Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Как найти уравнение притока тепла? 4. Чем вызвана диссипация механической энергии при движении жидкой среды? 99 На рассмотренном методе вычисления (Л~д„,)~ основан сформулированный Гельмгольцем принцип минимума диссипированной энергии, справедливый для всякого медленного движения несжимаемой вязкой жидкости. Медленным называют движение, при котором допустимо пренебрегать инерционными членами в уравнениях движения несжимаемой вязкой жидкости под действием потенциального поля массовых сил, Согласно принципу Гельмгольца, механическая энергия, диссипируемая при действительном медленном движении вязкой несжимаемой жидкости в некотором объеме, меньше, чем при произвольном движении несжимаемой жидкости с тем же распределением скоростей на поверхности, ограничивающей этот объем.
Данный принцип отражает своего рода вариационный принцип минимума диссипации энергии. Глава 5 ДИНАМИКА ИДЕАЛЬНЫХ 2КИДКИХ СРЕД 5.1. Теорема Бернулли Жидкую среду называют идеальной, если в ней отсутствуют касательные напряжения, а действуют только нормальные напряжения. В соответствии с этим определением Рп Рпп~ Рх Рхх11 Ру Руу1 ~ Рг Ргг1~ После подстановки данных соотношений формула (4.28) принимает вид р„п = рхх1 соя(п, х) + руу~ соя(п, и) + р к соя(п, г), а поскольку и = соз(п, ~)1+ соз (и, ~) ~ + соз(п, г) 1с, то (5.1) Рп = Рхх = Руу = Ргг = Р Скалярная величина р является давлением в точке жидкой среды. Знак минус означает, что вектор р„нормального напряжения направлен противоположно нормали и к площадке, проведенной через выбранную точку, т.е, р„= — рп.
Согласно равенствам (5.1), в идеальной жидкой среде нормальное напряжение не зависит от ориентации площадки. Модель идеальной жидкой среды не учитывает влияния внутреннего молекулярного обмена, с которым связано проявление вязкости и теплопроводности среды, но позволяет значительно упростить математическое описание движения жидкой среды и в ряде случаев находить полезные для практики 100 решения. Поскольку уравнение неразрывности не содержит напряжений, его вид для идеальной жидкой среды не отличается от общего уравнения (4.16) неразрывности. Если к тому же идеальная жидкая среда предполагается несжимаемой, то в отсутствие источников и стоков уравнение неразрывности имеет вид уравнений (4.18) или (4.19).
Уравнения гидродинамики вследствие равенства нулю касательных напряжений упрощаются. Такие уравнения гидро- динамики можно получить, принимая в уравнениях (4.31)— (4.33) и =,и1~ = О, т.е. исключая члены, связанные с вязкостью среды. Уравнения движения идеальной жидкой среды, записанные в проекциях на оси декартовых координат, называют уравнениями Эйлера: ~их 1 др — *=Р,— —— (5.2) й р дх' Ии„ 1 др й " Рду' Ыи 1 др =Р,— — —, (5.4) й ' рд~' (5.3) При определенных условиях систему уравнений (5.2) — (5.4) можно проинтегрировать.
Полученные в результате соотношения не только раскрывают важные закономерности движения жидких сред, но часто более удобны при решении прикладных задач, чем исходные уравнения. Принимая условия, согласно которым идеальная жидкая среда под действием потенциального поля массовых сил совершает баротропное движение, систему уравнений (5.2) — (5.4) представим в векторной форме: Ыи 1 — = Рт — — цгайр. й Так как поле массовых сил потенциально, имеем (5.6) Р„, = — ягас1 П. (5.7) 101 Баротропный характер движения среды означает, что на линии тока плотность среды является только функцией давления: После скалярного умножения на элементарное перемещение Ыг вдоль линии тока уравнение (5.5) с учетом (5.6) принимает вид Ыи 1 †.
дг = — егай П Иг — - ягор дг. (5.8) й Р При установившемся движении жидкой среды линии тока совпадают с траекториями, поэтому Ыг — =и сИ и соответственно (5.9) В свою очередь, огай П дг = с~П, ягадр. Иг = 0р. (5.10) (5.11) После подстановки величин, согласно соотношениям (5.9) — (5.11), уравнение (5.8) принимает вид — = — ИП вЂ” —. (5.12) Чтобы исключить Ыр из (5.12), вводят функцию давления (5.13) — +П+Ф =О.
(5.14) Проинтегрировав (5.14) вдоль линии тока, получим „г — + П+ Ф = сопз1. 2 (5.15) 102 в которой ро — давление в какой-нибудь точке заторможенной жидкой среды; р — текущее значение давления. С помощью (5.13) уравнение (5.12) можно записать следующим образом: Равенство (5.15) называется интпегралом Бернулли. Постоянная в правой части (5.15), сохраняя свое значение на одной линии тока, может измениться при переходе к другой линии тока. Трехчлен (5.15) не следует считать выражением закона сохранения энергии, так как использованная при его выводе функция давления (5.13) учитывает только работу главного вектора поверхностных сил, приложенных снаружи к выделенному объему жидкой среды. Работа внутренних сил здесь не учитывается.
Если жидкая среда принята несжимаемой, то р = сопй. В этом случае функцию давления (5.13) можно записать так: 1 (Р РО). Р С учетом (5.16) и при действии только сил тяжести (П = = дг) интеграл Бернулли (5.15) принимает вид и р= + дг+ — = сопй 2 р (5,16) отсюда и р = — + ~+ — = сопв1. 2у Ру (5.17) сумма скоростного, геометрического и пьезометрического напоров сохраняет постоянное значение вдоль линии тока. Если силы тяжести незначительны по сравнению с силами давления, то величиной ю можно пренебречь и несколько упростить уравнение (5.17): ри р+ = сопй. 2 (5.18) 103 и2 Слагаемые в левой части (5.17) называют скоростным —, 2у' р геометрическим (г) и пьезометрическим — напором. РУ Равенство (5.17) выражает тпеорему Бернулли, которая формулируется следующим образом: при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести Рнс. 5.1.
Схема истечения несжимаемой жидкости через малое отверстие Формула (5.18) указывает на важную связь между скоростью движения среды и давлением. Согласно этой формуле, при увеличении скорости среды давление понижается, а при уменьшении скорости среды давление повышается, Теорема Бернулли позволяет не только понять и объясненить многие гидродинамические явления, ее используют также при решении различных задач.
Примером служит расчет скорости истечения несжимаемой жидкости через малое отверстие в днище или стенке резервуара (рис. 5.1). Предполагая, что уровень 1 — 1 поверхности не изменяется, уравнение Бернулли (5.17) при истечении жидкости можно записать для одной из линий тока АВ в виде 1 Р1 ~2 Р2 2 2 — + — +Н= — + —. 2д рд 2д рд Если площадь поверхности 1 — 1 значительно больше площади проходного сечения отверстия,то скорость и~ будет пренебрежимо мала по сравнению с и2.
Кроме того, давление Р~ на поверхности 1 — 1 и давление р2 в окрестности сечения 2 — 2 часто могут быть одинаковыми (например, равными атмосферному давлению). При этих условиях из приведенного уравнения следует, что ~г = ~ЛдН. Полученное соотношение представляет собой формулу Торричелли, согласно которой скорость истечения имеет такое же значение, как скорость материальной точки, падающей с высоты Н. 104 5.2. Интеграл Бернулли в случае установившегося изотермического и адиабатического движения совершенного газа Газ называют совершенным, если он удовлетворяет уравнению (1.13) Клапейрона.
Рассматривая движение газа, массовыми силами обычно пренебрегают, а функцию давления определяют для двух предельных случаев: изотермический процесс (температура газа постоянна); адиабатический процесс (без притока к газу теплоты извне). При изотермическом движении газа в соответствии с уравнением (1.13) — = сопз1, поэтому функцию давления (5.13) р= Р можно найти следующим образом: РО~Р РО Р РаР Ро РО (5.19) Ро Уравнение Бернулли (5.15) с учетом (5.19) в отсутствие потенциала принимает вид и2 ро р — + — 1ц — = сопя$.
2 Ро Ро (5.20) Р РО ( ) (5.21) поэтому (5.22) Ро С помощью функции (5.22) уравнение Бернулли (5.15) записывают в виде -Ж 1 (5,23) = сопя1 105 В случае адиабатического движения идеального газа его плотность связана с давлением соотношением 0' 1 о Рис. 5.3. Изменение массового Рис.
5.2. Схема истечения газа через малое отверстие расхода газа через малое отвер- стие в зависимости от давления после отверстия Значения параметрое рО и рО принимают постоянными для адиабатически заторможенного (и = О) идеального газа. При использовании таких постоянных величин уравнение (5.23) преобразуется в формулу Сен-Венана и Ванцеля: (5.24) Формула (5.24) позволяет выяснить различие в процессах истечения газа и несжимаемой жидкости из малого отверстия при постоянном давлении ро (рис. 5.2).
В случае р ( ро приходящийся на единицу площади массовый расход газа, согласно формулам (5.21) и (5.24), определяется в виде (5.25) где ~ = р/ро. В соответствии с формулой (5.25)при снижении давления р или повышении давления ро расход через отверстие увеличивается, достигая максимума при ~ = ~„р (рис. 5.3). Если с = 1 и~=О,то С~„=О. В действительности участок графика, изображенного штриховой линией, не существует, так как расход С~ при 106 ~ ( ~„р остается постоянным, равным своему максимальному значению (см. рис. 5.3). При ~ = ~„р скорость истечения газа достигает скорости звука.
Дальнейшее уменьшение ~ не влияет на истечение, поскольку возмущения во внешней среде не передаются по струе газа, распространяясь со скоростью звука, которая оказывается меньше скорости газа. Таким образом, процесс истечения газа из малого отверстия отличается от процесса истечения несжимаемой жидкости. По мере приближения ~ к единице различие в закономерностях истечения газа и несжимаемой жидкости уменьшается. Условия возникновения сверхзвуковых течений газа можно определить, предварительно преобразовав уравнение (5.23). Выделив в уравнении соответствующую параметрам затормо- ~С Ро женного газа величину — — и воспользовавшись соотноР0 шением (5.21), представим уравнение в виде и lс р — + — = сопят.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
