Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 28
Текст из файла (страница 28)
рования (ь (О). 4. Особая точка типа «устойчивый узел» появляется при двух действительных отрицательных корнях уравнения (7.18), когда ~)! и в,)0. Вид фазовых траекторий в окрестности такой особой точки показан на рис. 7.12, г. Протекающие в системе процессы будут апериодическими сходящимися; следовательно, система асимптотически устойчива. 5.
Особая точка тйпа «неустойчивый узел» имеет место при двух действительных положительных корнях уравнения (7.18), если ь ( — 1 и в, ) О. При этом система неустойчива, возникающие в ней процессы будут расходящимися без колебаний, что следует из фазовых траекторий, приведенных на рис. 7.!2, д. 8. Особая точка типа «седло» соответствует двум действительным корням уравнения разных знаков.
Такой случай, например, возможен, если уравнение первого приближения (7.19) принимает вид лз (ах) — — в,'Лх=О. ,п2 При этом характеристическое уравнение Л» — в3=0 имеет два действительных корня -+-в, разных знаков. Дифференциальное уравнение фазовой траектории можно получить описанным в 9 7.3 методом, рассматривая вместо координат х, у их отклонения йх, Лу: д (Лу)/д (бх) = в,' Лх/Лу.
(?.20) После разделения переменных в уравнении (7.20) и его интегрирования находим уравнение фазовой траектории Лу' = в,' Лх' — С, которое можно записать в виде ва ахи пуз о с с При различных С это уравнение на фазовой плоскости дает семейство гипербол, имеющих асимптотами прямые (рис. 7.12, с) дп-- ! ., 'х. !54 Фазовые траектории показывают, что изображающие точки, не лежащие на ветвях асимптоты 7, уходят от особой точки О„ определяющей равновесие системы, По асимптоте 7 изображающая точка, казалось бы, могла прийти в точну О„но в действительности любое сколь угодно малое отклонение от гсимптоты вызовет удаление системы от состояния равновесия.
Следовательно, в окрестности особой точки типа «седло» система неустойчива. Асимптоты, которые при исследовании малых отклонений от особой точки представлялись прямыми, на большом расстоянии от нее в общем случае могут быть кривыми. Такие кривые называются сепаратрнсами (рис. 7.18). Сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на области, в каждой из которых фазовые траектории обладают различными топологическими характеристиками. Сепаратрисы принадлежат к числу г П особых фазовых траекторий. При анализе условий устойчивости в окрестности особой к л ал точки выше применялись линеаризованные уравнения, поэтому было бы неправильно утверждать, что колебания, возникаю- 1 1 щие в системе, будут неограни- 1 ченно возрастать. В нелинейной системе могут установиться автоколебания, которым на фа- Рис. 7.!3.
Сепаратрпсы! и П па фазовой плоскости соответству1ОТ зовов плоскости устойчивые предельные циклы. Предельным циклом называется изолированная замкнутая фазовая траектория, т. е. такая траектория, в сколь угодно малой окрестности которой отсутствуют другие замкнутые траектории. От предельного цикла следует отличать замкнутые траектории консервативных линейных систем. Для таких систем в сколь угодно малой окрестности одной замкнутой траектории имеются другие замкнутые траектории, соответствующие различным начальным условиям (см. рис. 7.8). Особые точки, сепаратрисы и предельные циклы по определению А. А. Андронова составляют скелет фазового портрета и являются его основными характеристиками. В расчетах систем автоматического регулирования чаще приходится встречаться с особыми точками и предельными циклами.
Необходимость определения сепаратрис возникает сравнительно редко. Особые точки находятся решением уравнений (7.!5), прп этом могут быть использованы как аналитические, так и графические методы. Решение задачи о наличии предельных циклов в исследуемой системе иногда может иметь значительные трудности.
Однако предельный цикл всегда можно определить построением фазовых траекторий в соответствующей области фазовой плоскости. Фазовая 133 траектория в виде расходящейся от особой точки спирали буде~ стремиться к устойчивому предельному циклу изнутри, а снаружи к нему будет приближаться фазовая траектория в виде навиваю. щейся спирали (рис. 7.14, а). При неустойчивом предельном цикле фазовые траектории «сматываются» с него как изнутри, так и сна. ружи (рис. 7.14, б).
Такой предельный цикл как любое неустойчивое движение не может существовать в реальной системе. При неоднозначных нелинейных характеристиках, например, таких, как на рис. 7,3, 7,4 и 7.5, фазовая плоскость не может быть непосредственно применена для исследования движений в системе, так как нарушается однозначное соответствие между положением изображающей точки и состоянием системы. В этих случаях используются многолистные фазовые поверхности. Рис. 7л4. Устойчивый (а) и неустойчивый (с) предельные циклы Для примера определим фазовые траектории на двухлистной фазовой поверхности, когда движение системы описывается уравнениями аех/д/е =с при х ( х,; (7.21) с(ех/с(/е = — с при х ~ — х,. (7.21') В области — х,( х ( х, данные уравнения перекрывают друг друга, при этом каждой точке фазовой плоскости будут соответствовать два различных состояния системы.
С помощью двухлистной фазовой поверхности можно устранить указанную неоднозначностты Определим сначала фазовые траектории, соответствующие уравнению (7.21). Дифференциальное уравнение этих траекторий имеет вид (7.22) с(у/дх=с/у; х(х,. Интегрируя уравнение (7.22), находим Уе = 2сх+ Ст, 'х ( х . (7.23) При х) — х„по уравнению (7.2!) таким же путем получаем у' = — 2сх+ С,.
(7. 23') Фазовые траектории являются параболами, которые в соответствии с уравнениями (7.23) и (7.23') заполняют листы 1 и П фазовой поверхности (рис. 7.!5, а). Изображающая точка может покинуть каждый из листов по границам, которые показаны двойными сплошными и штриховыми линиями. Наложив лист 1 на лист П так, чтобы совпадали их координатные оси, получим фазовую поверхность из двух листов, которые должны быть склеены в тех местах, где лежат указанные выше границы (рис. ?.!3, б). На полученной двухлистной фазовой поверхности изображающая точна, Рвс. 7.15.
Двухлнстная фааовав поверхность перемещаясь на листе 1 по траектории 1 — 2, в точке 2 переходит на лист П, затем в точке 3 возвращается на лист 1 и снова переходит на лист П в точке 4. Таким образом, в рассматриваемом случае фазовые'траектории с каждым обходом листов удаляются от начала координат, что свидетельствует о расходящихся колебаниях в системе. Фазовая плоскость и многолистная фазовая поверхность являются частным случаем фазового пространства, в котором определяется состояние системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего и выше порядков. Если порядок уравнения равен п, то в какой-либо момент времени состояние системы полностью определено х„х„..., х„величинами, которые являются обобщенными координатами системы и их производными по времени.
Изменение состояния системы характеризуется по-прежнему фазовой траекторией, получаемой прн движении изображающей точки в п-мерном пространстве. Понятие фазового пространства можно использовать для определения устойчивости в большом и в малом. Система называется устойчивой в малом, если не все фазовое пространство является 157 областью притяжения единственной особой точки. Система называ.
ется устойчивой в большом, если все фазовое пространство является областью притяжения единственной особой точки. Задача об устой. чивости в малом и в большом возникает только при исследовании нелинейных систем, так как линейная система либо устойчива, либо неустойчива во всем фазовом пространстве. Несмотря на общность определения состояния системы по фа. зовому пространству, возможности использования его для иссле.
дования систем практически ограничены значением п, равным трем, а наибольшее распространение получили случаи при и = 2, т. е. задачи, которые решаются с помощью фазовой плоскости или многолистной фазовой поверхности. При этом обычно рассматриваются автономные системы, а также системы с гармоническим входным воздействием. $ 7.5. МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ Для исследования границ притяжения и устойчивости предельных циклов А. А. Андронов предложил в теории нелинейных колебаний метод точечных преобразований. Этот метод особенно удобно применять, если системы содержат элементы с кусочно-линейными Унт Увч Уаз Уаг Рис. 7.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
