Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Автоколебаниями называются самоустанавливающиеся незатухающие колебания, которые существуют в системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, причем амплитуда и частота колебаний определяются свойствами самой системы. Этим авто. колебания отличаются от вынужденных колебаний, частота и ампли. туда которых непосредственно зависят от частоты и амплитуды внешнего воздействия. Свободные колебания отличает от автоколебаний то, что свободные колебания затухающие и их амплитуда зависит от величины внешнего воздействия. Автоколебания могут а, д «г аг а аа а) Рис. 7.6. Системы с мягким (а) и жестким (б) возбуждением автоколебаний быть близки к гармоническим колебаниям, если малы потери энергии в системе.

Если рассеивание энергии в системе будет значительным, то автоколебания по форме существенно отличаются от синусоидальных, превращаясь в релаксацнонные колебания. Энергетическим условием существования автоколебаний является баланс притока энергии в систему от внешнего источника и потерь энергии в системе за период колебания. Такой баланс может наступить только при определенных значениях амплитуды автоколебаний. Если в систему приток энергии Э, больше, чем потери энергии Э в ней при любых сколь угодно малых амплитудах а колебаний, то автоколебания с амплитудой ао будут самовозбуждающнмися (рис. 7.б, а). Если при амплитудах колебаний меньше аз потери Э энергии в системе оказываются больше притока энергии Э„то автоколебания могут возникнуть только после того, как в системе возникнут отклонения с амплитудой а ) а, (рис.

7.6, б). В этом случае установятся автоколебания с амплитудой аз. Такие автоколебания имеют жесткое возбуждение. При амплитуде а, автоколебания неустойчивы, так как малейшее отклонение от э~ого значения амплитуды приводит либо к затуханию колебаний из-за недостаточного при- 144 тока энергии в систему, либо к увеличению амплитуды колебаний до значения а, из-за превышения притока энергии над потерями в системе. При гармоническом изменении входной величины закон изменения выходной величины у нелинейного элемента нли системы отличается от синусоидального. Кроме того, в некоторых случаях увеличение частоты колебаний входной величины может сначала вызывать увеличение амплитуды выходной величины, а затем прп незначительном приращении частоты — резкое снижение этой амплитуды.

Такое явление называется резонансом со скачком. При резонансе со скачком зависимость амплитуды выходной величины от частоты возмущающих колебаний получается неоднозначной, резонансный пик изогнут в направлении увеличения частоты или в обратную сторону (рис. 7.7). Резонанс со скачком можно обнаружить в системе, обладающей массой, вязким трением и нелинейной зависимостью восстанавливающей силы от перемещения массы (например, нелинейная характеристика пружины). другая особенность в поведении нелинейных систем характеризуется 6Р наличием частотного захватывания, при котором у двух соединенных Рис. 7.7. Резонанс со скачком вместе нелинейных систем собственные частоты сводятся к одному значению, как только разность между ними становится малой.

Переход к изучению нелинейных систем автоматического регулирования сопровождается усложнением математического аппарата, так как анализ и расчет таких систем приходится вести по нелинейным дифференциальным уравнениям. При этом не может быть применен принцип суперпозиции и, следовательно, отклик системы на произвольное входное воздействие не находится в виде суммы откликов на последовательность скачков или импульсов. Переходный процесс, вызванный в нелинейной системе ступенчатым воздействием, по форме кривой получается различным при изменении величины скачка. Вследствие стмеченных особенностей процессов в нелинейных системах для описания таких систем не могут быть использованы независимые от вида и значения входного воздействия передаточные функции, которые оказались столь эффективными при исследовании линейных моделей систем. К настоящему времени в теории автоматического регулирования развиты и находят применение при исследовании нелинейных систем различные методы.

Они делятся на точные и приближенные. К точным методам анализа нелинейных систем относят прямой метод Ляпунова, метод фазовых траекторий и точечных пре образований, частотный метод В. М. Попова, метод припасовы. вания. Из приближенных методов наиболее широко используется метод гармонической линеаризации, который по идее близок к методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, а по результатам — к методу малого параметра Б.

В. Булгакова. В ме. тоде гармонической линеаризации, по сути дела, распространены частотные методь| исследования линейных систем на нелинейные системы. При этом вместо передаточных функций вводится свое. образный аналог, названный эквивалентным комплексным коэффи. циентом усиления [5[. Расчет конкретных систем автоматического регулирования обычно выполняется на аналоговых или цифровых вычислительных машинах. Однако несмотря на то, что вычислительные машины позволяют рассчитывать сложные нелинейные системы, аналитические методы исследования продолжают играть важную роль при проектировании реальных систем. Это объясняется возможностью получения с помощью аналитических методов более общих результатов с хорошо обозримыми закономерностями, определяющими влияние различных параметров на поведение исследуемой системы.

Кроме того, составление программы для расчета на вычислительной машине в случае несложной системы может потребовать большей затраты времени, чем анализ одним из указанных выше методов. При исследовании нелинейных систем автоматического регулирования рассматривается тот же круг задач, что и при исследовании линейных систем, но, кроме того, проводится анализ условий существования и устойчивости гвтоколебаний. Очевидно, что в зависимости от вида задачи и свойств исследуемой системы может оказаться целесообразным применение различных методов. Так, задачи об устойчивости нелинейных систем решаются прямым методом Ляпунова, частотным методом В.М.

Попова, методом фазовых траекторий и точечных преобразований, методом гармони. ческой линеаризации. Последние два метода широко используются также для определеяия параметров автоколебаний и позволяют вычислить переходные процессы в системах. Метод гармонической линеаризации особенно удобно применять при исследовании нелинейных систем, описываемых. дифференциальными уравнениями высокого порядка. Для расчета переходных процессов может служить метод припасовывания, основанный на решении линейных дифференциальных уравнений в пределах линейных участков характеристик элементов.

При переходе от одного участка к другому сменяются решаемые уравнения, причем значения переменных и их производных, полученные в конце предыдущего решения, являкпся начальными условиямн для последующего решения. Необходимый объем вычислений оказывается большим, и метод становится особенно трудоемким, если нелиней- 146 яые характеристики аппроксимируются несколькими кусочно-линейными участками, При решении задач динамики и регулирования гидро- и пневмосистем наибольшее применение получили метод фазовой плоскости и метод гармонической линеаризации, поэтому в дальнейшем излагаются эти два метода. 4 7,3.

ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ И ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ При исследовании систем автоматического регулирования, описание динамических свойств которых приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка, оказывается чрезвычайно полезным геометрическое представление решений этих уравнений. Особенно целесообразным такой прием исследования становится, если система является автономной. Автономной называется система, не подвергающаяся внешним воздействиям и не содержащая параметров, изменяющихся в зависимости от времени.

Дифференциальное уравнение автономной системы второго порядка, записанное для переменной х подстановкой дх оох оу оу ох оу Ш ' о7о Ш охщ ох' (?.4) может быть заменено системой двух уравнений первого порядка — =Р(х, у); — "=47(х, у).

(7.5) Разделив уравнения (7.6) почленно, имеем о(у/дх=Я(х, у)7Р(х, у). (7.6) Уравнение (7.6) является дифференциальным уравнением кривых на плоскости с системой декартовых координат х, у. Плоскость, по оси абсцисс которой откладывается переменная х, а по оси ординат — скорость изменения этой переменной у = дх/Й, называется фазовой.

Точка фазовой плоскости, координатами которой в рассматриваемый момент времени полностью характеризуется состояние исследуемой системы, называется изображающей. При изменении состояния системы изображающая точка описывает на фазовой плоскости некоторую кривую, называемую фазовой траекторией. Фазовая траектория является интегральной кривой, получаемой по уравнению (7.6) при заданных для исследуемой системы начальных условиях: (х),,=хо', (о(х/Й)~ о=уо Семейство фазовых траекторий, соответствующих различным начальным условиям, образует фазовый портрет исследуемой системы.

Характеристики

Список файлов книги