Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 30
Текст из файла (страница 30)
7,! Коаефиииенты гармонинеской иинеарихации Матехгатинеское описание неиинейнои харак- теристики аид неаинейвой характеристики и'(',х) « ( вх) "вх ггах ватт я! Хвых' = К (а,х яп я! — Ь) г) (гтвх) = 4КЬ = — — Х лает д (а,х) = при 0(я(~ — -; 2' =-'„(-;-+р+ ! + — яп2р) 2 иных = К (гтвх — Ь! х(! — —,) ! авх) Ь аы" да хэ играл г ~Ъ ' К= Ьуа при — ( я! (л — Ь; л 2 Хвых = = К (авх яп я(+ Ь) при л — й~я((л отличительной особенностью которой по сравнению с передаточными функциями линейных звеньев является то, что ее коэффициенты (с гистерезисными петлями) коэффициенты г)' (а„, от) не равны нулю, что согласно соотношению (7.29) говорит о наличии зависимости выходной величины от производной входной величины по времени. Коэффициенты гармонической линеаризации г) (а,х, го) и д' (а„., от) при типовых нелинейных характеристиках не зависят от частоты, и поэтому они обычно обозначаются соответственно г) (а,х) и г)' (а,х).
Метод исследования нелинейных систем, основанный на применении гармонически линеаризованных уравнений, называется методом гармонической линеаризации или методом гармонического баланса. Методом гармонической линеаризации решаются задачи, связанные с исследованием и определением параметров автоколебаний, проверкой отсутствия автоколебаний в системах, с определ:ением частотных характеристик замкнутых нелинейных систем, с анализом качества переходных процессов и с выбором корректирующих нелинейных элементов. В этом методе аппарат частотных характеристик, столь эффективно используемый для анализа и синтеза линейных систем автоматического регулирования, распространяется с некоторыми ограничениями на нелинейные системы.
Так, по гармонически линеаризованному уравнению (7.29) можно обычным способом найти для нелинейного звена передаточную функцию %'„(з) =г)(а,х, от)+ "' з, (7.ЗЗ) определены при гармоническом изменении входной и выходной величины. Следовательно, передаточная функция (7.33) применима только после подстановки з = ро. В результате такой подстановки получим приближенную амплитудно-фазовую частотную характеристику нелинейного звена, называемую эквивалентным комплексным коэффициентом усиления: Яг„(а,„, в)=д(а,„, ы)+)д'(а„, в). (7.34) Эквивалентный комплексный коэффициент усиления (7.34) определяет отношение А„(а„, а) амплитуды первой гармоники выходной величины к амплитуде гармонически изменяющейся входной величины и сдвиг по фазе ~р„(а,„, ы) этих величин.
Поэтому зависимости (7.34) можно придать вид %'„(а,„, а)=А„(а,„, а)еьгя(' ' "), где А„(а„, в) =)Г[д(а„, ад'+[4'(а,„, в))', ср„(а,„, в) =агс(я~ При типовых нелинейных характеристиках эквивалентный комплексный коэффициент усиления является функцией только амплитуды входной величины: В'„(а,„) = д(а,„)+/д'(а,„) (7.36) или К„(а,„) =- А„(а,„) еьх (" ), где А„(а,„) = ) ' [д (а,„))э+ [д' (а,„))з; ф„(а,„) = агс(й Ч (ч'").
Первая гармоника выходной величины у звена с типовой нелинейной характеристикой может быть определена зависимостью хц„„— — Оц„А и (иц,) з!п [Оэ(+ ф„(аз„)). Если типовая нелинейная характеристика является однозначной, то д' (а,„) = 0 и колебания на выходе звена не имеют фазового сдвига по отношению к колебаниям на его входе. Несмотря на отмеченное выше ограничивающее условие для понятия передаточной функции нелинейного звена, им удобно пользоваться при составлении структурных схем. При этом на входе и на выходе звеньев, входящих в структурную схему, могут указываться либо сами величины, либо их изображения по Лапласу.
В первом случае, строго говоря, переменная з должна заменяться в передаточных функциях символом дифференцирования р. В целях единообразия изображения структурных схем линейных и нелинейных систем в дальнейшем, как и ранее, мы будем указывать на схемах изображения входных и выходных величин, имея в виду что приводимые зависимости используются при гармоническом за. коне изменения величин. Структурные схемы нелинейных систем, содержащих нелиней.
ное звено с одной переменной входной величиной, обычно приводятся к какому-либо из двух вариантов одноконтурных систем, показанных на рис. 7.!9. Несколько нелинейных звеньев, каждое из которых имеет одну переменную входную величину, можно предварительно объединить в одно нелинейное звено, после чего получить одноконтурную структурную схему. При преобразовании структурных схем следует учитывать, что гармонические коэффициенты линеаризацив зависят от амплитуды входного сигнала и поэтому перенос нелинейных звеньев нельзя производить так же, Рнс.
7.!9. Структурные схе- мы нелинейных систем: а — нелинейное звено в праной неон: б — нелннейнос весно в неон обратной' свеев (авых)в ~ )рл (Иы) 1 ~ [ (п,„„)х ] )е'а ()тн) ] (7.37) 166 как линейных звеньев. Дополнительные трудности в преобразовании структурных схем возникают, когда в нелинейные функции входят две или более переменных, связанных между собой линейными или нелинейными дифференциальными уравнениями [5]. В основе метода гармонической линеаризацни лежит предположение о действии на входе в нелинейное звено гармонического сигнала.
На выходе нелинейного звена сигнал, кроме первой гармоники, содержит спектр гармонических составляющих с более высокими частотами. При замкнутом контуре системы автоматического регулирования эти высшие гармоники не будут существенно искажать гармонический сигнал на входе в нелинейное звено только в том случае, если они, проходя через линейные звенья, включенные в системе до и после нелинейного звена, значительно уменьшаются по амплитуде, т. е.
фильтруются. Выполнение этого условия, называемого гипотезой фильтра, является обязательным, если при исследовании системы методом гармонической линеаризации не проводится уточнение получаемых результатов с учетом высших гармоник [5]. Линейная часть системы удовлетворяет гипотезе фильтра, если где (а„м„), — амплитуда первой гармоники на выходе нелинейного звена; (а„„)» — амплитуда й-ой,гармоники на выходе нелинейного звена; )й'а ()го) — амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы. Условие (7.37) в общем случае должно выполняться при значениях й =- 2.
Если рассматриваются симметричные колебания, когда в выходном сигнале нелинейного звена отсутствуют четные гармоники, то условие (7.37) должно выполняться при й =- 3. При исследовании автоколебаний значения частот от в условии (7.37) Рис. 7.20. Влияние постоянной составляюгпеГ1 на гармоническую лииеаризапию характеристики с зоной насыщения принимаются равными частоте предполагаемых автоколебаний. Для типовых нелинейных характеристик (аим„)а ( (а„,„)т и условие (7.37) сводится к наличию отрицательного наклона у логарифмической амплитудной частотной характеристики линейной части системы, равного — 20 или — 40 дБ/дек в области исследуемых частот. При несимметричных нелинейных характеристиках, а также .в случае постоянного или медленно меняющегося внешнего воздействия на систему, содержащую нелинейное звено с симметричной нелинейной характеристикой, гармоническая линеаризация должна проводиться с учетом постоянной составляющей входного сигнала.
На рис. 7.20 показана форма выходного сигнала звена, статическая характеристика которого имеет зону насыщения. Из-за постоянного смещения х',„колебаний входной величины закон изменения выходной величины х,„м во времени отличается от ранее полученного для такого же звена при х,"„= 0 (см, рис.
7.18). С учетом 707 постоянного смещения х"„вместо зависимости (7.26) будем иметь в Хвх Хвх+ Хвхв где х,х, =а,хз1пф; хр=в1. В этом случае после гармонической линеаризации функции (7.25) получим х,„х=Р'(х,'х, а,х, в)+д(хвх, а,х, в)х,х + где 1 в) = — „~ Р (хо + а,„з[п ф а,хв соз ф) в(ф[ о 2в 1 в)= — 1 Р(хо+а,хз[пхр, а„всозхр) Мпфдвр, ов 1 в) = — 1 Р (хо+а,„з[п1Р, а,хв соя ф) созхр Й~. яовх д о Р'(х",„, а,х, в ~7(х„, а,х, д'(х',„, а,х, $ 7.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАНИЙ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ После приведения структурной схемы нелинейной системы автоматического регулирования к одноконтурной (рис. 7.19), содержащей нелинейное звено с эквивалентным комплексным коэффициентом усиления Я7„(а,х, в) и линейную часть с амплитудно.фазовой частотной характеристикой [[7, ([в) = [ввх ([в) Ю'х ()в), можно исследовать условия существования автоколебаний в такой гармонически линеаризованной системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
