Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2.3. Направления сил при равнове- сии элементарного параллелепипеда на грани 66'с'с др1 Р+ "У ду 2 на грани а66~а' на грани асс'И' Выбрав эти давления в качестве средних значений на гранях, проекции сил давления на оси координат можно вычислить, умножая каждое давление на площадь соответствующей грани. Проекции массовой силы Р,арИ1" представим в виде РхР~~> РуР4~ РхР4~ где Р~, Р~, Р~ — проекции массовой силы, отнесенные к единице массы жидкой среды; Л' = ИЫд~Ь вЂ” объем элементарного параллелепипеда.
Равновесие жидкой среды в выделенном объеме имеет место при равенстве нулю сумм проекций сил, приложенных к 38 граням параллелепипеда, и проекций массовой силы. В проекциях на ось Ох этому условию соответствует уравнение 1 др 1 др (р — — — 6х)йуй~ — (р+ — — йх)йу(Ь + Р рс1хйу(Ь = О. 2 дх 2 дх Аналогично записываются уравнения для проекций на оси Оу и Ою. Поделив эти уравнения на рИхЫуИх, получим систему трех уравнений: 1 др Р~ — — — —— О, р дх 1 др Є— — — = О, Р ду Р, — — — = О. 1др р д~ (2.9) Систему (2.9) дифференциальных уравнений называют уравнениями Эйлера равновесия жидкой среды. Умножим каждое из уравнений на Их, Йу, Ыг соответственно и затем, сложив результаты, приведем данную систему к одному уравнению 1 др др др Р,йх+ Р„йу+ Р йх — — — 6х+ — с~у+ — ~Ь = О, р д ду д.
Ыр = р(Р с1х + Р„йу + Р сЬ), (2.10) Если правая часть (2.10) не является полным дифференциалом, то равновесие жидкой среды невозможно, При р = сопй (не- сжимаемая жидкая среда) для равновесия среды необходимо, чтобы выполнялись соотношения Взятое с обратным знаком значение силовой функции У, удовлетворяющей указанному условию, называют потенциалом. Для жидкой среды, находящейся в равновесии относительно поверхности земли (Р~ = О, Ря — — О, Р, = — д), уравнение 39 Считая сумму в скобках полным дифференциалом Ир, представим уравнение в виде Рис.
2.4, Положение точек 1 и 2 в сосуде при определении давлений (2.10) принимает вид (2.11) В случае одинаковой плотности во всех точках однородной жидкой среды уравнение (2.11) записывается так: Н(р+ рд~) = О. После интегрирования (2.12) получаем уравнение (2.12) р+рдг= С, где С вЂ” постоянная интегрирования, определяемая с помощью граничных условий.
Предположив, что давление в точке 1 жидкости в каком- либо сосуде равно р1 (рис. 2.4), по уравнению (2.13) найдем С = р1 + рдг1. Р2 — РЪ + Рд(~1 ~2) ° (2.14) Отметим, уравнение (2.14) называют основным уравнением гидростатики. Поскольку точки 1 и 2 выбраны произвольно, давление, создаваемое в любой точке покоящейся однородной жидкости, передается одинаково ко всем точкам в пределах занимаемого жидкостью объема (закон Паскаля).
40 Давление этой жидкости в точке 2, согласно уравнению (2.13), равно Кроме того, из уравнения (2.14), следует, что в покоящейся однородной жидкости для всех точек, лежащих в одной горизонтальной плоскости, т.е. при х1 = хг, гидростатическое давление будет одинаковым. Такая горизонтальная плоскость представляет собой частный случай поверхности равного давления (или поверхностпи уровня).
В общем случае определения поверхности равного давления при относительном покое жидкости используется уравнение, получаемое из (2.10) при др = 0: (2.15) а~дх + ауЙу+ а,Йх = О, (2.16) Р19г1х = РгФх. Равенство (2.16) при р1 ф рг выполняется при Ых = О, т.е. при х = сопз1. Следовательно, разделяющая разнородные жидкости поверхность будет горизонтальной плоскостью, которая является поверхностью равного давления, так как ар = 0 при сЬ = О.
Рассматривая равновесие атмосферы с учетом действия силы тяжести, ось Ох можно направить вертикально вверх, поместив начало координат на уровне моря. В данном случае равновесие газа является баротропным, так как его плотность зависит только от давления. Если к тому же принять равновесие изотермическим (О = сонь|), то, согласно уравнению После подстановки, согласно этому соотношению, величины р уравнение (2.11) принимает вид .й Π— = — дсЬ. др р (2.17) 41 где а~ = Рх, а~ — — Р~„а~ = Р~ — проекции ускорения при переносном движении среды.
На поверхности, разделяющей две разнородные покоящиеся жидкости с плотностями р1 и рг, значения ар равны для обеих жидкостей, поэтому, согласно соотношению (2.11), ВО = —, Р1 Р1 получаем уравнение Р1 Рг — 1п — + ~(~2 — ~1) = О, (2.18) Р1 Р1 где р1, и р2, — значения давлений на расстояниях ~1 и ~2, отсчитанных по оси ю. Если первую точку взять на уровне моря (ю1 = 0) и принЯть Р1 = Ра, Р1 = Ра, ю2 = ю> Р2 = Р соответственно, фоРмУлУ (2,18) можно привести к виду ЯаД~ Р=рае "а > (2.19) где ра и ра — давление и плотность воздуха на уровне моря.
В соответствии с формулой (2.19) атмосферное давление при постоянной температуре воздуха уменьшается по экспоненте с увеличением высоты, измеренной от уровня моря. При погружении в море давление, как показывает основное уравнение гидростатики, возрастает с глубиной по линейному закону в тех пределах, при которых допустимо считать постоянной плотность воды (рис. 2.5). В технике и других сферах человеческой деятельности широко применяют избытпочное давление р„, измеряемое от атмосферного давления рат. При этом ри — р рат.
Если р ( рат, то избыточное давление будет отрицательным. В этом случае раз- ность Рис. 2,5. Изменение давления с увеличением высоты над уровнем моря и при погружении в море Ра =Рат Р соответствует вакру.иу. 42 Интегрируя уравнение (2.1Т) в пределах, соответствующих точкам с координатами ~1 и г2, и заменяя ЮО с помощью равенства (2.20) О =Оа се 6,5 К где Оа = 273+15 = 288 К; с = ' = 0,0065 —.
1000 ' м С помощью функции (2.20) уравнение (2.17) представим в виде др д~Ь (2.21) р В(Оа — с.) Интегрируя уравнения (2.21), получаем отсюда дДсА) — 1 —— (2.22) При численных значениях параметров зависимость (2.22) давления от высоты подъема в тропосфере имеет вид 5,256 Р Ра ' 44300 (2.23) В стратосфере при л > 11000 м температуру принимают постоянной и равной — 56, 5 о С. В этом изотермическом случае — дг/(АО) — л/5340 Р = РаЕ = РаЕ С учетом изменения температуры О в зависимости от высоты л, измеренной от уровня моря, для расчетов используют так называемую стпандартиную международную атмосферу, в которой до высоты 11000 м (в пределах тропосферы) температура уменьшается через каждые 1000 м подъема на 6,5 С, начиная от + 15ОС на уровне моря.
При этом давление р на уровне моря равно 760 мм. рт. ст. Расчеты изменения давления на высоте тропосферы выполняют с помощью уравнений (1.13), (2.17) и функции На высоте х = 11000 м стандартная плотность атмосферы составляет 0,297 от плотности атмосферы на уровне моря при температуре 15 С, а скорость звука с 341м/с снижается до 29б м/с. 2.3. Гидростатические законы при относительном покое жидкой среды Относительный покой жидкой среды в общем случае описывается системой уравнений (2.9) или уравнением (2.10). Проекции массовой силы в этих уравнениях при переносном движении среды зависят от вида движения сосуда, относительно которого покоится жидкая среда.
Реально жидкая среда„находившаяся в равновесии при неподвижном сосуде, после возникновения его движения не может мгновенно перейти в состояние относительного покоя. Такое состояние наступит через некоторое время, за которое все частицы жидкой среды будут вовлечены в движение вместе с сосудом. В связи с чем задачи о равновесии жидкой среды при переносном движении рассматривают после того, как относительный покой жидкой среды наступил, и закон движения сосуда не изменяется во времени. Относительный покой жидкой среды в сосуде, который поступательно перемещается с ускорением, часто встречается в технике.
Примерами могут служить заполненные жидкостью железнодорожные цистерны, автомобильные и самолетные баки для топлива, а также баки с рабочей жидкостью для гидроприводов мобильных и строительно-дорожных машин. В таких сосудах при движении с ускорением изменяется давление жидкости на стенки и днища, что должно учитываться при прочностных расчетах. Когда сосуд, частично заполненный жидкостью, перемещается равномерно по горизонтальной плоскости или неподвижен, свободная поверхность жидкости будет горизонтальной (штриховая линия на рис.
2.6.). При равноускоренном движении сосуда (например, вправо) свободная поверхность жидкости наклоняется. В этом случае, кроме действующей на жидкость силы тяжести, необходимо учитывать силу инерции, приложенную к жидкости в 44 направлении, противоположном ускорению ас сосуда. В результате имеем а~ = — ас, ау — — О, При таких значениях ускорений уравнение (2.15) принимает вид асЫх+ дсЬ = О. (2.24) Согласно (2.24), получаем сЬ а, ~Ь д (2.25) Вследствие постоянного значения производной (2.25) для всех точек свободной поверхности, последняя является плоскостью, угол наклона которой к оси Ох определяет соотношение ас с~Д = — —, д (2.26) Если равноускоренное движение сосуда происходит по плоско- сти, наклоненной под углом а к горизонту (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
