Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Полученная в результате частотная функция после выделения действительной и мнимой частей имеет вид Врел~ ту Врел~йт~г 2 2 В„,(1+ а~Ят2 ) Вкс(1+ оЯт12) В(1Ы) = Вк, (1.45) (1.46) ать~ << 1. При таком условии (1.47) Для жидкостей время тг непосредственно связано с объемной вязкостью и1, соотношением И1' т~ Врел (1.48) Экспериментальное значение Вр,л минерального масла* вязкостью рог = 0,28Па с равно 1,05.10 МПа.
Подстановка этих значений в формулу (1.48) дает тр = 0,27 10 9 с. Согласно (1.46), угловая частота должна быть приблизительно на порядок меньше т ~ = 3, 7 10 рад/с. Следовательно, релаксация повлияет на модуль объемной упругости жидкости только при очень высоких частотах. У газов, несмотря на близость к нулю объемной вязкости, значения т1, также назначают достаточно малыми, чтобы, как и в случае жидкостей, считать справедливыми равенство (1,47). Физическая акустика: Пер. с англ. / Под ред.
У. Мезона. Т. 11. Ч. А. Свойства газов, жидкостей и растворов. М.: Мир, 19бв. 30 Для вычисления значения угловой частоты ю, меньше которого комплексный модуль В(1и) объемной упругости может быть заменен квазистационарным значением, следует рассмотреть выражение, стоящее в квадратных скобках функции (1.45), Эксперименты показывают, что Вред и Вкс имеют один порядок, поэтому указанное выражение будет близким к единице, если 1.7. Термодинамические свойства жидкостей и газов В описании упругих свойств жидкостей и газов были использованы удельные теплоемкости при постоянных давлении и объеме.
Эти величины характеризуют неподвижные однородные вещества, когда их локальные механические, физические и тепловые параметры не зависят от времени. Такие состояния в термодинамике называют равновесными. При движении жидкостей и газов, несмотря на большие изменения механических и отчасти физических параметров, в большинстве случаев не наблюдается значительного отклонения термодинамических соотношений от полученных для равновесных состояний. В связи с чем прикладные задачи гидромеханики чаще всего решают, обращаясь к термодинамике равновесных процессов. К важным при таких расчетах величинам принадлежат удельная теплоемкость, равная отношению подведенного к телу количества теплоты к произведению массы этого тела, и приращения его температуры.
Удельную теплоемкость жидкости обычно определяют при постоянном давлении, находя с„ж. Это вызвано тем, что нагрев жидкости при сохранении постоянной плотности (объема) усложняет проведение экспериментов из-за чрезмерного повышения давления жидкости. Для минеральных масел, применяемых, например, в гидроприводах, при 20ОС значения с~ж —— 1,...2,1кЛж/(кг.К), а с, /с, - 1,25. Лля воды при той же температуре с~ж = 4,19кДж/(кг К), с~ж/с„ж - 1,0. Удельные теплоемкости воздуха при 20ОС соответственно имеют значения: с„~ = 1,009; с„н = 0,720 краж/(кг К). Передача теплоты с помощью жидкости или газа зависит от теплопроводности этих веществ.
Количество теплоты, переносимое за, единицу времени через слой вещества с единичной площадью и единичной толщиной при перепаде темпера.— тур на один градус, называют коэффициентом Й теплопроводности, единицей СИ является Вт/(м.К). В этой размерности при 20'С йт имеет следующие значения: для минерального масла 0,14, для воды 0,58, для воздуха 0,034.
Теплопроводность жидкостей уменьшается, а газов возрастает с увеличением температуры, При изменении температуры объем жидкости изменяется. Это изменение характеризует коэффициент теплового объемного расширения, равный при 20 ОС: для воды 0,18 10 з К для минерального масла приблизительно 0,78 10 з К 1, для ртути 0,18 10 ~ К . Воздух в интервале температур от 0 до 100'С при давлении 101,3кПа имеет коэффициент теплового объемного расширения 3,66 10 К Вопросы для самопроверки 1.
Какие параметры характеризуют основные свойства жидких сред? 2. В чем различие зависимостей вязкости жидкости и газа от температуры? 3. Укажите четыре вида модулей объемной упругости жидких сред. 4. Как изменяется скорость звука в смеси жидкости и воздуха в зависимости от объемного газосодержания? Глава 2 РАВНОВЕСИЕ ЖИДКИХ СРЕД 2.1. Напряженное состояние жидкой среды При равновесии в пространстве, занятом жидкой средой, не происходит перемещений ее частиц. Если сосуд, в котором находится жидкая среда, движется в инерциальной системе координат и среда перемещается вместе с сосудом, сохраняя установившуюся при движении сосуда форму, то такое равновесие (покой) жидкой среды называют относительным. В жидкой среде как при равновесии, так и при движении действуют силы, которые подразделяют на два вида: массовые, или объемные, и поверхностные. Принадлежащая к первому виду сила действует в одинаковой мере на всю жидкую частицу, занимающую малый объем.
Значение такой силы пропорционально массе или объему жидкой частицы. Массовые силы являются силами дальнего действия, так как они незначительно уменьшаются с увеличением расстояния до выделенной в жидкой среде частицы. Примерами могут служить силы тяжести, электромагнитные силы в несущей электрический заряд жидкой среде, а также силы инерции, если рассматривается среда в движущейся системе координат. Второй вид сил возникает в местах контакта частиц жидкой среды друг с другом или с какими-либо телами.
Значение каждой из таких сил зависит от площади поверхности жидкой частицы, на которую действует сила, и непосредственно не зависит от массы (объема) частицы. Приходящаяся на единицу площади поверхности сила называется напряжением. Распределение напряжений в жидкой среде характеризует ее напряженное состояние, которое различается при равновесии и движении среды. 33 2 — 5733 Для математического описания напряженного состояния жидкой среды в ней выделяют произвольный объем 1:, ограниченный поверхностью 5 (рис. 2.1). В одной из точек поверхности проводится нормаль и к малой площадке Ь5.
Вследствие взаимодействия среды, находящейся внутри объема, с окружающей объем средой через площадку ЬЯ проходит вектор элементарной силы ЬР~, которая может изменяться от точки к Рис. 2.1. К описанию напряженного состоя- ния среды точке площадки 5, а также зависеть от размеров площадки и ее ориентации, заданной нормалью п. При стягивании Ь5 в точку отношение ЛР~/Ь5 стремится к пределу, определяю/ щему напряжение как вектор ЬР' р„= 1пп ьЯ вЂ” ~0 Л5 (2.1) где индекс «и» означает, что напряжение вычисляется для площадки с нормалью п. Момент силы ЬР~ относительно точки, соответствующей соотношению (2,1), стремится к нулю. Зависимость р„от ориентации площадки ЬЯ можно найти, представив элементарный объем Ь$' в виде тетраэдра ОАВС, каждая из трех граней которого перпендикулярна одной из осей декартовых координат т, р, ю, а положение четвертой задано ортом нормали и (рис.
2.2). Для равновесия жидкой среды, находящейся в тетраэдре, должно выполняться равенство: р„сБ — р,ЫЯ, — р„й5„— р,д5, — Рп,рдУ = О, (2.2) 34 где ря, р1,, р, — векторы напряжений, действующих на грани тетраэдра; д5„дЯ„, ЙЯ, — площади граней тетраэдра (индексы обозначают ту ось координат, которая перпендикулярна данной грани); р — плотность среды; Ы' — объем тетраэдра.
Рис. 2.2. Приложенные к граням элементарного тетраэдра силы Кроме названных величин, в равенство (2.2) входит век- тор ~Рт Р~ = 11гп определяемый пределом отношения главного вектора ЬР~ массовых сил к массе Ьт = р~Х жидкой среды, которая находится в элементарном объеме. При уменьшении размеров тетраэдра массовыми силами можно пренебречь, как величинами третьего порядка малости по сравнению с поверхностными силами, имеющими второй порядок малости. Тогда уравнение (2.2) принимает вид р„~~ = р„й~, + р„~~, + р,~~,. (2.3) Площади граней тетраэдра, лежащих в координатных плоскостях, связаны с площадью О',5 соотношениями яЯ = о',Ясон(п,х) = п,ЙЯ; Й$я — дЯсоз(п,у) = п„ЙБ; 05, = Носов(п, ю) = п~сБ, п~, пу, и — проекции орта нормали и на соответствующие оси координат, соз(...) — косинус угла между нормалью и и указанной после нее (в скобках) осью координат.
35 С учетом этих соотношений уравнение (2.3) запишем в виде Рп = пхРх + пуРу + пгРг ° (2.4) из векторов напряжений, входящих в (2.4), на оси координат, получим следующие Представив каждый тремя проекциями уравнения: Рпх = пхрхх + пурух + пгргх~ = пхрху + пуруу + пгргу~ = пхрх, + пуруг + пгрг,. (2.5) Первый индекс в проекциях напряжений р х, рух, р, обозначает ось, перпендикулярно которой расположена площадка, а второй индекс совпадает с обозначением проекции данного напряжения на соответствующую ось координат. Согласно (2.5), проекции напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, могут быть описаны линейными выражениями, в которые входят проекции напряжений, приложенных к трем лежащим в координатных плоскостях площадкам. Другими словами, напряжение в точке произвольно ориентированной площадки будет определено, если известна ма- трица Рхх Рух Ргх~ Рху Руу Ргу~ = (Рй)~ Рхг Руг Ргг.
(2.6) Р„= пхРх Рпу — — пуРуу, Р„= п,Р,г, где проекции вектора р„на оси координат определяются соот- ношениями р„х = пхр„, р„у = пур„, р„, = п,рп. 36 которая является тензором второго ранга. Величины рхх, руу, р, называются нормальными напряжениями, а Рху Рхг, Рух ру, р, р „— касатпельными напряжениями. Как отмечалось ранее, при равновесии жидкой среды (включая ее относительный покой) частицы не перемещаются относительно друг друга, поэтому касательные напряжения равны нулю.
В таком случае действуют только нормальные напряжения, и уравнения (2.5) принимают вид Отсюда Рхх = Руу = Рхх = Рп. (2.7) Взятая с обратным знаком величина р„определяет гидро- статическое давление р в данной точке покоящейся жидкой среды: (2.8) р„= — рп, Знак минус в формуле (2.8) означает, что вектор напряжения направлен противоположно вектору нормали и, т.е.
определен при сжатии жидкой среды. Согласно равенствам (2.7), гидростатическое давление в любой точке жидкой среды не зависит от того, как ориентирована площадка, на которую действует давление. При этом гидростатическое давление не будет одинаковым в разных точках пространства, занятого жидкой средой. Законы распределения давления в покоящейся жидкой среде описаны в разделе механики жидкости и газа, который во многих курсах назван гидростатикой. 2.2. Уравнения равновесия жидкой среды Чтобы найти функцию р(х, у, г) для покоящейся относительно инерциальной системы координат жидкой среды, в ней выделяют элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрами Их, Ыр, Ыл (рис.
2.3). Со стороны окружающей жидкой среды к параллелепипеду приложены шесть сил давления (стрелки — без обозначения) и равнодействующая Р,прЛ~ массовых сил. Если принять, что в точке пересечения диагоналей параллелепипеда давление равно р, то в пересечениях диагоналей граней давления будут иметь следующие значения: на грани аоса др 1 р+ — — Ых, дх 2 на грани аЪ'с'а' др1 р — — — ах, дх 2 на грани аа'а~а др1 р — — — ~у: ду 2 37 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
