Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поэтому изложенный выше подход может служить основой для исследования развитых кавитационных течений в рабочих колесах лопастных насосов. Вопросы для самопроверки 1. Какое движение жидкой среды называют плоскопараллельным? 2. Что определяют функция тока и потенциал скорости? 3.
Напишите формулу комплексного потенциала. 4. Покажите на примерах применение метода конформных отображений, 5. Приведите примеры струйных течений и покажите, как их можно применить при расчетах технических устройств. Глава 7 УРАВНЕНИЯ И УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ДЛЯ ТЕ~яЕНИЙ ВЯЗКИХ ЖИДКИХ СРЕД 7.1. Уравнения движения вязкой сжимаемой жидкой среды них дрхх двух дРхх 'а 'Р*+ д. + ду + д. ' ии д д д Р =Р у+ у р + рху+ рур + рху. й " дх ду дх д* ду дх Левые части уравнений (7.1) — (7.2) представляют собой индивидуальные (субстанциональные) производные, которые можно записать в виде сумм локальных и конвективных ускорений: (7.1) (7.2) с~их дих дих дих дих — + и — + и„+ и —; Й д1 'дт "ду дх' (7.4) 192 В тех случаях, когда жидкая среда принята идеальной, поверхностные силы будут направлены по нормалям к площадкам, выделенным в среде.
Это вызвано тем, что такая модель жидкой среды не учитывает ее вязкость, вследствие которой возникают силы внутреннего трения, изменяющие численные значения и направления действующих на площадки поверхностных сил. Чтобы учесть вязкость среды, в уравнение (4.31) подставляют напряжения, компоненты которых зависят как от нормальных, так и от касательных напряжений. В результате после перехода к проекциям на оси декартовых координат получают следующую систему уравнений: Иия дик ди„дия дия — = — + их — + ия — + и~ —; й д~ *дх "ду 'д~' Ии, ди, ди ди, ди, = — + и — +и„— +и,—.
й д~ *дх "ду 'дх С помощью равенства (4.33) и выражений, определяющих компоненты тензора напряжений, уравнения (7.1) — (7.3) можно привести к системе уравнений, описывающих в скалярной форме неустановившееся (нестационарное) движение вязкой сжимаемой среды: (7.6) и1, — — и Йчи ,и — +— р — +— (7.7) йи„др д ( диу~ д ~ р — = рР3~ — — + 2 — ~р — ( +— Н ~ ду ду~ ду( ду~ ,и —" + — ~; (7.8) р — ~ = рР— — Р+2 р ~ + —,и — —,и с~3чи р — +— и — + — +— (7.9) Система уравнений (7.7) — (7.9) вместе с уравнениями (7.4) — (7.6) содержит десять зависимых переменных, из которых Р„Ря и Р, можно считать предварительно известными, поэтому для определения остальных семи переменных необходимо иметь еще четыре уравнения.
Одним из них будет уравнение (4.16) неразрывности, вторым — уравнение энергии, полученное в результате перехода в уравнении (4.53) к проекциям переменных. К этим уравнениям добавляется уравнение состояния жидкой среды 193 У(р,р,в) = о (7.10) и функции р = р(р, В), р1, = и~ (р, В), описывающие изменения коэффициентов вязкости жидкой среды в зависимости от давления и температуры. Если для рассматриваемого процесса вязкость жидкой среды принята постоянной, последние функ- ции не используются.
При этом условии уравнение движения вязкой сжимаемой жидкой среды в более компактной вектор- ной форме имеет вид р — = рР~ — ягадр+ и1, + — дгайй1чи+ р~ и, (7.11) с~и И г Ж 3 ди ди~ и~ ди~ ди~~ < р — +и, + +и~ (= = рР— — +,и(~ ит)+ р1 + — — (йчи); (7.12) др г д дх 3 дх ~ди„ди, ид ди, ди„и~ г р — +ит + — + и~ ~ д1 дт т дд *дх т дР / г ит 2 див~ = рР, — — +р~~ и, — — — — ~+ дт ~ ' тг тг д +,и~ + — — (Йчи); 3 дт (ди~ дид иу ди~ ди~ и„и~'~ р~ — +и„— + — — +и — + ~ а " д. ° дп ' д.
° ( 1~р г ив 2 дит =Ю +И ~ и — + + т дд тг тг дд р'11 д и1,. + — ) — — (й~и). 3) дВ (7.14) дг дг дг где ~~ = — + — + — — оператор Лапласа. дхг дрг дзг При наличии притока массы жидкой среды следует добавить величину д,пи в левую часть уравнения (7.11). В расчетах и исследованиях гидродинамических процессов часто вместо декартовых координат целесообразнее применять цилиндрические координаты х, т, д. После перехода к цилиндрическим координатам при постоянных р и,и1, уравнения (7.4) — (7.9) сводятся в систему, которая состоит из трех следующих уравнений: 194 д2 1 д 1 д2 д2 Здесь 72 = — + — — + — — + —; йиги =— дт2 т дт т2 дд2 дх2' т д(и„т) + д~в д(и,т) + — + дд дх К уравнениям (7.12) — (7.14), как и при описании движения жидкой среды в декартовых координатах, следует присоединить уравнение неразрывности (4.21), полагая в нем Чт =О.
7.2. 5~равнения движения несжимаемой вязкой жидкости Многие прикладные задачи гидромеханики решают без учета сжимаемости жидкой среды, которую в таких случаях называют капельной жидкостью или жидкостью. Систему уравнений движения вязкой жидкости можно получить непосредственно из уравнений (7.4) — (7.9). После несложных преобразований при иь = О, р = сопз1 эта система принимает вид ди, ди ди, ди~ р + и~ — + и~ + и,— д1 дх ду ' д~ /дир диу дик дир ~ р — +~х — +и~ +и~ д1 'дх "ду 'д~ др д ир д~иу д и~ = рРц — — + и — + +; (7.16) ду д 2 ду2 д,,2 ди, ди, ди, ди, р — +и~ +и — +и,— д1 дх ду ' д~ 195 Поскольку принята несжимаемая жидкая среда, к уравнениям (7.15) — (7.17) добавляется уравнение неразрывности в виде (4.19).
Эти уравнения в цилиндрических координатах преобразуются в следующую систему: ди~ ди~ иу ди~ ди~ р — + ит + — +и~— д~ дт т дд дх др /д~и 1 ди 1 д2и д2и дх ~ дт т дт т дд~ дх (' и2 ди, ит — — — + дт т2 диц д2ит~ ОВ дх2 (' дит дит ию дит с д~ ' д т дд др д2ит 1 = рР— — +р т+- дт дт2 т О2ит 2 + т2 ОФ т2 (7.19) див див ив див ивит див р — +и,— + + +ит— д~ ' дт т дд т ' дх 1 др дамир 1 дию ив =ФЪ вЂ” — — +и + + тдд дт2 т дт т2 О2щ 2 дит О2и т2 Я2 т2 О9 дх2 ( (7.20) (7.21) 196 дит и„1 дид ди д" + "+ дд + д* =О Аналитическое решение в общем виде уравнений движения вязкой жидкой среды (обычно именуемых как с учетом, так и без учета сжимаемости среды уравнениями Навье — Стокса) до сих пор относится к числу нерешенных проблем гидромеханики. Это объясняется тем, что уравнения представлены в частных производных и к тому же являются нелинейными, Известные решения ряда гидродинамических задач с помощью уравнений Навье — Стокса, получены при допущениях, упрощающих уравнения и граничные условия.
Рассмотрены также предельные случаи движения жидких сред при очень большой и малой вязкости. Современные вычислительные средства значительно расширили круг гидродинамических задач, решаемых численными методами. С целью обобщения результатов аналитических или численных исследований и обеспечения их проверки путем срав- пения с результатами физических экспериментов математические описания процессов стараются обычно представлять в безразмерной форме.
Такая форма, кроме того, позволяет определить условия подобия, при соблюдении которых эксперименты могут проводиться на физических моделях, отличающихся своими размерами от натурных объектов. 7.3. Критерии подобия гидродинамических процессов Процессы, имеющие одинаковую физическую природу, называют подобными, если величины, характеризующие один процесс, можно найти, умножая на постоянные числа величины, взятые из другого процесса в сходственных точках пространства в сходственные моменты времени. Условия подобия гидродинамических процессов, возникающих при неустановившемся движении вязкой несжимаемой жидкости, можно определить с помощью уравнений (4.19) и (7.15) — (7.17) или уравнений (7.18) — (7.21), приведя их к безразмерной форме. Лля этого используются следующие масштабы или базовые величины: Т вЂ” характерное для процесса время; Х вЂ” линейный размер; Г и р* — известные в выбранной точке жидкой среды в заданный момент времени скорость и давление соответственно.
Безразмерные величины, отмеченные верхним индексом «0», и переменные, которые входят в указанные выше уравнения, связаны между собой соотношениями ~ = Т1, х — йх, у — Ху, ю = Л.г, о о о * о и = Ги,, и„= Уи„, и = Уи„р = р р . В тех случаях, когда поле массовых сил создается только силой тяжести, а ось Ол направлена по вертикали вниз, Р~ = Р„= О, Р, = д.
При этом уравнения движения и неразрывности жидкой среды после подстановки в них безразмерных величин записывают так: Г дио У~ /' О дио О дио Одих~ — — + — ~и,— +и +и, Тд~о ~ ~ ~д О ~дуо 197 д О,у Д2цо Д2~0 д2 0 + х+ х+ х р~ Д 0 У,2 Д 02 Ду Д 02 р* др и~ Д2И Д2И д ц — — + — " + " + — ~; (723) р~ Дуо ~2 Дт02 Ду02 Дв02 р"' дро ц~у Д2до Д2,цо д2~0 = д — — — + — — '+ ' + '; (7.24) р~ д~о у;2 Д~02 ду02 Д~02 Д ~ 0 Д ц О Д ц 0 — — + — + — — О (7.25) д~о дуо д о Разделив уравнения (7.22) — (7.24) на У2/А, можно умень- шить в них число коэффициентов и объединить в оставшихся коэффициентах масштабы, принятые перед переходом к безразмерным переменным, В результате этих операций система безразмерных уравнений движения вязкой жидкости принимает вид Дио О ди~ О ди~ О Дио ~" до +".д о+ "ыд о+ ° о— ж у Дю дро 1 д2 0 Д2,~0 д2~0 = — Еид о+ Н.
д о2+д о2+д о2 ' (7.26) Дж Не дж ду д~ БЬ вЂ” +и +и +и — = дно д о Рд,о до д 0 1 Д2~0 Д2~0 Д2цо Е",~ о + д о2 + д о2 + д о2 Ду Не Дх Ду Дю Дро 1 / Д2до Д2,цо Д2цо ~ 198 Уравнение неразрывности (7.25) после деления на У/Х имеет вид ДнО Д~ ДцΠ— *+ — ~+ ' =О. ~~О ~уО ~~0 (7.29) Коэффициенты уравнений (7.26) — (7.28) определяются с помощью соотношений Л ЬТ' Еи = = р* ~у ГБ В.е = —; ~г Гг = —. дЕ (7.30) (7,31) (7.32) (7.33) 199 В каждую из формул (7.30) — (7.33) входят в разных сочетаниях масштабы, выбранные для получения безразмерных уравнений движения и неразрывности вязкой жидкости. Рассчитанные по этим формулам величины названы по именам предложивших их исследователей числами Струхаля, Эйлера, Фруда и Рейнольдса соответственно.
Уравнения (7.26) — (7.29) показывают, что для подобия двух или большего количества гидродинамических процессов должны быть, прежде всего, одинаковыми (Ыепт) одноименные коэффициенты, т.е. ЯЬ = Ыеш, Еи = Ыеш, Рг = Ыеш, Ке = Ыепт. Необходимо также обеспечить подобие граничных и начальных условий, от которых зависят решения уравнений. Перечисленные требования означают, что при моделировании процессов должны выполняться условия геометрического, кинематического и динамического подобия. При установившемся движении несжимаемой жидкой среды локальные ускорения обращаются в нули и тем самым исключается число ЯЬ. Если движение жидкой среды происходит при больших давлениях число, Гг может быть не определяющим для подобия процессов вследствие пренебрежимо малого значения массовой силы по сравнению с силами давления. В других случаях для соблюдения подобия сравниваемых процессов приходится учитывать дополнительные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
