Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Такую поверхность называют контрольной. Данное положение можно по- Рис. 4.1. К вычислению конвективной производной от интеграла по движущемуся объему яснить, выделив в движущемся объеме Г' среды элементарную трубку тока аост (рис. 4.1). Тогда интеграла от величины А в объеме время й составит конвективное изменение элементарной трубки за АН' — АЫЪ' АИЪ' — АдЪ', (4.12) ЬЬ~.~с аа'а'а 84 где объемы, по которым вычисляются интегралы от величины А в моменты времени 1 и 1+ й, обозначены буквами а, а', о, о', с, с', Ы, И', указывающими границы рассматриваемых объемов.
Поскольку движение жидкой среды принято установившимся, в равенство (4.12) не вошел постоянный во времени интеграл по объему а'осЫ' (рис. 4.1). Учитывая противоположные направления внешних нормалей п1 и п~ в сечениях 051 и 052, конвективное изменение интеграла от величины А, определяемое с помощью (4.12), можно представить выражением Л1и1„сБй + А2и2„052сИ.
Суммирование таких выражений, которые записаны для всех элемен- 4.2. Закон сохранения массы при движении жидкой среды. Уравнение неразрывности Один из основных законов механики — закон сохранения масс, справедливый при скоростях движения физических объектов, значительно меньших скорости света. К таким объектам относится жидкая среда, заполняющая некоторое пространство, в котором могут быть источники и стоки. При движении жидкой среды, занимавшей в момент времени 1 объем Ъ', ее масса в общем случае за время Ь| изменится.
Это изменение составит (4.13) где штрихами отмечены значения объема и плотности среды в момент времени ~+ Ь|, а д,п — отнесенная к единице объема скорость притока (стока) массы жидкой среды. После деления (4.13) на приращение Ь|, которое в пределе стремится к нулю, получают уравнение Р~Ъ = чт~Ъ~ (4.14) соответствующее закону сохранения масс для конечного в данный момент времени объема среды при наличии источника (стока).
Воспользовавшись формулами (4.1) и (4.9) и подставив в них А = р, уравнение (4.14) можно записать в виде др д д д — + — (ри ) + — (ри ) + — (ри ) — дп, Б~ = О. (4.15) д~ дх ду Р дю тарных трубок, выделенных в объеме Ъ', позволяет найти значение бесконечно малого изменения объемного интеграла от величины А в виде ~ Аи„ОЯКО. После деления этого интеграла 5 на й получают формулу (4.11).
дР д д д — + — (Ри,) + — (Ри ) + — (Ри~) — о,п = О. дг д х д У д х пав Отсюда др др др др ди, дик ди, — +и~ +иу — +и~ — +р +р — +р — — у~=О. д1 дх "ду дл дх ду дг Сумма первых четырех членов полученного уравнения, соглас- Н,~ но формуле (3.11), является индивидуальной производной— Й' а сумма трех следуюших членов равна рс11чп. С учетом ска- занного уравнение приводится к виду ф — + РЙ1'и = ~т, й (4.16) Уравнение (4.16), вывод которого основан на законе сохране- ния масс, называют уравнением неразрывностпи в переменных Эйлера. ф Если не учитывается сжимаемость жидкой среды, то — = й = О, и уравнение (4.16) принимает вид Ят Й~п = —.
Р (4.17) В отсутствие источников или стоков (д„, = О), согласно уравнению (4.17), й~п=О (4.18) или ди~ диу ди, + + д ду д (4.19) При установившемся движении жидкой среды локальная д,о производная = О, что не исключает изменения р в зависид1 мости от координат х, у, ~. Вследствие этого уравнение (4.16) при д,п = О записывают так: (4.19) с11ч(рп) = О, Интеграл (4.15) должен быть равен нулю при любом объеме Г, что выполняется, если подынтегральная функция равна нулю, поэтому х = тсояд, у = тя1пд, В цилиндрических координатах уравнение неразрывности имеет вид др 1д 1д 1д — + — — (ри„т) + — — (ри~) + — — (ри,т) = е,п, (4.21) д~ ° д. " ° дВ т дл где и„и~, и~ — проекции скорости в цилиндрических коорди- натах.
4.3. Закон сохранения количества движения для жидкой среды. Уравнения гидродинамики в напряжениях Закон сохранения количества движения (импульса) для ограниченного поверхностью 5 объема Г жидкой среды выражается уравнением цр~~' = Р р~~ ~~+ ри~Б ~й (4.22) Ъ' Я где и — вектор скорости движения центра масс жидкой среды, находящейся в элементарном объеме ЫЪ; р — плотность среды; Рт„— вектор массовой силы, отнесенный к единице массы среды в объеме И', р„— вектор поверхностной силы, отнесенный к единице площади поверхности 5, ограничивающей объем д~'' (напряжение поверхностных сил).
После деления на й уравнение (4.22) принимает вид — ирсй' = РтрИ + РпЮ. (4.23) 87 что равносильно уравнению д д д — (ри~) + (риу) + — (ри,) = О. (4.20) дх ' ду дх От использовавшихся ранее в уравнениях неразрывности декартовых координат х, у, г можно перейти к часто применяемым в гидромеханике цилиндрическими координатами т, О, ~. декартовы и цилиндрические координаты связаны соотно- шениями Левая часть уравнения (4.23) преобразуется с помощью формул (4.9) и (4.10) дифференцирования интеграла по движущемуся обьему жидкой среды. В данном случае А = ир, поэтому дри д(риих) д(рии~) д(рии,) й дх ду д~ д(ри) д(ри) д(ри) д(ри) + их + и~ + их + й дх др де +ри — + — + сЛ' = р — ~Л/+ + и — + рй~и ЫК (4.24) ф Если в выделенном объеме отсутствуют источники и стоки, то последний интеграл в (4.24), согласно уравнению неразрывности (4.16), равен нулю, Тогда (4.25) Соотношение (4.25) указывает на важную для математического описания неустановившегося движения жидкой среды связь между изменениями во времени интегрального и местных значений количеств движения.
Чтобы получить уравнение движения жидкой среды (уравнение гидродинамики) в дифференциальной форме, необходимо определить р„в (4.23). С этой целью в жидкой среде выделяют бесконечно малый тетраэдр ОАВС, каждая из трех граней которого перпендикулярна соответствующей оси декартовых координат, а положение четвертой задано нормалью и (рис.
4.2). Обозначив р„р~, р, и р„напряжения на гранях тетраэдра и воспользовавшись формулой (4.25), уравнение (4.23) можно привести к виду 88 Рис. 4.2. Выделенный в жидкой среде тетраэдр р — Ы~ = Р рЫ1 — р,дЯ вЂ” р„д5 — р,с~5+ 5х 5р 5, + р„д5, (4.26) где 5„5„, 5, — проекции площади 5„грани ЛВС. Согласно теореме о среднем, из уравнения (4.26) следует с Й~ Я„Ь Р РтР— ~прд ср Яа сов(п~ у)рх ср — Яп соя(п. у)р с — Яд соя(п, х)р,,р> (4.27) где и — высота О.о тетраэдра. При и -~ ц средние напряжения р„,, р,, р„,, р,, в уравнении (4.27) стремятся к значениям напряжений в точке О, поэтому р„= рх соя(п, ю) + р~ соя(п, у) + р, соя(п, ~).
(4.28) В соответствии с равенством (4.28) напряжение в точке О жидкой среды на произвольно ориентированной площадке находится по трем напряжениям р„ру, р, на площадках, перпендикулярных осям декартовых координат и проходящих через точку О. Каждый из трех р,, ря, р, векторов, в свою очередь, можно представить тремя проекциями. Следовательно, напряжение в точке на произвольно ориентированной площад- 89 ке определяется матрицей Рхх Рху Рхх Рху Рхх Ру. = (Р;и), Рхх р„с~5 =- р.сов(п,х)+ русов(п,у)+ рхсоя(п,х) д5' = ЫК (4.29) С помощью формул (4.25) и (4.29) уравнение (4.23) можно привести к виду Р— — РР,„~ У ~ ЫЪ'=0 (430) Объем $' выбран произвольно, поэтому, чтобы интеграл (4.30) равнялся нулю, должна равняться нулю подынтегральная функция, т.е.
Йл др дру др Р— =Рр + — '+ — "+ — '. й дх ду дх ' Уравнение (4.31), описывающее неустановившееся движение жидкой среды, содержит напряжения, которые необходимо дополнительно определять. Для этого выбирают физическую модель среды. Достаточно общей является модель, в которой учтены вязкость, сжимаемость и теплопроводность жидкой среды. В технических приложениях вязкую жидкую среду часто считают ньютоновской. Для такой среды зависимость (4,31) 90 которая является тензором напряжений. Первый индекс у проекции компоненты тензора напряжений указывает ось координат, которая перпендикулярна площадке, второй — ось, выбранную для вычисления проекции вектора напряжения. В результате подстановки напряжения р„из (4.48) и применения формулы Гаусса — Остроградского последний интеграл уравнения (4.23) преобразуется следующим образом: тензора напряжений от тензора скоростей деформаций имеет вид Рхг О О ру — ( — р+ Лдйун) О 1 О + Ргг О О 1 Рхх Рху Ру* Руу Ргх Ргу ~хх ~ху ~хг + 2р сух яуу (4.32) Егх Егу Содержащаяся в (4.32) величина р — давление, которое принимают равным взятому с обратным знаком среднему арифметическому трех нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке среды, причем к вычисленной таким способом величине в общем случае прибавляют Л1тттт~н, я;т, — компоненты тензора скоростей деформаций; величина Л1 связана с объемной рт; и динамической тг вязкостью соотношением (4,33) Л1 = рт; — 2р/3.
Соответствующие уравнению (4.32) компоненты тензора. на; пряжений определяются следующими выражениями; ди, ди, ди Р = — Р+ Лтйун+ 2И вЂ”; д.х диу руу — — р+ Л1йчн+ 2р ду' ди р, = — р+ Л1йчп+ 2р —; дх ' Р*у — Рух Руг — Ргу Компоненты р,~г при г ф й соответствуют касательным напряжениям. Эти напряжения с расположенными в противоположной последовательности индексами, будут равны между собой, что следует из равенства моментов относительно произвольной оси (см. ~ 4.4). Чтобы различать касательные и нормальные напряжения вводят обозначения Рху = Рух = тху = "ух~ руг —— ргу — — ту, — — т,у,' ргх = рхг = тгх = тхг 91 При параллельно-струйном течении жидкой среды в направлении оси Ох закон трения Ньютона описывается соотношением Ди~ тдх =И ду Рассматривая совместно уравнения (4.31) и (4.32), получают в проекциях на оси декартовых координат систему уравнений движения вязкой сжимаемой среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
