Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Безразмерный коэффициент давления имеет вид С~ —— — — 1 — (и(~/)и~ = 1 — 4 яп~ В. г/2 А2 2Г и = ~и~~ з+ — — 1пю, 2к а сопряженную комплексную скорость найдем как дю В2 ~Г й= = ~ио~~ 1 —— сЬ ~2 2т~ (6.26) (6.27) 134 В точках разветвления потока коэффициент давления С = 1 Р максимальный, и давление повышается до р = р~ + р~и~о~ /2. В точках С и Л коэффициент давления достигает минимума С~ — — — 3. График коэффициента давления также приведен на рис. 6.11. На большей части поверхности цилиндра (ЗОО <,д < 150 ) давление меньше, чем в невозмущенном потоке.
Так как график давлений симметричен относительно обеих осей Ох и Оу, то результирующая сила равна нулю. Другими словами, цилиндр не оказывает сопротивления набегающему на него однородному на бесконечности потоку. Этот результат, называемый парадоксом даламбера, противоречит данным опыта и является частным случаем общего свойства безотрывного обтекания тел установившимся безграничным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Циркуляционное обтекание круглого цилиндра. Наложим на, бесциркуляционное течение вблизи круглого цилиндра циркуляционный поток вокруг вихря, поместив его в центр цилиндра (рис.6.12). Пусть циркуляционное движение направлено против хода часовой стрелки. В соответствии с уравнениями (6.24) и (6.16) комплексный потенциал суммарного течения запишем в виде Рис. 6.12.
Три типа циркуляциониого обтекания круглого цилиндра Положение критических точек, в которых и = О, определяется уравнением 135 или уравнением я — Л =О. 2т1ис 1 Корни этого уравнения ~Г ~А,В = 4т1и~о1 В зависимости от соотношения между циркуляцией и скоростью возможны разные положения критических точек, характеризующих три типа обтекания круглого цилиндра (см. рис.
6.12). Г а. < В. В последнем уравнении величи- 4т и„1 на под знаком радикала положительна. Первый корень + ~'Г/4~т1и,„,1, второй ~в + у Г/4т1и~1. Модули 1~А1 = ~В1 = В. Обе критические точки имеют одинаковую ординату, абсциссы отличаются только знаком; они расположены на цилиндре. Г б. = В. Координаты критических точек лА = 4я1и О1 = ~в = .~Г/4я1и О1 = ~'Л. Имеется одна критическая точка, расположенная на цилиндре на мнимой оси. Г в.
> В. В этом случае величина под знаком ра- 4т1и,„,1 дикала отрицательна и можно записать: ~ = ЯГ/4т1и,~1 ~ (Г/4~г1и~1)2 — В2). Модули ординат критических точек равны 1юА1 = Г/4т1и~1 + 1 и 1~в1 Г/4я1и~1 — (Г/4т1и~1) 2 — В21, а их произведение 1~ ~112в = В . Так как 1~А > Л, то 1~в1 = В /1~А1 ( Л. Поток имеет две критические точки на мнимой оси, одна из которых расположена вне цилиндра, другая — внутри. Между линией тока, проходящей через точку А и цилиндром появляются замкнутые линии тока. В этом движении частицы жидкости будут описывать овальные траектории вокруг цилиндра. 136 При бесциркуляционном обтекании цилиндра поток был У симметричным относительно ае обеих осей Ою и Оу. В случае .Р о ш, циркуляционного обтекания со- — э- х храняется симметрия относительно оси Оу, но она нарушается относительно оси Ож.
Гу Под цилиндром скорости бесциркуляционного потока скла- Рнс. 6.13. Главный вектор дывают со скоростями чисто снл Равлення потока на цн- лнндр циркуляционного потока, а над цилиндром их вычитают. Согласно уравнению Бернулли, давления под цилиндром будут меньше, чем над ним. Главный вектор сил давления будет направлен вниз перпендикулярно вектору скорости и, (см.
рис. 6.12). Если циркуляционное движение направлено по ходу часовой стрелки, то главный вектор сил давления будет направлен вверх. Из рис. 6.13 ясно, что проекции элементарной силы, приходящейся на единицу длины цилиндра, равны йГ = — (рВйВ) сои 9 и йК = — (рВЩ яп О. Поэтому Г, = — В рсоьдсИ, Г„= — В рыпИО, На окружности ю = Ве~~ в соответствии с (6.27) сопряженная скорость й = ~и„,~(1 — е ~ ) — е = и ~е (е 2 в 2Г ~в -~в ~в 2т — е ~ ) — — е ~ = ~'е ~ ~2~ио~~япд — — (, а модуль ско— в ~~ -~в -~в ~ 2гВ ~, 2тВ)' рости Г )и) =(2/и ) ь!п — — (. Согласно (6.25), давление в той же точке окружности р = р(и,) ( Г = С вЂ” р~й(~/2 = С вЂ” 2япд— Подстав- 2 ~, 2тВ(иоо( ляя давление в выражения для проекций сил и интегрируя, получаем 137 2 2у 2 Г~ = В 2в1пд — сов ИВ = О, р(и ) .
Г 2тВ~и О 2т 2 ремис~~ . Г 2 2 з1п 0 — яп Ид = — р~и ~Г. 2яВ~и Как и в случае бесциркуляционного обтекания, сила сопротивления равна нулю. Однако при циркуляционном обтекании возникает направленная вниз сила, равная произведению плотности жидкости, скорости набегающего потока и циркуляции. Чтобы найти направление этой силы, нужно перенести вектор скорости набегающего потока в центр цилиндра и повернуть его на 90О в сторону, противоположную направлению циркуляционного движения.
Этот результат является частным случаем формулы Жуковского, применимой к безотрывно обтекаемому профилю любой формы. При вращении цилиндрических тел в вязкой жидкости возникает аналогичное циркуляционное движение. Появление поперечной силы, действующей на вращающиеся в набегающем потоке тела, называют эффектом Магнуса, который позволяет объяснить наблюдаемые при этом интересные явления: аэродинамический момент на вращающемся артиллерийском снаряде, специфические траектории полета «закрученных» футбольных и теннисных мячей, движение кавитационных вихревых жгутов в рабочем колесе гидромашин и др. 6.4.
Метод конформных отображений Лля решения задач обтекания крыловых профилей, истечения из отверстий и насадков, задач кавитационного обтекания тел и других широко применяют метод конформных отображений, сущность которого состоит в следующем. Какую-либо функцию комплексного переменного можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей: 138 Рис. 6.14. Конформное отображение ~ = ~(л) = ~+ ~т~. Каждому значению л = ж + ~у отвечает одно или несколько значений ~ и и, которые рассматривают как координаты некоторой точки на плоскости (рис.
6.14). При этом функция ~(~) устанавливает соответствие точек на двух плоскостях или, иначе, дает отображение точек одной плоскости на другую. Если функция аналитическая, а ее производная й~/Ию ф О, то отображение является конформным. Углы между отображением линий на плоскостях ~ и ~ сохраняются постоянными по величине и направлению отсчета, а малая геометрическая фигура одной плоскости отображается в виде подобной на другой плоскости. Имея в плоскости ~ квадратичную сетку линий, изображающую некоторое течение, можно перенести ее в плоскость л с помощью аналитической отображающей функции я = ~(~), как показано на рис.
6.14. В новой плоскости получим также квадратичную сетку линий, изображающую новое течение. При переносе потока из одной плоскости в другую для соответствующих (отображенных) линий сохраняются численные значения потенциальной функции <р и функции тока ф. Если взять отрезок произвольной линии АВ 139 на одной плоскости и его отображение на другой, то на основании соотношений (6.6) и (6.10) расход и циркуляция на этом отрезке сохраняют свои значения.
Неизвестный комплексный потенциал в плоскости ~ можно получить, если в выражение известного комплексного потенциала в плоскости ~ подставить обратную функцию ~ = Я~): ы(х) = юК(х)] = р(х, у) + д'Кх, у) Приведем пример нахождения плоского потенциального течения с помощью конформного отображения, которое понадобится при изучении обтеканий крыловых профилей.
В рассмотренном ранее обтекании цилиндра с относительной циркуляцией Г/4т~и, ~ < Я повернем оси координат плоскости ~ = х + ~д на угол р по ходу часовой стрелки до совпадения их с осями координат плоскости ~ = ~+ ~ц. Обе плоскости совмещены на одном рис. 6.15 и введено новое обозначение и', для комплексной скорости на бесконечности.
Это конформное отображение осуществляется функцией ~ = ~е ~". Подставляя отображающую функцию в уравнение (6.26) и имея в виду, что в выражении 1п ~ = 1п ~ — ~р постоянную ~р можно опустить, получаем комплексный потенциал течения в новой плоскости ~г ш(~) = ~и ~ ~е ~~'+ . — — 1п~. ~е ~д 2к Рис.
6.15. Циркуллционное обтекание цилиндра с точкой схода потока на действительной оси 140 В это уравнение входит циркуляция Г. Найдем ее из условия расположения критической точки В с нулевой скоростью на действительной оси ~ = л',. Комплексная сопряженная ско- рость ди , Вг ~Г й(~) = — = ~и, е ~" + ~ге ~~ 2т~ Г в точке В равна нулю, поэтому ~и' ~(е ~~ — е~~) — — = О. ОО 2тЯ Так как е ~" — е~" = 21' а1п р, то Г = — 4хВ~и', ~ ып р, (6.28) а комплексный потенциал при обтекании цилиндра, в котором точка схода потока находится на действительной оси, равен ы(Д = ~и', ~ ~е ~" + . + 2~Вяпр1п~ ~е Комплексная сопряженная скорость йы, Кгег~~ 2~Яе~" яп и й©= — =~и ~е ~" 1 — + ~2 (6.29) Подставляя 2~ в1п р = е~" — е ~", получаем Д(его 1) Дгегл ~г й(~) = ~и ~е (6.30) 6.5. Обтекание крылового профиля 141 Крыловым профилем называют замкнутый геометрический контур с закругленной передней кромкой 1 и заостренной задней кромкой ~, как показано на рис,6.16.
Форма профиля может задаваться координатами его верхней 2 и нижней 5 сторон. Средняя линия Ю профиля расположена на одинаковых расстояниях вдоль оси у от верхней и нижней сторон профиля. Отрезок прямой, соединяющей некоторую точку передней кромки с вершиной угла, на задней кромке, называют хордой крылового профиля. Относительную изогнутость (кривизну) профиля характеризует величина. ~ = ~„, /1, а относи- Рис. 6.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
