Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.7), то а~ = — ас сов а, а~ = — д — ас яп а. Уравнение свободной поверхности жидкости при таких значениях проекций ускорений имеет вид — ас соя аНх — (д + ас ып а)~Ь = О. 45 Рис. 2.6. Свободная поверхность жидкости при равно- ускоренном движении сосуда по горизонтальной плоскости Рис.
2.7. Свободная поверхность жидкости при равно- ускоренном движении сосуда по наклонной плоскости Угол наклона свободной поверхности к горизонту можно найти из соотношения сЬ ас соя а с~Д = — — =— (2.27) Их д+ ас яви Изображенные на рис. 2.6 треугольники, сторонами которых являются ускорения — ас и — д, показывают, что суммарное ускорение направлено по нормали к свободной поверхности жидкости, установившейся при движении сосуда. Если при движении сосуда свободная поверхность расположена так, что жидкость не может с< выплескиваться», то объем жидкости как в движущемся, так и в неподвижном сосуде будет одним и тем же.
Данное условие и перпендикулярность свободной поверхности направлению суммарного ускорения позволяют найти положение свободной поверхности при относительном покое жидкости в сосуде. При равноускоренном движении сосуда вертикально вверх (а = л/2) из (2.27) следует, что ~3 = О, т.е. ускорения — а, и — д суммируются алгебраически. Это равносильно как бы увеличению удельного веса жидкости на величину рас, причем свободная поверхность жидкости в сосуде будет горизонтальной. При равноускоренном движении сосуда вертикально вниз удельный вес жидкости, наоборот, как бы уменьшается на ра„и свободная поверху ность жидкости остается горизона тальной.
Еще одним примером, также распространенным в технических У приложениях, может служить относительный покой жидкости в цих линдрическом сосуде, который вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью й (рис, 2.8). Чтобы определить вид вращающемся с постоянной уг вроной ск~)рос тью свободной повер нос и в э ом с.' уцилиндрическом сосуде чае, необходимо учитывать кроме 46 ускорения д центробежное ускорение ац, вызванное инерцией жидкости. Для точки, расположенной на расстоянии г от оси вращения сосуда, центробежное ускорение равно ац — — тй = фх~ 1- ~~Р)й (2.28) где х, у измерены в системе координат Оху~, связанной с вращающимся сосудом.
Проекции ускорений на оси координат описывают следующие соотношения: ах=хам, а~ — — уй, а,= — д. г г (2.29) После подстановки проекций (2.29) ускорений в уравнение (2,15) получаем Й хйх+ 0 уеду — дд~ = О. (2.30) Интегрируя (2.30), находим уравнение поверхности равного давления — (х +у ) — ~=С. г г 2д (2.31) Для вычисления постоянной интегрирования С ординату точки, принадлежащей свободной поверхности и лежащей на оси вращения сосуда, примем равной ю.
При этом С = — ~о и уравнение (2.31) свободной поверхности жидкости записывают в виде г ( У) д( 0) г г 2 (2.32) (2.33) р = — расх соя а — расъ яп с~ — рдю + С. Уравнению (2.32) соответствует параболоид вращения, вершина которого расположена на оси сосуда на расстоянии юо от начала координат (см.
рис. 2.8). Законы распределения давления по объему жидкости при относительном покое определяются интегрированием уравнения (2.10) после подстановки в него значений Р„ Ру, Р„ соответствующих виду движения сосуда. При поступательном движении сосуда по наклонной плоскости имеем Выбрав на свободной поверхности точку с координатами юо, уо, яю и предположив, что давление на этой поверхности равно рю, из (2.33) можно найти С = рю + Расхо соя а + Рас~ю яп а + рд~о Подставляя это выражение для С в уравнение (2.33), име- ем р = ро 4 ра,')схв — х) сова 4 (хо — х) своа| 4 рд(хо — в). с234) 4-) 2,2 — Рд +С 2 (2.35) При т = О, ю = гю (см. рис.
2,8) и р = ро определим С зависимостью С = Рю + Рд~ю. (2.36) С учетом (2.36) уравнение (2.35) принимает вид Фт2 р = ро+ Р + Рд(~ю — 4. 2 Уравнение (2.37) можно записать также в форме основного уравнения гидростатики: (2.38) р = ро+ рдЬ, 48 При движении сосуда по горизонтальной плоскости (а = = О), согласно уравнению (2.34), давление в точках, расположенных на одной вертикали (х = хю) с выбранной на свободной поверхности точкой, подчиняется основному уравнению (2,14) гидростатики.
Отличие состоит в том, что в рассмотренном здесь случае относительного покоя жидкости величина го — ~ измерена от плоской свободной поверхности, наклоненной на угол,9 к горизонту. При этом поверхности равного давления в жидкости будут параллельны свободной поверхности. Чтобы найти распределение давления в объеме жидкости, вращающейся вместе с цилиндрическим сосудом вокруг вертикальной оси, в уравнение (2.10) подставим проекции Р = хй~, Р~ — — уй, Р, = — д. Проинтегрировав затем это уравнение, по- 2 лучим и2 где Ь = юΠ— ю+ — — расстояние по вертикали от рассматри2д ваемой точки до параболической свободной поверхности, установившейся при вращении сосуда; и = Йт — скорость частицы жидкости в переносном движении.
По формуле (2.38) давление в точках, лежащих на оси вращения сосуда, определяется при и = О. Вычислив для этих точек постоянную С интегрирования в (2.31), можно заметить, что поверхности равного давления при относительном покое жидкости во вращающемся сосуде будут, как и свободная поверхность, параболоидами вращения. Вершины параболоида смещены вниз по оси вращения на ~Π— ~. При Й т )~ д анало- 2 гично рассчитывыают давление в сосуде, вращающемся относительно горизонтальной оси. 2.4. Силы давления на плоские и криволинейные поверхности при равновесии жидкости (2.39) иРд — (рО + рдь)йБ, где рΠ— давление на свободной поверхности; ~ — глубина погружения центра площадки, измеренная от свободной поверхности жидкости.
Сила МРд совпадает с ортом нормали к площадке, поэтому ее проекции на оси принятой системы декартовых координат равны иРд.х = (РО + Рдйг~~ю' иРд.у = (РО + Р9~Му~ (2.40) ард,, — — (РО + Рд~) Н5',. 49 Находящиеся в равновесии жидкости обычно соприкасаются с поверхностями (стенками), которые могут быть плоскими и криволинейными. Со стороны жидкостей на стенки действуют силы, вызванные гидростатическим давлением.
Для вычисления силы давления на стенку, на ней выделяют элементарную площадку и5 (рис, 2.9), малые размеры которой позволяют считать ее плоской, а давление равномерно распределенным по площадке. Плоскость тОу принимается совпадающей со свободной поверхностью жидкости, а ось Оз направляется вертикально вниз. В таком случае силу ЙРд давления на элементарную площадку определяет соотношение Рис. 2.9. Сила давления Рис.
2.10. Центр давления плоской стенки на элементарную площадку криволинейной стенки (2.41) где интегрирование необходимо выполнить по площади стенки, соприкасающейся с жидкостью. В подынтегральном выражении формулы (2 41) величину ~ можно заменить расстоянием ~ от центра тяжести площадки о5' до линии пересечения свободной поверхности с наклонной стенкой: (2.42) ю = ~яви. Соответственно формула (2.41) принимает вид Р, = ррах+ рдяпа ~'ЫЯ.
(2.43) Интеграл в правой части формулы (2.43) является статическим моментом площади Я относительно оси, совпадающей 50 Здесь Н5~ = сБ соя(п, х), оиру — — о5 сов(п, у), Ы5~ = Иксов(п,.г)— проекции площадки ИЯ на плоскость, перпендикулярную оси, которая приведена в индексе. Формулы (2.40) показывают, что проекция на ось координат силы давления равна силе давления, приложенной к проекции площадки на плоскость, которая перпендикулярна. выбранной оси.
Сила давления на всю плоскую стенку, имеющую угол наклона а (рис. 2.10), вычисляется с помощью соотношения с осью Ою, поэтому й5= Я~цт, (2.44) где ~ц т — расстояние от оси Ож до центра тяжести площади стенки, соприкасающейся с жидкостью. Подставляя значение интеграла (2.44) в формулу (2.43) и учитывая соотношение (2.42), получаем Рд = (р0+ Ру~ц.т)~, (2.45) где ~ц т — — ~ц т яп а — измеренная от свободной поверхности глубина погружения центра тяжести стенки. Точку, в которой приложена сила Рд, называют центром давления. Чтобы найти положение этой точки на стенке, ис- пользуют уравнение моментов сил относительно оси, прохо- дящей через центр тяжести стенки параллельно оси Ож (см, рис.
2.10). Уравнение моментов имеет вид Р 1 = ЫРд, (2.46) где 1д — расстояние между выбранной осью и центром давления; 1 — расстояние от выбранной оси до точки, в которой действует элементарная сила аРд. С помощью формул (2.39), (2.42) и (2.45) уравнение (2.46) приводят к виду Рц. Яд — — (Рц. +РД~Япо)ЫЯ, (2.47) где рц т — рО + рдюц т — гидростатическое давление в центре тяжести стенки. Статический момент плошади 5 относительно выбранной оси равен нулю, поэтому что позволяет уравнение (2.47) записать в виде Рц тЯд — — Рд з1п о 1 И5. 5 (2.48) Интеграл в правой части уравнения (2,48) представляет собой момент инерции,У~ соприкасающейся с жидкостью площади 5 относительно выбранной оси: С учетом такого значения интеграла по уравнению (2.48) можно найти 1~рд з1п а (2.49) ~Рц.т Если на свободную поверхность действует атмосферное давление, то избыточное давление в центре тяжести площадки равно Рц.т = Рд~ц.т.
,У~ арпа д ~ац.т (2.50) Величины 1д и 1д полностью определяют положение цент/ ра давления на оси симметрии, проходящей через центр тяжести стенки перпендикулярно оси Ох. При отсутствии такой симметрии вычисляют вторую координату центра давления. Лля этого используют уравнение моментов сил относительно прямой, проходящей через центр тяжести стенки перпендикулярно оси Ох. Обобщая способы расчета сил давления, полезно заметить, что сила давления жидкости на плоскую наклонную стенку равна произведению соприкасающейся с жидкостью площади стенки и гидростатического давления в ее центре тяжести, ниже которого расположена точка приложения этой силы — центр давления. 52 Соответственно после замены в соотношении (2.49) рц т на р„определяется величина В случае вертикальной стенки (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
