Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Вследствие прилипания жидкости к стенке скорость жидкости при у = О подчиняется закону 1,4 1,2 1,0 0,8 О,б 0,4 0,2 0 0,2 0,4 О,б 0,8 1,0 и Рис. 7.4. Распределение скоростей вблизи приведенной в движение плоской стенки ит — ист СО8 П1. 207 У 2ч% дифференциальное уравнение ~7.54) в частных производных можно преобразовать в обыкновенное дифференциальное уравнение. При -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ~ст Рис. 7.5. Распределение скоростей вблизи гармонически колеблющейся плоской стенки Соответствующее этому граничному условию решение уравнения (7.54) будет следующим: и (У, 1) = и,тЕ " СО8(П1 — ЙУ), (7.57) где й = З/аД2и), здесь и — частота колебаний.
Используя равенства б = йу = у~/оД2и), решение (7.57) можно представить в виде и,(т~,1) = и, е 21 соя(п1 — и). (7.58) 208 Согласно полученному решению, амплитуда скорости убывает по мере удаления от стенки, причем колебания слоя жидкости на расстоянии р от стенки смещены по фазе, равной и, в противоположную перемещению стенки сторону. Колебания двух слоев жидкости, расположенных на расстоянии 2~г//с друг от друга, происходят синфазно. Построенные по уравнению (7.58) профили скоростей приведены на рис.
7.5. С увели- Рис. 7.6. Профили скоростей при разгоне вязкой жидкости в трубе чением частоты колебаний стенки толщина слоя жидкости, в котором изменяются скорости, уменьшается. Это обьясняется тем, что вызванная колебаниями стенки завихренность не успевает распространиться в жидкости на большее расстояние за время движения стенки в одну сторону. Задача о распределении скоростей при разгоне вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе под действием внезапно возникшего постоянного перепада давления рассматривалась Ф.
Шиманским и другими авторами (10, 15]. Решения уравнений Навье — Стокса получены для несжимаемой жидкости в предположении, что распределение скоростей определяется за пределами участка, на котором происходит стабилизация течения по длине трубы. Рассчитанные профили скоростей для нескольких моментов времени приведены на рис. 7.6, где ю„с — квазистационарная средняя по сечению трубы скорость.
В начале процесса скорости жидкости распределены по поперечному сечению трубы достаточно равномерно, поскольку влияние вязкого трения на форму профиля скоростей проявляется только у стенки трубы. По мере распространения влияния трения по направлению к оси трубы,неравномерность распределения скоростей возрастает и профиль скоростей асимптотически приближается к параболическому, который имеет место при установившемся ламинарном течении в трубе (см. далее гл.
8 и 9). Как при течениях, вызван- Т ных разными движениями плос- 1 кой стенки, так и при течении в трубе распределение скоростей и~ отличается от полученного в слу- ~ ~~2 чае разгона жидкости, если пере- 6 7го пад давления изменяется по гар- 7 моническому закону. Решенная несколькими методами задача о ,/ колебаниях вязкой несжимаемой жидкости в трубе рассмотрена в ряде работ.
В этих решениях течение принимается ламинарным., осесимметричным, с одинаковым 209 изменением во времени профилей скоростей в сечениях, смещенных относительно друг друга по длине трубы. Для этих условий усеченное уравнение Навье — Стокса преобразуется в уравнение Бесселя и, соответственно, решения представляются цилиндрическими функциями.
Рассчитанные посредством таких решений профили скоростей изображены на рис. 9.7, там же точками показаны значения скоростей, измеренных при экспериментальных исследованиях колебаний реальных жидкостей в трубах. В функции распределения скоростей при нестационарных течениях входит величина, равная отношению линейного размера в квадрате к кинематической вязкости жидкости. Эта величина характеризует время распространения завихренности в вязкой жидкости. Профили скоростей показывают, что на распределения скоростей при нестационарных течениях существенно влияет закон воздействия на поток жидкости. В связи с чем при моделировании нестационарных гидродинамических процессов наряду с соблюдением критериев подобия очень важно обеспечивать тождественность вида процессов.
Иначе в сходственные моменты времени и в сходственных точках пространства одноименные величины для исследуемых процессов не будут сопоставимы. Данное предупреждение вполне согласуется с ранее указанным требованием о подобии граничных и начальных условий, что предусматривает также совпадение законов возмущений, вызывающих нестационарные течения. При некоторых видах возмущений, определяя производные от скоростей по времени, можно восстановить предысторию нестационарного процесса и тем самым исключить необходимость повторения его вида при моделировании. Однако этот способ практически всегда требует дополнительных проверок по результатам физических экспериментов или численных расчетов.
На условия подобия нестационарных течений влияет также режим движения жидкой среды, при котором происходит рассматриваемый процесс. Режимы движения жидкой среды могут быть ламинарными и турбулентными. Их особенностям посвящены следующие три главы. 210 Вопросы для самопроверки 1. Опишите последовательность вывода уравнений Навье— Стокса. 2.
Приведите числа (критерии), определяющие подобие течений вязких жидких сред. 3. Укажите основные операции, выполняемые при определении с помощью метода размерностей функциональной связи между параметрами подобных физических явлений. 4. В чем состоит основная особенность условий подобия не- установившихся течений? Глава 8 ЛАМИНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ СРЕДЫ* 8.1. Течение между плоскими неподвижными стенками Расчеты лаиинарных (слоистых, от латинского «1аш1'- п໠— слой) течеиий выполняют с помощью уравнений Навье — Стокса. Для установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости в канале, образованном двумя параллельными стенками, расстояние между которыми 6 (рис.
8.1), линиями тока будут прямые, параллельные оси Ох. Если пренебречь влиянием массовых сил, то указанные условия можно предста; вить равенствами ди д1 — =О, ии — — ия=О, Рп1=0. дик Согласно уравнению (4,19) неразрывности, = О, а так дх д и. 2 как это справедливо для всех точек, то — = О. Движение дх2 вдоль оси О~ отсутствует, поэтому все производные по я обращаются в нуль. Рис. 8.1.
Схема течении между параллельными плоскими стенками Решения задач ламинарного движения жидких сред приведены, в основном, по работам, рассмотренным более подробно в учебнике 161. 212 Система уравнений Навье — Стокса (7.15) — (7.17) све- дется к двум уравнениям: 1 др дги, — — +и =0; Р дт дуг дР— = О. ду (8.1) (8.2) Уравнение (8.2) показывает, что давление зависит только от т, а поскольку ит = и(у), то в (8.1) можно перейти от частных к обыкновенным производным: йги 1 ~р ~уг ..
(8.3) Дважды проинтегрировав уравнение (8.3), получим 1 ЙР у и = — — у(у — 6) + ио-. 2/х Ит й (8.4) При неподвижных стенках ио = О. Это случай напорного течения в плоском канале с параболическим распределением скоростей (рис, 8.2) (8.5) Рис. 8.2.
Профиль скоростей при ламинарном течении жидкости между двумя неподвижными плоскими стенар ками, — < О д~ 213 У "Р и = — — + С1У + Сг, 2и йж где д, = ри, С1 и Сг — произвольные постоянные. Вначале примем достаточно общие граничные условия: и~, р = 0 и и~„~ = ио, при которых определим закон распределения скоростей по сечению канала в общем виде: 6 и максимальной скоростью при у =— 2 ~' ~р и,п = — — —.
8и Ых Разделив (8.5) на (8.6), получим закон распределения скорости (8.6) =4 1 —— (8.7) Используя зависимость (8.5), находим распределение касатель- ных напряжений ни 1 ф т = р — = — — (2у — 6). Ыу 2 дх (8.8) т=тО 2 — — 1 (8.9) удельный расход жидкости (при ширине каИр случае — ( 0 сЬ Определим также нала, равной 1) в Ь й 1 ~р ~з ~р О = иду = — — у(у — 6)Ыу = —— 2ы Нх„/ 12и дх (8.10) Рис. 8.3.
Распределение касательных напряжений в ламинарном потоке жидкости между неподвижныд~) х ми плоскими стенками, — < О ' дх О хо 214 На стенках, т.е. при у = О и у = 6, касательные напряжения ~ ~р принимают максимальные абсолютные значения тО = — —, а 2 Ых' 6 при у = — обращаются в нуль. Распределение касательных 2„ напряжений показано на рис. 8.3 и соответствует закону и среднюю скорость (8.11) которая будет в полтора раза меньше максимальной, т.е. ю = 2 = — ит 3 Из выражения (8.11) получаем формулу для расчета потерь давления в канале: (8.12) которую можно представить в виде где ˄— коэффициент сопротивления канала, определяемый юй числом Рейндольса Ке = — с помощью соотношения У Л„= —. 24 Ке ~8.13) 8.2.Течение в круглой цилиндрической трубе 215 В случае, если вход в трубу из резервуара выполнен достаточно плавным, то в начальном сечении 1 — 1 устанавливается практически равномерное распределение скоростей ~рис.8.4).
По мере движения жидкости тормозящее влияние стенок распространяется на все большую толкну потока. Нз входном участке, называемом начальным, поток имеет ядро, где сохраняется равномерное распределение скоростей, и пристеночный пограничный слой, где скорости распределяются неравномерно. Вниз по течению сечение ядра убывает, а. толщина, пограничного слоя возрастает.
В конце участка 1„,„(сечение 2 — 2) пограничный слой почти смыкается на оси трубы, и ниже по течению устанавливается практически параболическое распределение скоростей. Это распределение скоростей достигается асимптотически, но для расчетов с допустимой для практики точностью можно указать конечное расстояние. Пограничный слой Рис. 8.4. Начальный участок в трубе ,Длина начального переходного участка определяется формулой гнач —— (О, 029...О, 04)ййе, Ве = —. (8.14) ~И Р Сопротивление начального участка трубы приблизительно на 9 % больше, чем сопротивление того же участка трубы, взятого в области стабилизированного ламинарного течения.
Устойчивый ламинарный режим имеет место при В.е ( Ке При значениях И,е > й.е„р нарушается ламинарное течение и возникает турбулентность. Для установившегося ламинарного потока в круглой цилиндрической трубе примем цилиндрическую систему координат, как показано на рис. 8.5. Рассматривая течение после начального участка трубы, имеем и, = и~ — — 0; и, ф О. Из урав- д~~ пения неразрывности получаем — = О, откуда и, = и(т, 0). дз Это условие должно выполняться во всех точках потока, д и поэтому 2 — — О, Так как поток в трубе осесимметричен, то д з все параметры течения не должны зависеть от переменной О, д д2 т.е. — = 0 и = 0 . Если пренебречь действием массовых дд д02 сил, уравнения Навье — Стокса в цилиндрических координатах можно записать в виде Рис. 8.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
