Попов Д.Н., Панаиотти С.С., Рябинин М.В. - Гидромеханика (1067570), страница 16
Текст из файла (страница 16)
5.6. Положение жидкой частицы в разные моменты времени (рис. 5.6). Положение частицы на контуре АОВО задано длиной дуги 1, измеренной от точки АО. При этом положение части- цы на контуре АВ определяется радиус-вектором г = г(1,1), соответственно скорость и и ускорение а равны дг п= —, д1 д2г Ы = д1 (5.52) Поскольку интегрирование выполняется при фиксированном 1, формулу (5.51) можно представить в виде Ыг Г(1) = и — Ж, д1 (5.54) 2 1о ~о — — — +и Ж= а ° — Ж+ п — Л, (555) О Учитывая, что вдоль контура 115 где 1О длина дуги АОВО Пределы интегрирования в (5.54) являются постоянными величинами, что позволяет выполнить дифференцирование по времени подынтегральной функции в (5.55) можно вернуться к исходным переменным: в в в — а Иг+ Ы = а Иг+ — — —. Для замкнутого контура — а.
Нг, (5.56) Согласно формуле (5.56), производная по времени от циркуляции по замкнутому контуру равна циркуляции ускорения по тому же контуру. В случае идеальной жидкой среды ( см. ~ 5.1) 1 а = — — дгас1 р+ Р,п. Р (5.57) Если, кроме того, жидкая среда баротропна и массовые силы имеют потенциал, равенство (5.57) принимает вид (5,58) а = — цгас1(П + Ф). Подстановка (5.58) в интеграл (5.56) дает следующий резуль- тат: — — игаса(П+ Ф) дг = — с~(П+ Ф) = О. (5.59) ЫГ ~Й В соответствии с (5.59) имеет место равенство Г(1) = сопз1 .
116 Полученный результат выражает теорему Кельв яка (Томсона): при баротропном движении идеальной жидкой среды в поле массовых с однозначным потенциалом сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется во времени. Так как циркуляция скорости по замкнутому контуру определяет суммарную интенсивность вихревых трубок, охваченных контуром, то из теоремы Кельвина следует, что при движении идеальной баротропной жидкой среды и массовых силах, имеющих потенциал, сохраняется интенсивность вихре- вых трубок, т,е.
(5.60) (го1п п)И5 = О. Отсюда вследствие произвольного значения выбранной поверх- ности (го~и)„= О, а поскольку ориентация сечения вихревой трубки также произвольна, имеем (5.61) го1п = О. Следовательно, если движение жидкой среды вначале было безвихревым, то оно таким и сохраняется. Равенство (5.61) вместе с условиями, при которых оно получено, выражает теорему Лагранжа,. Использованный при выводе (5.61) интеграл (5.60) указывает на то, что существующее в начальный момент времени вихревое движение при идеальной жидкой среде будет сохраняться.
В действительности вихревые движения могут возникать и исчезать вследствие наличия в жидкостях и газах внутреннего трения. Причиной вихреобразования в идеальной жидкой среде может быть нарушение условия ее баротропности, если плотность среды зависит не только от давления, но и от температуры. Вопросы для самопроверки 1. Вычислите интеграл Бернулли в случаях движения идеальной жидкости и совершенного газа. 2. В каком случае вычисляют интеграл Лагранжа. — Коши? 3. В чем состоит особенность движения газа в трубе с изменяющимся по длине поперечным сечением? 4.
При каком условии движение жидкой среды может быть безвихревым? 117 Если в момент времени, принимаемый за начальный во всем занятом жидкой средой пространстве, движение безвихревое (го1и = 0), то в любой другой момент времени Глава 6 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 6.1. Функция тока и потенциал скорости В некоторых случаях движение жидких сред в различных устройствах и машинах приближенно можно считать плоско- параллельным. Поэтому изучение таких течений представляет практический интерес*. Плоскопараллельное движение жидкой среды — движение, при котором ее скорость параллельна некоторой неподвижной плоскости и не зависит от расстояния до этой плоскости.
Выберем в качестве таковой плоскость хОи 1рис. 6.1). Поле скоростей во всей области потока полностью определяется проекциями ик и и~ в плоскости хОр. По определению, проекция скорости и, = О, и диа ди~ — "=О. д~ дх Плоскопараллельное течение жидкой среды вдали от концов цилиндрического крыла показано на рис.6.1. Все частицы жидкой среды, например М1, М', лежащие на одном и том же перпендикуляре к плоскости хОу, движутся одинаково.
При плоскопараллельном течении поверхности тока, поверхности равного потенциала и сечения трубок тока являются цилиндрическими. Их образующие перпендикулярны плоскости Седоб Л.И. Плоские задачи гидродииамики и аэродинамики. 2-е изд. М.: Наука, 19бб. 118 Рис. 6.1. Плоскопараллельное движение лОд, а направляющими являются соответствующие линии в этой плоскости (см. рис. 6.1).
Объемные и массовые расходы жидкости, приложенные к обтекаемым телам силы, а также другие величины будем относить к высоте О этой цилиндрической поверхности, поэтому размерность такого расхода м (с, размерность силы Н/м и т.д. Рассмотрим установившееся движение идеальной несжимаемой жидкой среды.
Плоскопараллельное движение может быть потенциальным или вихревым. Вследствие равенства нулю производных (6.1) из уравнений (3.29) — (3.31) следует, что вихри в плоскопараллельном движении могут иметь только одну проекцию угловой скорости: (6.2) и вихревые линии перпендикулярны плоскости хОу. Согласно (3.14), уравнение линии тока имеет вид и и 119 В соответствии с (4.19) уравнение неразрывности в данном случае можно представить следующим образом: ди, ди„ вЂ” + — Р=О.
дх ду Это уравнение позволяет ввести некоторую функцию ф(х, у) плоскопараллельного движения, называемую функцией тиока. Так как по уравнению неразрывности ди~/дх = — дия/ду, дифференциальное выражение — ияйх+ и Ну соответствует полному дифференциалу функции тока: (6.3) Йф = — иясЬ + и с~у. Поскольку ду д9 Иф = — и',х+ — и'д, дх ду функция тока связана со скоростями соотношениями д4 д4 (6.4) — = — и„, — =и.
дх "' дд Подсчитаем расход жидкости через цилиндрическую поверхность, перпендикулярную плоскости хОу (рис. 6.2), Высота этой поверхности равна единице, а дуга АВ является ее следом на указанной плоскости. Элементарный расход равен дЯ = и„Ж = — ияйх + ихйу, где М1М2 = Й, М1М~1 — — — Ых, М1Мг = иу. Принимая во внимание (6.3), получаем (6.5) ( — иус1х+ их~1у) = й~ = Ф — ФА. (6.6) 120 Следовательно, расход жидкости через отрезок линии, проведенный между двумя точками плоскости, равен разности значений функции тока в этих точках.
Положительное значение расход имеет при течении в сторону возрастающих значений ф. Рис. 6.2. Трубка тока в плоско- параллельном движении (6.7) (бр = и Йх+ иуду, а так как (см. ~ 3.5) с~ьр = — Ых + — Ыу, д(р д~7 дх ду то потенциал скорости связан со скоростями соотношениями — их — иу др (6.8) дх ду Найдем циркуляцию скорости вдоль дуги (см. рис. 6.2). Элементарная циркуляция ЫГ = — и,й = и их + иуоу. С учетом (6.7) (6.9) йГ = И~р. Интегрируя (6,9), получаем В Г = (ийх+ иуду) = йр — ~рв — 'рА. (6.10) 121 Расход сквозь линию тока равен нулю, поэтому, согласно уравнению (6.5), Нф = О.
Следовательно, на линии тока функция тока постоянна, т.е, ф(х,у) = сопя1, где постоянная в правой части различна для разных линий тока. Уравнение (6.2) показывает, что в случае безвихревого движения диу/дх = ди~/ду, поэтому дифференциальное выражение и,0х + иуцу соответствует полному дифференциалу функции И у)- Рис. 6.3. Ортогональная сетка течения 6.2. Комплексный потенциал течения. Суммирование потоков Соотношения (6.4) и (6.8) показывают, что д~ Ь' дю дФ ит = — = —, и„= — = — —.
дх др' " др дх В теории функций комплексного переменного эти условия называются условиями Коши — Римана и доказывается, что = Ю(х, Ю) + И(х, я) (6.12) (6,11) 122 Таким образом, циркуляция скорости вдоль отрезка линии, проведенной между двумя точками плоскости, равна разности значений потенциала скорости в этих точках. Положительное значение циркуляция имеет при течении в сторону возрастающих значений ~р. Линию равного потенциала, или изопотенциальную линию, описывает уравнение у(х,у) = О. В соответствии с (6.9) на линии равного потенциала 0Г = и,й = О, отсюда и, = О, и эта линия будет перпендикулярна линии тока.
Линии тока и равного потенциала наглядно изображают поток, образуя ортогональную сетку течения (рис. 6.3). Если в уравнениях (6.4) и (6.8) к функции тока и потенциальной функции добавить постоянную величину, то проекции скоростей не изменятся. Следовательно, ф и ~р определены с точностью до аддитивной постоянной. является аналитической, или регулярной, функцией комплексного переменного =*+и Подставляя в это уравнение производные ~р и ~ из (6.11), полу- чаем связь производной комплексного потенциала, с проекция- ми скорости — -~в — = й = их — 1ир — — ~и~е и'х (6.13) Здесь й = их — ~и~ — — и~е ~ — со— рВ пряженная комплексная скорость в отличие от комплексной скорости и = и, +~ и~ — — ~ и~ е~~.
Следовательно, производная комплексного потенциала в какой-либо точке соответствует сопряженной комплексной скорости в этой точке (рис. 6.4). Модуль такой производной равен абсолютному значению скорости, а. аргумент, взятый с обратным знаком, определя- Рис. 6.4. К определению производной комплексного потенциала 123 Функцию (6.12) комплексного переменного, действительная часть которой равна потенциалу скорости, а мнимая— функции тока, называют комплексным потенциалом. Потенциал скорости и функция тока, как ранее показано, можно найти с точностью до постоянной, поэтому комплексный потенциал определен с точностью до комплексной постоянной. Введение комплексного потенциала упрощает запись формул, вычисления скоростей и позволяет использовать для решения задач плоскопараллельного течения метод конформных отображений (см.
~ 6.4), Согласно определению производной функции комплексной переменной, имеем Иш . Лш . Ьу+ ~Хф . Лу+ ~'~ф — 1пп — = 1пп 1ип Ых Ьх~О Ле Ьх-~О ЬУ Ьр~О д~р д4 д~ . д~р +3 = 2 дт дт д~ д~ ет направление скорости в рассматриваемой точке. Примеры комплексных потенциалов приведены в следующем параграфе. Плоскопараллельные потенциальные потоки несжимаемой жидкости можно суммировать, получая из простых течений более сложные. Просуммировав функции тока ф1 и У>2 двух течений, найдем Ф1(~> У) + Ф2(~> У) = Ф(~> У) ° Функция ф(х, у) является функцией тока течения, скорость которого в каждой точке представляет собой сумму скоростей двух потоков, Действительно, в соответствии с уравнениями (б.4) имеем д'>'> дй1 Ь 2 и~ = — + — — и1 +и2 ду ду ду ~'Ф д4'1 д 4~2 и„= — — = — — — — =и1 +и2.
д Ь д На линии тока суммарного течения ф = сопз1, поэтому она проходит через точки плоскости с одинаковыми значениями Ф1 + Ф2. Если ~р1 и у2 — потенциалы скоростей суммируемых потоков, то будет потенциалом скорости суммарного потока. Тогда комплексный потенциал и суммарного потока равен сумме комплексных потенциалов ю1+ ю2 каждого из потоков: ы = ~+.1'Ф = Ю1+ЗФ1+ ~ 2+~12 = = (~>1 + 'Р2) + 3(Ф1 + Ф2) = п>1 + к~2 Уравнения для у>, и~ и иу, <р, иг легко обобщить на случай любого конечного числа потоков. 6.3. Примеры плоскопараллельных потенциальных потоков Однородный поступательный поток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
