Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для нахождения фазовой траектории необходимо проинтегрировать уравнение (7.6). Интегрирование может быть выполнено аналитически, численно или с помощью вычислительной машины. 147 Определим фазовую траекторию для линейного дифференциального уравнения о/ох —, +аох=О. (7.7) Данное уравнение после применения соотношений (7.4) приводится к системе уравнений первого порядка о(х/о(/ =у; /(у/Й = — а,'х, откуда о/у/о/х = — а,'х/у или у о!у = — а,'х Нх.
(7.8) В результате интегрирования уравнения (7.8) имеем у'+ а,'х' = С. (7.9) Постоянная С находится из начальных условий. Пусть при 1 = 0 (х),, = х„(о(х/о(о)о о = 0; тогда С=а хо и решение (7.9) принимает вид х' уо — -)- =1 (7.10) хо аохо Фазовая траектория по уравнению (7.!0) является эллипсом с полуосями х, и а,х, (рис. 7.8). При изменении значения х,, т.
е. начального условия, получим фазовый портрет в виде семейства эллипсов (штриховые линии на рис. 7.8). Так как уравнение (7.7) имеет решением х = хо з (п ао/, то очевидно, что этому фазовому портрету соответствуют гармонические незатухающие колебания с различными значениями амплитуды х,. При нелинейных уравнениях не всегда удается разделить переменные и определить фазовые траектории непосредственным интег. рированием уравнения (7.6). Тогда можно применить графические методы, из которых здесь будет рассмотрен только один, называемый методом изоклин.
В уравнении (7.6) производная о(у/о/х является тангенсом угла наклона касательной к фазовой траектории в данной точке. Учитывая это обстоятельство, обозначим дуЫх = й/, после чего уравнение (7.6) запишем в виде /оо=я(х, у)/Р(х, у). (7.11) При фиксированном значении /о/ по уравнению (7.11) на фазовой плоскости можно провести кривую, представляющую геометрическое место всех точек, в которых наклон касательных к фазовым траекториям равен выбранному значению /у'. Эта кривая назы- !48 вается изоклиной. Лля ряда значений М уравнение (7.11) позволяет построить семейство изоклин М„М„М„М, и т, д. (рис.
7.9). Построив изоклины, нанесем на фазовую плоскость согласно начальным условиям точку А, из которой затем проведем две прямые так, чтобы тангенсы углов их наклона к оси х составляли соответственно М, и М,. На участке между изоклинами М, и М, наклон касательных к фазовой траектории меняется от М, до М, следовательно, можно принять, что фазовая траектория лежит внутри угла, образованного этими касательньгми, и пересекает изоклину М, в точке В. Проведя из точки В прямые с наклонами М, и М„ возьмем между ними Рис. 7.8. Фазовая траектория при движении системы с незатухающими гармоническими колебаниями х = = хо зги ыот Рис. 7.9. Построение фазовой траекто- рии по изоклинам точку С на изоклине М, и т.
д. Соединив полученные точки отрезками прямых, найдем фазовую траекторию в виде ломаной линии, которая будет тем ближе к действительной траектории, чем чаще расположены на фазовой плоскости изоклины. Для примера можно привести построение изоклин и фазовой траектории по уравнению Ван дер Поля 125] (7.12) Лзх г1х —, — е (1 — хв) — + х = О„ у -" — е (1 — х') у+ х = О, откуда йу в (1 — хэ) у — х пх у (7.13) 149 которое описывает колебательную систему с переменным коэффициентом демпфирования. Используя соотношения (7.4), запишем уравнение (7.12) в виде Из уравнения (7.13) при г(УЫх = )т' находим следующее ура„ пение изоклины: к е(1 — х') — У ' (7.14) Для а = 0,2 на рис.
7.10 по уравнению(7.14) построены штрихо выми линиями изоклины при нескольких значениях й7. Если провести еще промежуточные изоклины, то с достаточной точностью можно по. / лучить фазовую траекторию, изо. //У У У 1 ) Укг браженную на рис. 7.10 сплошнои / Ууедельяээй ) . линией. При е =0 изоклины пре. вращаются в прямые линии, про. Чг) / ходящие через начало координат, а фазовая траектория — в окруж-у -г -1, ~ г д з х ность. Очевидно, что этот резуль- / 1 -1 ~ тат полностью соответствует пре. дыдущему примеру, так как урав- 1 1 ) / нение (7.12) при а = 0 совпадаег с уравнением (7.7), если в нем поу=о / у=о ложить ш"; = 1. -По имеющейся фазовой траекРис. 7.10.
Извилины и фазовый торин можно найти зависимость портрет для,уравнения Ваи дер переменной х от времени й Для этого на фазовой траектории выбираются точки О, ), 2, 3, ... с определенным по оси х расстоянием Лхь причем за исходную точку принимается та, которая соответствует заданным начальным условиям х„, у, при С = 0 (рис. 7.11, а) Если Ьх; мало, то можно У х Уэ Уэ Уэ Уэ яэ ха ла хэ хэ хэ хе х У Сэ Сс Сэ Са С и) д) 7.1!. График для определения шкалы времени по фазовой траектории Рис что скорость у = г(х)!(С в пределах рассматриваемого постоянна и равна средней: ! (У!)ср= й (У~-!+У!) считать участка 150 При этом интервал времени А/ь необходимый для перемещения по фазовой тРаектоРии из точки «1 — 1> в точкУ «1», опРеДелЯетсЯ по соотношению пг« = Ах;/(у,),, а момент времени /ы при котором значение переменной х будег равно хь, вычисляется в виде суммы /)/ь «=! После того, как для каждой выбранной точки фазовой траектории определен момент времени /ы строится график х = х (1) (рис.
7.11, б). Полученная в описанной последовательноети зависимость х от времени позволяет судить о характере процесса, максимальных отклонениях переменной х от установившегося значения, а также находить для исследуемой системы предельные циклы, отражаюгцие возникающие в системе автоколебания. 1 7.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ В том случае, когда в уравнении (7.6) Р(х, у)=0; 1',1(х, у)=0, (?.15) наклон касательной к фазовой траектории в рассматриваемой точке становится неопределенным, так как при этом «(у/«(х = О/О.
Точки, для которых справедливы уравнения (7.15), называются особыми. Особым точкам соответствуют состояния равновесия исследуемой системы в связи с тем, что согласно уравнениям (7.5) скорость «(х/Ш и ускорение «(»хЯ/« = «(у/Й для этих точек получаются равными нулю. Линейная система имеет лишь одно состояние равновесия, у нелинейной системы может быть несколько или даже бесконечное множество таких состояний. Это объясняется тем, что при линейных функциях Я (х, у) и Р (х, у) уравнения (7.15) имеют одно решение для неизвестных х и у, а при нелинейных функциях Я (х, у), Р (х, у) число решений может быть сколь угодно большим. При исследовании процессов на фазовой плоскости необходимо не только' определить местоположение особых точек, но и выяснить их тип, от которого зависит, будет ли равновесное состояние системы устойчивым или неустойчивым.
Если функции Я (х, у), Р (х, у) аналитические, то они раскладыва1отся в ряд Тейлора в окрестности особой точки. Пусть координаты особой точки х„у„ 151 тогда в результате такого разложения получим ~*,к~=~~*..ккк(н) к*к('— ,') к кю*.кк) к к ) (7.16) Я(х, у)=-(((х У ) +( — ) Лх+(д — ) ЛУ+Юн(х, у), »=« у=хк ! где с1, (х, г), к к (х, у) содержат все члены со степенями Лх, Лу выг Лх=х — х,; Лу=у — у,. Ограничиваясь малыми отклонениями координат от координат особой точки х„у„можно пренебречь членами Я„и Р,.
Принимая во внимание, что согласно уравнениям (7.15) в особой, точке Я(х„ук) =0; Р(х„у,) =0 и, кроме того, дх д (х +ах) д (Дх) д? д( д( Ф д (у, + Ду) д (Ду) Ж получим вместо уравнений (7.5) уравнения первого приближения — =аЛх+ЬЛУ;," к оЛх+)Лу, (7.1?) где (дх)к=к ' (ду)к=к ' а=( — ); Ь=( — ) В этом случае движение системы описывается уравнением (7.7). Гакому уравнению соответствуют консервативные системы, у которых отсутствует обмен энергией с внешней средой. !52 к — к У= »к к к к=к Уравнения (7.17) являются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Соответствующему характеристическому уравнению можно придать вид )Р+ 2~в«А+ вка = О, (7.
18) где в'; = а(' — Ьс; 2ьво = — (а + (), причем в, = 1!7'. Характер фазовых траекторий в окрестности особой точки зависит от копией уравнения (7.18), которыми определяется и тип такой точки. Существует шесть рассмотренных ниже типов особых точек. 1. Особая точка типа «центр» получается при чисто мнимых корнях уравнения (7.18). В окрестности этой точки фазовые траектории представлены бесконечным множеством эллипсов (рис. 7.12, а). Чисто мнимые корни уравнение (7,18) имеет, если ь= О, во) О. 2. Особая точка типа «устойчивый фокус» получается, когда корни уравнения (7,18) комплексно сопряженные с отрицательной действительной частью.
Фазовая траектория является спиралью, Рис. 7.12. Фазоные траектории а окрестностях различных особых точек: а — центр; б — устойчивый фокус; в — неустойччвый фокус; в — устойчнвый узел; д — неустойчнвый узел: в — седло навивающейся на эту особую точку (рис. 7.12, б). Движение системы описывается уравнением („)+2~сов „, +отв,Ах=О при ь > О и ото > О. Система имеет обмен энергией с внешней средой, т. е. относится к диссипативным системам. Характер фазовой траектории показывает, что в окрестности особой точки система устойчива и притом асимптотически.
3. Особая точка типа «неустойчивый фокус» соответствует двум комплексно сопряженным корням уравнения (7.18) с положитель- 153 иой действительной частью. Фазовая траектория имеет вид раз. аорачивающейся от особой точки спирали (рис. 7.12, в). Движени~ системы описывается таким же уравнением, как уравнение (7.!9) но при ь<0 и в»)0. В окрестности особой точки система неустойчива, в ней будут возникать расходящиеся колебания из*за отрицательного демпфи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
