30) при у = б, „, поэтому 1 и,~ = — и 1пбВ „+ С4. Ж 1, аи, 1 1 и С4 = аи* — — и 1п —, = и* а — — 1па — — и*1п —. Х и* Х Х и* После подстановки этого значения константы в функцию (10.30) она принимает вид й 1 уи* —, = — 1п и* ~ и 1 + а — — 1па, Х логарифмов имеем (10.35) при использовании десятичных й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
