Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Если Ыг— бесконечно малый элемент линии тока с проекциями ах, Ыу, Ы~, то вследствие коллинеарности аг и п одноименные проекции этих векторов связаны уравнениями ах Иу ~Ь их ир и~ Рис. 3.2. Трубка тока Рис. 3.1. Линия тока Обозначив общее значение соотношений (3.14) через Ыв и считая время 1 параметром, получают следующую систему дифференциальных уравнений: Нх Иу Нх — =и, — =и — =и. Ыв ' дз Нл Х~ = Д~ (3.15) При известных функциях и = и~(х,у,ю,1), иу = и„(х, у, ~, 1), и, = и,(х, у, ю, 1) и фиксированном времени 1 уравнение линии, проходящей через точку хО, уО, гО, находят путем решения системы дифференциальных уравнений (3.15) с начальными условиями х(~О) = хО~ У(зО) = УО: 4~0) — ~0 Лля фиксированного момента времени в жидкой среде можно выбрать замкнутый контур А, через каждую точку которого проходит своя линия тока (рис.
3.2). Совокупность всех таких линий тока образует поверхность тока, которой выделяется часть жидкой среды, называемая трубкой тока. Если и является единичным вектором нормали к поверхности тока, то н п=О;тогда Е(х,у,~,~) = О, направляющие косинусы нормали можно считать пропорцио- дЕ дЕ дЕ нальными —, —, —, так как вектор и параллелен цгада. дх' ду' д~' 67 и~ соя(зъ,х) + иу соя(п,у) + и~ соя(тъ, х) = О, (3.16) где соя(п,х), соя(и, у), соя(и,~) — направляющие косинусы нормали, Записав уравнение рассматриваемой поверхности в виде При этом, согласно уравнению (3.16), дЕ дЕ дЕ и~ — + ия — + и,— = О.
*дх "ду 'д~ Данное уравнение в частных производных первого порядка служит для определения вида функции Е(х,у,ю) при фиксированном ~. Характеристики данного уравнения удовлетворяют уравнениям (3.14), следовательно, представляют собой линии тока. При отличающейся от нуля хотя бы одной из проекций скорости в какой-либо точке на основании теоремы существования и единственности решения уравнений (3.14) через точку проходит только одна линия тока.
В случае равенства нулю всех трех проекций, точка будет особой для уравнений (3.14) и через нее может проходить бесконечно много линий тока. Для выяснения взаимосвязи между траекториями жидких частиц и линиями тока необходимо рассмотреть два возможных вида движения жидкой среды: установившееся (стационарное) и неустановившееся (нестационарное). Установившимся (или стпационарным) называют движение жидкой среды, при которой в каждой фиксированной точке пространства, принадлежащей области движения, все гидро- динамические величины не зависят от времени, что в переменных Эйлера означает равенство нулю местной (локальной) дА 'производной в формуле (3.11), т.е.
— = О. д1 В частности, при установившемся движении вектор скодп рости не зависит от времени и локальное ускорение — = О. д1 Неустпановившимся, или нестационарным, называется движение жидкой среды, при котором во всем пространстве, занятом жидкой средой (или в некоторой его части) гидродинамические величины изменяются во времени. В этом случае дА локальная производная — не равна нулю.
При неустановивд1 шемся движении жидкой среды вектор скорости зависит от ди времени, в связи с чем — ф О. д1 Щ = иЬ5'„, где и — модуль вектора п. В общем случае при наклонной к линиям тока площадке Ь5 ЬЯ = цЬ5'соя(ц, и) = и„ЛЯ, где и„ вЂ” проекция вектора ц на нормаль и к наклонной площадке. Лля конечных размеров площадки 5 количество протека.— ющей сквозь нее в единицу времени жидкости составит и„д5. 5 Вычисляемую с помощью формулы (3.17) величину называют обьельныл~ расходоль жидкостпи. Массу жидкости, протекающей в единицу времени через то же сечение, определяют в виде С = ри„Ы5 (3.18) 5 и называют массовым расходом.
69 При установившемся движении жидкой среды время 1 явно не входит в правые части уравнений для траекторий и линий тока. Обе системы уравнений оказываются одинаковыми и поскольку для них решается одна и та же задача Коши, то при установившемся движении жидкой среды траектории и линии тока совпадают. В общем случае при неустановившемся движении жидкой среды траектории и линии тока не совпадают, так как правые части определяющих их дифференциальных уравнений при наличии переменной 1 могут различаться. При установившемся движении жидкой среды линии тока определяются вектором скорости ц(х, у, х), который можно принять за скорость некоторого потока несжимаемой жидкости.
Сквозь выделенную в таком потоке малую площадку в единицу времени протекает количество жидкости, зависящее от ориентации площадки относительно линий тока. Если площадка Л5„ перпендикулярна линиям тока, то это количество жидкости равно 3.3. Три составляющих движения жидкой частицы Особенности движения жидкой среды можно выяснить на примере отдельной ее частицы, В системе координат Охуг положение некоторой точки А этой частицы задано радиус- вектором го (рис. 3.3).
Пусть точка А является полюсом. То- гда положение другой точки В той же частицы относитель- но точки А определяет радиус-вектор р, проекциями которого являются г, о, /',. За время й жидкая частица переместится, поэтому точки А и В займут новые положения А' и В'. Измене- ние положения точки В относительно точки А характеризует вектор //р = р' — р = (г' — го) — (г — го) = (г' — г) — (го — го), (3.19) где го, г, го, г — радиус-векторы, показанные на рис.
3.3. / / Перемещения точек А и В находим из соотношений, в ко- торых иА — скорость точки А, и// — скорость точки В: / го — го = пя01, г — г = и~/й. (3.20) (3.21) Входящие в формулы (3.20) и (3.21) скорости иА и цд являются функциями радиус-вектора го и радиус-вектора г соответственно. Заменив эти радиус-векторы их проекциями, можно записать иА = и(х,у,х), ид = и(х + у; у + и; ю + ~). (3.22) (3,23) Рис. З.З.
Изменение положений двух точек жидкой частицы при ее переме/пении 70 В случае малого объема жидкой частицы, расклапывая функцию (3.23) в ряд Тейлора в окрестности точки А(х, у,~) с точностью до величин второго порядка, малости и используя формулы (3.19) (3.22), получаем ди дп ди Ир= — з + — и+ — ~ й. дх ду дю (3.24) Проекции вектора (3.24) имееют вид ди~ ди~ ди ~х= — х+ — + — ~ ~~ дх ду д~ ди„ди~ дик й, = х+ „+ — ~),й, дх д~ д~ ди, ди, ди~ 4 = — 'х+ — '~+ '( (3.27) дх ду дю Преобразуем сначала формулу (3.25) следующим образом: (3.26) + 1 д~~ ди~ + 1 ди и ~ И.
(3.28) Для выполнения дальнейших операций воспользуемся вектором Й = го1и = 2ы, равным удвоенной угловой скорости, с которой затвердевшая жидкая частица вращалась бы вокруг оси, проходящей через полюс. Проекции вихря скорости определяются соотношениями (3.29) (з.зо) (3.31) Кроме того, введем обозначения ди, 1 /дих ди~ ~ = — ~ — + — ) ~д д )' дх 2~ р х) 71 дц. ~х— дд ди й У— Й~ =— дх ди„ вЂ” — = 2~у, дю ди~ — — = 2~, дх ди, — — = 2м,.
дд 1 (ди, ди~~ ~хх — ~лх — ~ + 2 ~, дх д~ ~ и с учетом соотношений (3.30), (3.31) формулу (3.28) предста- вим в виде 1 ~ххХ + ~ту~ + ~тл~+ Фу~ ~~~~) 2 (3.32) Применяя обозначения диу ди, 1 (диу ди, ~уу — ) его — ~ ~уз — ~яу — + ду' д~' 2~д~ ду н учитывая соотношения (3.29) — (3.31), аналогично преобразуем формулы (3.26) и (3.27): с 1 ~ухХ + ~уу~ + ~ул~+ ДзХ 1~х~) сЫ, (3.33) 1 сюхХ + Ягу~ + ~юг~ + Ях~> ~ ~уХ) ~7~ (3.34) 2 Следуя методике С.В. Валландера (лекции по гидроаэромеханике ЛГУ), применяем квадратичную форму + куузе + е~,~ + 2с,уХ~+ 2су,и~+ 2к„~Х . (3.35) 2 2 2 з з Р = — ~ ~ С~сЯ~.
г=1 /с=1 С помощью (3,36) равенства. (3.32),(3.33) и (3.34) приведем к общему виду: (3.36) а~,=[ дГ 1 — + — (йх р); д~, 2 сй,г = 1,2,3. (3.37) Переходя к векторным величинам, в соответствии с (3.37) по- лучаем 1 дгас1Г+ — (Й х р) 2 (3.38) Присвоив осям координат номера 1, 2, 3 и обозначив Х = ~1, ~ = ~2, ~ = (з, квадратичную форму (3.35) записываем в виде Сравнение формул (3.38) и (3.19), выполненное с учетом (3.20), (3.21), показывает, что 1 пд = п,1 + — (Й х р) + Нгас1 Г. 2 Формула (3.39) выражает теорему Гельмгольца, согласно которой скорость точки жидкой среды, принадлежащей бесконечно малому объему, суммируется из трех величин: скорости полюса, скорости вращательного движения жидкой частицы как твердого тела вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс, и скорости деформации жидкой частицы. Вследствие наличия последней составляющей скорости различаются движения жидкой частицы и твердого тела.
Скорости деформации представим вектором (3.40) пд — — огай Г. Используя (3.35), находим проекции вектора ид в виде (3.41) (3.42) (3.43) идх = ЕххХ + ЕхуО + яхх~, иду — еухХ+ еуу о+ еу,~, идх = ЕххХ+ Ехуо+ Ехх~. Коэффициенты равенств (3.41) — (3.43) образуют матри- цу ьхх еух Ехх Яху гуу (гаус) ~ Еху которая является тензором скоростей деформаций. Принимая ехх ф 0 при всех других е,~ = О, согласно формулам (3.41) — (3.43), имеем гхх Еух е„ идх —— ехх~, иду — — ид, — — О. Это означает, что происходит однородное растяжение (ехх > > О) или сжатие (ехх < 0) жидкой частицы вдоль оси Ох.
Величина е х = идх/~ опрепеляет приходящуюся на единицу длины скорость растяжения (сжатия) жидкой частицы. Такой же смысл имеют величины еуу и г х при деформации жидкой частицы вдоль оси Оу или оси Ох соответственно. 73 Рис. 3.4. Скашиваиие прямого угла при деформации жидкой частицы А Если в у — яр ф О, а все остальные е;~ = О, с помощью формул (3.41) — (3.43) получаем ид =в уо, ид„=я„ху, ид, =О. В этом случае скорости деформаций увеличиваются вдоль осей Ох и Оу пропорционально расстояниям и и у от точки А, что вызывает скашивание прямого угла (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
