Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Такие модели получаются в результате линеаризации уравнений, описывающих различные физические процессы в системах автоматического регулирования. Если при линеаризации характерные черты физических явлений сохраняются, то благодаря развитой теории линейных дифференциальных уравнений имеется возможность решать задачи устойчивости и качества процессов регулирования. Разработанные в теории автоматического регулирования методы позволяют проводить не только анализ, но и синтез линейных систем.
Однако далеко не всегда оказывается допустимой указанная идеализация реальных элементов и систем, так как при замене нелинейных зависимостей линейными может не только уменьшиться точность количественных оценок процессов регулирования, но могут исказиться и даже исчезнуть качественные особенности процессов, характерных для нелинейных систем. Последняя опасность возникает при наличии в системе элементов с существенными нелинейностями, к которым относят зависимости, не линеаризуемые разложением функций в ряд Тейлора. Многие существенные нелинейности, встречающиеся при исследовании систем автоматического регулирования, могут быть представлены типовыми кусочно-линейными характеристиками.
Статические характеристики различных усилителей в общем случае изображаются в виде кривой, показанной на рис. 7.1, а (для упрощения записи индекс О у х,„и х,„, здесь и далее опущен). Если усилитель гидравлический или пневматический с управлением потоком рабочей среды посредством золотника, то входной величиной х,„является перемещение золотника, а выходной величиной х„,„— расход рабочей среды Я или скорость о выходного звена исполнительного механизма. Характеристика достаточно хорошо аппроксимируется отрезками штриховых прямых, проведенных на графике. В результате получается кусочно- линейная характеристика с переменным значением коэффициента !39 усиления на отдельных участках. Уравнение этой характеристики имеет вид Ктх,х ПРН вЂ” Ха ~ Хвх ~Х»э КтХ»+ Кй (Хнх Ха) ПРИ ХЬ ) Хвх ~ Ха — КхХ»+Кй (Хвх+Ха) ПРН вЂ” ХЬ (Хвх( — Х», (7.1) Хвых сз)дп х„ ПРИ Х,„)Хьм .Х,х - — ХЬ где К, = пьх 1да,„.Кй = лтз 1даз; тт и тй — масштабные коэффициенты.
июуиснхзанвснь- негин!сная ибснзи Рис. 7.1. Нелинейные характеристики, аппроксимирующие статическую характеристику реального усилителя: а — с цеуеменмым коэффициентом усилении; б — с зоной нечувствительностн и с зоной насмщенив; в — с зоной насмщеийв: в — с зоной нечувствительности Полагая в уравнении (7.1) К, = О, найдем уравнение статической характеристики усилителя с зоной нечувствительности и с зоной насыщения (рис. 7.1, б). Близкую к такой характеристике, например, имеет тидравлический или пневматический усилитель при золотнике с положительными перекрытиями.
При смещениях золотника в пределах положительных перекрытий рабочая среда почти не поступает к исполнительному механизму и на этом участке !40 характеристики выходная величина (расход среды или скоррсть выходного звена исполнительного механизма) может быть принята равной нулю.
Зона насыщения определяется той частью статической характеристики усилителя, где выходная величина не меняется при изменении входной величины. Наличие зоны насыщения объясняется тем, что гидравлическое сопротивление каналов от золотникового устройства к исполнительному механизму значительно превышает гидравлическое сопротивление окон, открываемых во втулке при больших смещениях золотника, либо ограничена производительность источника питания. При пренебрежимо малой зоне нечувствительности 1х,~ = О, Кт = Кэ статическая характеристика усилителя будет такой, как на рис.
7.1, в. Если известно, что при использовании усилителя Рис. 7.2. Характеристики релейнмх элементов в системе автоматического регулирования изменения входной величины меньше значений 1х,,! = 1хэ|, то зона насыщениЯ на статической характеристике не учитывается (рис. 7.1, г). Из уравнения (7.1) можно получить также две предельные характеристики, которые имеют релейные элементы. Первая из них (рис.
7.2, а) описывается уравнением х„„=, ' (7.2) 1 О прн хэ(х ~хду сз!дпх,„при х,„« — х,; х,„- х, и называется релейной характеристикой с зоной нечувствительности. Вторая х„,„= с з1 йп х,„ (7.3) называется характеристикой идеального реле (рис. 7.2, б). Уравнение вида (7.3) можно также рассматривать как зависимость силы сухого трения Р„от скорости о движения одного из элементов пары трения. В этом случае за входную величину х„ принимают скорость с, а за выходную величину х,и„— силу Р„. Значения токов при включении и отпускании электромагнитных реле могут быть неодинаковыми.
Вследствие этого характе- 141 р истики релейных элементов будут неоднозначными (рис. 7.3, а и б), Характеристику такого типа, изображенную на рис. 7.3, б, имеют не только электромагнитные реле, но и некоторые дискретные струйные элементы, у которых входной величиной х,„служит перепад давления в каналах управления, а выходной величинои х,„, — перепад давления в выходных каналах. Такого вида характеристики описываются уравнением +с при — х,<х„<со, — с при — со<х,„<+х„.
Неоднозначные статические характеристики получаются еще у механизмов, имеющих зазоры в элементах, которые передают линейные или угловые перемещения. Например, углы поворота Рис. 7.3. Неоднозначные релейные характеристики ведущего и ведомого валов, соединенных зубчатой передачей, свя. заны неоднозначной зависимостью из-за люфта в зацеплении. Вид этой зависимости изменяется с изменением вида нагрузок, преодолеваемых ведомым валом.
Если ведомый вал ие нагружен, то зависимость будет представлять типовую характеристику элемента с люфтом (рис. 7.4). К этой характеристике могут быть также приведены зависимости, учитывающие сухое трение в механизме. Например, если за входную величину принять вращающий момент М, а за выходную величину — угол поворота вала 0, то при действии на вал нагрузки в виде момента сил сухого трения М,р и момента, пропорционального углу поворота вала, М„= 10, имеем М=/гв+ М,, откуда в=(М(й) ~(М„(й), что соответствует графику на рнс. 7.4. Неоднозначными кусочно-линейными зависимостями являются статические характеристики с гистерезисными петлями, которые 142 встречаются у электромагнитных устройств.
Характеристики с петлями типа магнитного гистерезиса даны на рис. 7.5. Кроме рассмотренных выше нелинейных статических характеристик известны и другие виды нелинейностей, вызванных перемно- Рис. 7лп Характеристика типа Рис. 7.о. Кусочно-линейные аппроксимиро- «лк»фт» ванные гистерезисные петли жением переменных величин, возведением их в различные степени или тем, что в дифференциальные уравнения элементов входят нелинейные зависимости вместе с производными по времени. Некоторые из таких нелинейностей будут указаны в последующих разделах при изучении динамики гидравлических и пневматических систем. т 7.2. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕДЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ Нелинейности, которые всегда имеются в зависимостях, характеризующих свойсТва реальных элементов, различным образом влияют на поведение систем автоматического регулирования.
При слабо выраженных нелинейностях (например, малая зона нечувствительности в характеристике усилителя или незначительное сухое трение в нагрузке, греодолеваемой исполнительным механизмом) исследование линейной модели без учета таких нелинейностей приводит к результатам, которые хорошо согласуются с испытаниями реальной системы. При более сильном влиянии нелинейностей поведение реальной системы может значительно отличаться от предсказанного по линейной модели этой системы вследствие возникновения режимов, которые присущи именно нелинейным системам. Нелинейные системы могут быть устойчивы или неустойчивы в том же смысле этих понятий, как они применяются к линейным моделям систем.
Однако особенность нелинейных систем заключается в том, что, будучи устойчивыми при малых отклонениях координат от значений, определяющих исследуемый режим, они могут оказаться неустойчивыми при больших изменениях-этих координат. Соответственно возникает необходимость в проверке устойчивости в «малом» и в «большом». Кроме того, в нелинейных системах могут возникать автоколебания, определяемые при мате. матическом анализе систем как предельные циклы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
