Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Такая система уравнений при р~г = О, р = сопй была выведена М. Навье (1821 г,) и Г. Стоксом (1845 г.). В дальнейшем ее назвали уравнениями Хавье — Стокса. 4.4. Закон сохранения момента количества движения Согласно данному закону, производная по времени от полного момента количества движения механической системы равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему. В случае движения жидкой среды элемент ЫЪ' объема Ъ', ограниченного поверхностью Я, имеет массу т = ри'1', количество движения которой рпдг'. Момент количества движения массы 0т относительно начала координат составляет (г х рп)й~'.
Полный момент количества движения для объема Ъ' определяют в виде Ь~ = (г х рп)Н~. (4.34) — (г х рп)Н' = (г х рР„,)ЙЪ'+ (г х р„)д5. (4.35) 92 Внешними силами, приложенными к элементу выделенного объема, в соответствии с уравнением (4.22), является массовая сила рР„,ИЪ' и поверхностная сила р„ИЯ. С учетом действия этих сил и формулы (4,34) производную по времени от полного момента количества движения массы жидкой среды в объеме 1' можно представить в виде С помощью формулы (4.10) после подстановки А = г х ри левую часть уравнения (4.35) можно преобразовать следующим образом: — (гх ри)ШГ = I ( — (г х ри) р (гх ри)йги1)и|Г.
(4.36) Ъ' Подынтегральное выражение в правой части ( . ) (4.36) можно представить в виде — (г х ри) + (г х ои)бац = И Й ~~г = — х рн+ г х р — + г х н — + (г х рп)йчн = ЙЯ О',Р й Й й = г х р — + (г х н) — + рйчи . (4.37) сй ф й Й В отсутствие источников (стоков) второе слагаемое правои части (4.37) обращается в нуль, При этом уравнение (4.36) при- нимает вид — (г х рн)<Л~ = г х ~ — <~~' (4.38) С оотношение (4.38) позволяет уравнение (4.35) записать так: $' г х р — сЛ' = (г х рР )ЙЪ'+ (г х р„)йЯ.
(439) " й/ 5 После подстановки в последний интеграл уравн ( . ) ения (4.39) значения р„, согласно формуле (4.28), он преобразуется из интеграла по поверхности в интеграл по объему путем следующих операций: | (г х р„)ИЯ = 5 [(сир,) сов(п,в)+(гири) сов(п, у)В-(гхР,) сов(п, в)1Ы = Я д д д — (г х р,.) + — (г х р ) + — (г х р,) дх ду " дю + (1х р +З х ру+ 1с х р,)ЫК (4.40) С учетом (4А0) преобразования интеграла по поверхности в интеграл по объему уравнение (4.39) приводится к виду (1 х р, +3 х ру + 1с х р,,)ИК (4.41) Левая часть уравнения (4.41) в соответствии с законом сохра- нения количества движения обращается в нуль, а поскольку объем Ъ' является произвольным, подынтегральное выражение правой части (4.41) должно удовлетворять уравнению 1хр +1хр„+1схр,=О, что равносильно уравнению (Р у — Ру*)1с+ (Р * — Р )3+ (Ру — Р у)1= 0 (4.42) Согласно уравнению (4.42), Рху = Рух Р~х = Рт~> Руя = Р~у~ или '1~у = 7у~, 'Г~~ = 'Т~д, 'Гу~ — 'Г~у.
(4.43) 94 Равенства (4.43) выражают теорему о взаимности напряжений. В соответствии с этой теоремой проекции напряжений, приложенных к каждой из двух взаимно перпендикулярных в некоторой точке площадок, на перпендикулярную противопо- ложной площадке ось равны между собой. Рассмотренное свой- ство касательных напряжений отмечалось в ~ 4,3.
4.5. Закон сохранения энергии. Ъ'равнение притока тепла для'жидких сред (4,44) где У вЂ” приходящееся на единицу массы среды количество ее внутренней энергии. Кинетическая энергия среды, частицы которой имеют скорость и, равна Е„= / — сй'. 7 ри ,/ 2 (4.45) Работа внешних сил за время Ж равна сумме работы массовых сил НА =[ р(Р,„и)и$' й (4.46) и работы сил, приложенных к ограничивающей объем Ъ' по- верхности з: (р„ п)дз (4.47) Дополнительный приток энергии к среде за время Й определяется соотношением (4.48) 95 Закон сохранения энергии устанавливает связь между полной энергией жидкой среды с работой внешних сил и дополнительным притоком энергии извне. Полная энергия среды в движущемся объеме Ъ' состоит из внутренней и кинетической энергии среды в этом объеме. Внутиренняя энереия определяется соотношением 0(Е~„+ Е„) = ЫА~ + НА~+ Щ,. (4.49) После подстановки величин, определяемых соотношениями (4,44) — (4.48) и деления на Й, уравнение (4.49) принимает вид рР~ иБ'+ р„.
Ы5'+ рот ИК (4.50) Левая часть уравнения (4.50) в отсутствие источников и стоков преобразуется следующим образом: — р ~+ — ~1:= р — ~+ —" ~1+ ~l + У + — — (рйЪ') = р — У + Н~, (4,51) Заменяя с помощью формулы Гаусса — Остроградского интеграл по поверхности на интеграл по объему и используя результат преобразования (4.51), уравнение (4.50) можно привести к виду — ~) + — ~Л' = рР иН'+ д д д (р .,1)+ (р .и)+ — (р, и) Ы1'+/ РВА~' (452) ду ' ду +/[ Уравнение (4.52) выражает в интегральной форме закон сохранения энергии.
Оно справедливо при произвольном объ- 96 где От — приходящееся на единицу массы среды количество энергии, подводимой в единицу времени к какой-либо точке внутри объема Ъ'. Чаще всего соотношение (4.48) характеризует приток (или отвод) теплоты. Согласно закону сохранения энергии, еме Ъ', что позволяет перейти к дифференциальному уравне- нию р — У+— д д д = рР,„п+ — (рх ' и) + — (р и) + — (р и) + рот (4-53) дх ' ду У д~ Аналогичную форму имеет уравнение, описывающее только изменение кинетической энергии среды в выделенном объеме: 4®= д д д = рР и п + — (р и) + — (р~ а) + — (р~ и) + рд,, (4.54) д~ ду де где О, — приходящееся на единицу массы количество энергии, которая затрачивается в единицу времени на работу внутренних сил. Вычитая из уравнения (4.53) уравнение (4.54), получают уравнение притока тепла Н1 — Чт Чг ° й (4.55) Переменные Г, дт и о, связаны с переменными, которые входят в уравнение гидродинамики и уравнение неразрывности.
Устанавливающие эти связи закономерности зависят от принятой физической модели жидкой среды. 4.6. Диссипация механической энергии при движении вязкой жидкой среды Диссипация (рассеивание) механической энергии жидкой среды происходит за счет превращения работы внутренних сил (трения) в тепловую энергию, передаваемую во внешнее пространство путем теплопроводности и лучеиспускания. В случае баланса между выделяющейся теплотой и теплоотдачей в окружающую среду температура жидкой среды сохраняется постоянной.
Если этот баланс нарушается, то температура жидкой среды может возрастать, что, например, наблюдается 4 — 5733 при недостаточном охлаждении рабочей жидкости в подшипниках и других гидравлических устройствах. При движении вязкой несжимаемой жидкости, приходящаяся на единицу объема мощность Л~ „„вызванная диссипацией механической энергии, определяется исходя из того, что эта мощность равна по модулю и противоположна по знаку отнесенной к единице объема мощности Х; внутренних сил. Мощность Р, с помощью величины д,, примененной в уравнении (4.54), можно представить соотношением (4.56) ~з = РЧа.
Чтобы найти зависимость Я; от гидродинамических величин, умножают уравнение (4.31) скалярно на вектор ц и полученное после этого уравнение записывают в виде о',и др дря др, р — и = РР,„ц+ и — *+ — ~+ ' . (4.57) В дх ду де Почленное вычитание уравнений (4,54), (4.57) с учетом (4.56) и тождества дает следующий результат: Л вЂ” рх+ Фу+ р д д д — — (р,, п) — — (р и) — — (р, и).
(458) дх * ду " д~ — + — + — + Л'дис = 2Р 1 ди дия 1 ди~ ди, 1 ди, ди~ (4.59) 98 Выполняя вычисления в правой части (4.58) с использованием известных для ньютовских жидкостей зависимостей напряжений от скоростей деформаций, находим Хд„, —— — Л~, в виде Мощность (Л „,)~ при диссипации энергии в конечном объеме $' жидкости равна (адис)~' = '1дис~~ ° (4.60) Вопросы для самопроверки 1. В чем состоит особенность применения фундаментальных законов механики материальных точек в механике жидких сред? 2. Приведите описание законов сохранения количества движения и массы жидкой среды в интегральной форме и в виде дифференциальных уравнений. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
