Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Характер изменения скоростей по длине пластины представлен на рис. 6.25. Соответственно изменяется и коэффициент давления. Рассмотрим обтекание еще одного бесконечно тонкого профиля — дужки окружности (рис. 6.26). В плоскости течения 2 = т + ~у имеется дужка окружности, обтекаемая плоскопараллельным потоком со скоростью на бесконечности и(~) ~я=ос — — ~ цоо ~Е1~, ПРИМЕНИВ фуНКцИЮ ЖУКОВСКОГО Рис. 6.26. Дужка окружности Точка ~1 = оо отображается в точку ~ = ос, а скорости на Ы1 бесконечности )и', е ~~ = ~и ~е ~~ — = )и )е ~(~+ ). Н~ ~ г=~е ~ +1Ь+ — 'Л ~1 ~е зЛ+~Ь' (6.68) Нетрудно убедиться, что точки ~'1, = — Я — Ь) и ~1 О = = ЯЛ+ Ь) отображаются в точки ~с = ~р = 2~Ь и что ~е = — 2Я1, ~д = 2В1.
Поэтому длина хорды 1 =4В1 160 Следовательно, модули скорости в обеих плоскостях равны: ~и' ~ = ~иоо~, а угол,и = а + А. Подставляя (6.67) в (6.66), по- лучаем функцию, отображающую внешность дужки на внеш- ность круга и относительная изогнутость дужки 2Ь 1 У= — = — ФКЛ С 2 (6.69) Разложим функцию (6.68) в ряд Вге7Л ю=е ~+16+ +.. и сравним его с рядом (6.34): с1=те7~~=е 7, т=1, ао= — Л; с0 =ЗЬ; с 1=А1е~ Комплексная координата фокуса дужки по формуле (6.49) ~~с " ~1,Л 27Л 2 2 ~у = 76 — = В 7' — — — е7 =.й 7'ипЛ вЂ” соя Л(сояЛ+ Р„д яг ] +7 Б1п Л) = ( — соя Л+ 7 яд Л) и поэтому 4 соя Л г 1 г ху — — соя Л, уг = — яп ЛСцЛ.
4 ' 4 (6.71) 161 Видим, что циркуляция вокруг дужки будет равна нулю, если набегающий поток направить под углом а0 = — Л. Направление бесциркуляционного обтекания и гидродинамический угол атаки р = а + Л показаны на рис. 6.26. При угле атаки а = ао = — Л подъемная сила равна нулю, при а ) — Л она направлена вверх (см. рис. 6.26), а при а < — Л вЂ” вниз. Учитывая, что Я = В1/ соя Л, по уравнениям (6.44), (6.46) и (6.47) находим модуль подъемной силы, коэффициент пропорциональности и коэффициент подъемной силы ~г Г) = ) з1п(а+ Л)), сов Л й„= (6.70) соя Л 27г Ся — — ~ ып(а+ Л)1. соя Л Рис.
6.27. Гладкое обтекание дужки (а) и эквивалентная пластина (б) Коэффициент момента сил давления относительно фокуса по уравнению (6.53) .Же~ ~г г Л л 2 ~Л См~ = — 4т Ве . = — — Ае(~е ~ ) = — 61пЛ. (6.72) 16В2 е ~Л 4 4 Распределение скоростей и давлений на дужке можно рассчитать, используя формулы (6.54) и (6.56). Входная кромка дужки, как и пластины, в общем случае обтекается с бесконечно большой скоростью. Однако если набегающий поток направить вдоль геометрической хорды дужки ЕВ, то картина обтекания станет симметричной относительно оси ж (рис. 6.27, а). Точка разветвления расположится на передней кромке, скорость в этой точке будет равна конечной скорости в точке схода потока.
Такое обтекание называют гладким. При таком обтекании тонкого профиля пик разряжения на входной кромке минимальный, что уменьшает начальную кавитацию профиля. Рассмотрим полученные результаты и сравним гидродинамические характеристики дужки и пластины. При прочих равных условиях подъемная сила и ее коэффициент увеличиваются с увеличением угла атаки и относительной изогнутости 162 дужки. На практике применяют слабо изогнутые дужки, так что соя Л - 1. Коэффициент подъемной силы дужки увеличивается по сравнению с таковым для пластины, в основном, за счет увеличения аэродинамического угла атаки. Фокус профиля располагается вблизи хорды дужки. В соответствии с (6.72) коэффициент момента относительно фокуса не зависит от угла атаки и определяется лишь относительной изогнутостью дужки.
Расположим по направлению бесциркуляционного обтекания дужки пластину длиной Х, как показано на рис. 6.27, б, Согласно формуле (6.70), подъемная сила дужки ~ Рд ~ 2 = ~гр~и~~2 яп(а+ Л). В соответствии с формулой (6.60) соя Л подъемная сила пластины, обтекаемой с углом атаки а+Л„равна ~Г„~ = ~гр~и~ ~~ А яп(а+Л). Независимо от угла атаки эти силы равны, если А = 1/соя Л. Пластина, на которую действует подъемная сила, равная подъемной силе другого профиля при любом направлении набегающего потока, называется эквивалентной пластиной (см. рис. 6.27, б).
Решетку эквивалентных пластин можно использовать для приближенных расчетов решеток рабочего колеса и направляющего аппарата осевой гидромашины. Профили 2Куковского. В общем случае плавное обтекание бесконечно тонких профилей невозможно. Передняя кромка, которая не является точкой разветвления потока, обтекается с бесконечно большой скоростью. В связи с этим исследуем обтекание телесных профилей Жуковского, входная кромка которых обтекается с конечной скоростью. Как показано выше, функция Жуковского (6.66) отображает внешность круга С1 радиусом л', в плоскости ~1 = ~1+ 1п1 на внешность дужки 11 в плоскости г = х + 7'у (рис, 6.28).
Центр круга смещен относительно начала координат и находится в точке ~1 = ~Ь, окружность проходит через точку В. Поместим теперь центр окружности в точку О и проведем окружность С радиусом В + е через ту же точку В. Так как окружность С целиком охватывает окружность С1, то функция (6.66) отображает внешность окружности С на внешность контура Х, охватывающего дужку Х1. В точке В верхняя и 163 Рис. 6.28. Изогнутый профиль ЭКуковского нижняя части контура касаются дужки, образуя острие с нулевым внутренним углом.
Полученный таким образом контур называют изогнутым профилем Жуковского. Параметр е характеризует толщину профиля, а параметр Ь вЂ” изогнутость. Если далее отобразить окружность С на плоскость ~ = ~ + 1Ь так, чтобы точка В схода потока находилась на действительной оси, то задача обтекания профиля однородным потенциальным потоком со скоростью на бесконечности и(~) = ~и ~е~~ сведется к уже изученному циркуляционному обтеканию цилиндра радиусом й + е. Найдем функцию, отображающую плоскость ~1 на ~.
Для этого перенесем начало координат из точки О1 в точку О с помощью функции ~' = ~1 — д и повернем оси координат на угол а по ходу часовой стрелки, применив функцию ~ = ~~е ~~. Так как в плоскости ~1 комплексное число д = ~Ь + ее~(~ о) = ~Ь вЂ” ее ~о, то после подстановок и 164 небольших преобразований получим 1,1=е ~ 1,+,7Ь вЂ” ее (6.73) а функция, отображающая плоскость течения, примет вид д2 ю=е ~ ),+уЬ вЂ” ке ~ + .. (6.74) е з"~+ уЬ яе з'~ Установим связь между полярными координатами точки ), = р„е) на, окружности и декартовыми координатами соответствующей точки ю = х + уу на профиле.
В соответствии с уравнением (6.66) д2 д2 Я2 х+ уу = р„е~ ~+ . = 1+ — р„соя у+ у' 1 — р„яп у. Р„е~~ Р2 К Отсюда д2 д2 х = 1+ р„сов у, у = 1 — — р„яп у. (6.75) Рп Рп При заданных В1, Ь и я радиус р„= р„(у). Выбирая параметр в пределах 0 < у < 2т, можно рассчитать этот радиус и по точкам построить профиль. Длина хорды профиля (1 + — )2 1+ 2Т (6.76) Относительная изогнутость профиля определяется формулой (6.69). 165 Воспользуемся уравнениями (6.75) и определим длину хорды профиля 1 = х 22 — х ~. Точка В имеет полярные координаты уг2 = О, рз) = В1. Следовательно, х)2 = 2.п,1, уд) = 0.
Точка Е имеет координаты уЕ = т, РЕ = (и, + я) сова + ясона = 11 У 2е/Л)Лэ. Поэтому ее = — Лэ(1 т 2е))1 т Л1Д1 1- т2е)ЭЛЭ~~ = — 2Лэ11 т 2е -у 2еЭЯ11- 2е)э ув = О, тве введено обозначение я/В = Г. и сравнивая ее с рядом (6.34), получаем т=1, со= — Л; сО = ~Ь вЂ” ее с 1=В~е~ 2 'Л (6.77) Следовательно, циркуляция и подъемная сила будут равны нулю, если набегающий поток направить под углом с~о = — Л. В последующих расчетах нужно иметь в виду, что в уравнения (6.38) и (6.46) входит радиус круга во вспомогательной плоскости ~, который в нашем случае равен В + е. По уравнениям (6.46) и (6.47) находим 2т 1+ 2Г жьЛ 1+Г' 2т 1+ 2Г С~ — — ! йп(а + Л)!.
соя Л 1+Г Преобразуем выражения для второго коэффициента в уравнениях (6.77). Опуская промежуточные выкладки, находим со = ~й — се ~" = е соя Л + ~(й+ е ып Л) = ~ — Гсая Л + ~(1+ +Г) яп Л~В~/ соя Л и затем по формуле (6.49) получим комплексную координату фокуса 1 В1 В~е~ соя Л лу = ~ — ~ ~о~гА .1- 1(1 .1- ~) Б~~ А~ сов Л 1+Г 1+ 2Г / соя2 Л 4(1+Г)2 ( 1+Г япЛсозЛ (1+ Г)1$Л— 1+Г и его декартовы координаты 1+2Г Г ж~ = — — ~(1+ Г)Г+ соя Л1, 4 (1+ Г)з ~ 1+2Г ~ Р1= — ~(1-1Г) — сон А~1~А. 4 (1+ Г)З (6.79) 166 Представляя отображающую функцию (6.74) в виде ряда Лорана В2езЛ ~=е ~ ~+~6 — ее ~ + +...
К2 Вг 1 — — 1 соя27 + 7' — 1 ип27 Рк 2 Рк 2 Вг 1 —— 1 ~2 Кг 1 — — е Р2 Следовательно, отношение модуля скорости на профиле к модулю скорости набегающего потока составит 0 1 0~ 4 в1п — сов~а+ Л вЂ” — ) и 2 (6.81) Распределение давлений на профиле определяется формулой (6.56). При заданных В1, й и е существуют однозначные зависимости 0 = 0(7) и р„= р„(7) (см.
рис. 6.28). Задавая параметр О < Л < 2т, можно исключить из уравнений (6.75) и (6.81) промежуточные переменные 0 и Р„и рассчитать координаты контура профиля, распределение скоростей и давлений на верхней и нижней сторонах профиля. Лужка А1 служит «скелетом» телесного профиля Х. Сопоставив соответствующие формулы, сравним их гидродинамические характеристики. Гидродинамические хорды дужки и профиля с той же относительной изогнутостью совпадают. Коэффициент подъемной силы для профиля больше, чем для 167 Замечая, что Ве = Ке(К~~~'е~~ ) = К1Ке(~е~~~) ус 1 с1 г = В1Ве( — 81п2Л+ 1'соя2Л) = — В1з1п2Л и что длина хорды г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
