Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Последний зависит от колебательности системы, характеризуемой по формуле (6.32) отношением мнимой части корня к вещественной. Вместо колебательности может быть использован связанный с ней другой показатель запаса устойчивости — затухание за период. При наличии комплексных корней характеристического уравнения переходный процесс имеет составляющие вида 2~ (1)=С~е "«~ з!п(а(+«р«). Через один период Т = 2п!аь амплитуда А~ = С,е "г этой составляющей уменьшится до значения ( за 1 а~ -а~(~+ — ~ -за— Ам=Сне ~ "*'1=А~а (6.37) 3атухание за период определяется отношением $1 й А~ — А~т Ают А~ А~ или, с учетом соотношений (6.32) и (6.37), в виде Ьт= 1 — е-г"л' откуда р=2п?1п~ ).
(6.38) Разделив все члены данного уравнения на аа и введя новую переменную Л=Лу а,/птт получим нормированное уравнение в форме, предложенной И. А. Вышнеградским: Лз+АЛз+ВЛ+1= О, (6.40) где А = а,!1Га~4' В аД/ а,'аз. г23 Если затухание ь, за период составляет 0,9, то р = 2,72, а если Г, = 0,98, то р = 1,57. Таким образом, чем меньше колебательност ь р, тем больше затухание ьт за период и тем больше запас устойчивости. Отношение величины максимального удаления корня $ к степени устойчивости т) указывает на возможность замены исходного уравнения уравнением более низкого порядка.
Так, чем больше это отношение, тем меньше влияние звеньев системы автоматического регулирования с малыми постоянными времени. Способы непосредственной оценки качества переходных процессов по приведенным выше трем показателям (т1, р, $) для общего случая пока не разработаны. Для некоторого узкого класса систем такие оценки могут быть выполнены после определения мажоранты (верхней кривой) и миноранты (нижней кривой), между которыми заключена кривая переходного процесса [5,7, ?О).
При характеристическом уравнении третьей степени в соответствии с различным расположением корней на комплексной плоскости можно области устойчивости, полученные в плоскости двух параметров, разбить на три подобласти с указанием вида переходных процессов. Такую задачу впервые решил И. А. Вышнеградский, Рассмотрим характеристическое уравнение ааЛ'+ а,Л'+ а1Л+ па = О. (6.39) Рассматривая только области устойчивости, можно принять Х = — й+1Я, (6.41 ) где й) О. Произведя подстановку значения Л согласно соотношению (6.41) в нормированное уравнение (6.40), получим А (й' — я') — Вй+ 1 — й'+ Зя'й+ + 1 [я (За' — яэ) — 2Айя+ Вя) = О.
(6.42) Приравняв нулю раздельно вещественную и мнимую части уравнения (6.42), найдем систему уравнений А (й' — я') — Вй = — 1+ й'- Зя'й; — 2яйА + яВ = я (я' — Зй'). (6.43) В случае комплексных корней (й + 0) из системы (6.43) уравнений имеем А = 2й+; В = =+ й'+ я'. (6.44) й2+я2 й2+мЗ При вещественных корнях (й = 0) первое уравнение системы принимает вид йэА — йВ+ 1 — йа = О, (6.45) Уравнения (6.44) и (6.45) определяют в плоскости параметров А и В ряд кривых, характеризующих соотношения между этими параметрами при различном расположении корней на комплексной плоскости и соответственно при различных видах переходных процессов.
Граница устойчивости в плоскости параметров А и В может быть получена при й = 0 нз уравнений (6.44). Так как в этом случае А = 11я', В = я', то АВ = 1. Отсюда следует, что границей устойчивости является гипербола (гипербола Вышиеградсного) — кривая 1 на рис. 6.15.
Границу области значений параметров А и В, при которых переходные процессы будут апериодическими (граница апериодичности), найдем, положив в уравнениях (6.44) я = О. А= '+',й'; В= "+' п2 ' а Построенные по этим соотношениям кривые 2 и 3 также даны на рис. 6.15, они определяют границу апериодичности аЬс. В точке Ь, где А = В = 3, уравнение (6.40) принимает вид (Х -1-1)' = 0; следовательно, в этой точке все три корня равны: Л, =Л, =Л,= — 1. При значениях параметров А и В, лежащих вие области апериодичности (область П на рис. 6.15), два корня уравнения (6.40) 124 будут комплексные и один вещественный.
Для вида переходного и оцесса важное значение имеет взаимное расположение этих корней. ближе к мнимой оси может быть расположен вещественный корень нли, наоборот, к мнимой оси будут находиться ближе два комплексных корня. Граничным будет случай, когда все три корня располааются на одинаковом расстоянии от мнимой оси.
При этом степень устойчивости 21 должна быть равна максимальному удалению $ корня в плоскости корней )ь. о т г з а у б т в у гр и д Рис. 6дб. Границы устойчивости,, апернодичности, монотонности и колебательности переходных процессов в системе третьего порядка Для уравнения (6.40) по формулам Виста )11)12)гз Если )11= — Гх+)го, )12= — й — Ръ, то да= 1/(~2+ Ф) откуда в случае и = $ ос= 1Яссз+Ф).
Данное соотношение позволяет получить из системы (6.44) уравнение границы (н( (рис. 6.15), разделяющей параметров А и В на области 1' н 111, Это уравнение 2Аз — 9АВ+ 27 = 0 (6.46) уравнений плоскость имеет вид (6.47) Расположение корней и графики переходных процессов дл„ всех трех областей 1, П и П1 значений параметров даны на рис. 6.15. В плоскости параметров А и В кроме границ областей 1, П н Ш могут быть также построены линии равных значений й, й, )-, (или ~,) [70). Области Ш значений параметров А и В соответствует более близ.
кое расположение к мнимой оси комплексных корней, поэтому д У 1 77 4 ХУ 7ЮУА Ю) ,л д У,Ю 1,4 1,У У,д У,д у=да Рис. 6.16. Линии равных значений степени устойчивости (а), максимального удаления корня от мнимой оси (б) и колебательности (в) д 11 74УЮ 7УУ Ю1 линии равной степени устойчивости й строятся по уравнениям (6.44) при й = й. Выше границы сЬс( линии равных значений й находятся по уравнению (6.45) при а = 7), так как областям 1 и П соответствует более близкое расположение к мнимой оси вещественного корня. Этн линии будут прямыми. Линии равной степени устойчивости нанесены на рис.
6.16, а. Линии равных значений $ строятся по тем же уравнениям при й = $. Однако при этом система уравнений (6.44) используется в пределах области 1, а уравнения (6.45) — в пределах областен П и 1П (рис. 6А6, 6). )26 д У 7 К 4 3 7 д17Ю4ХЮ7ЮУ а) л-Юдйддд(Ю (д ЮЮЮ=У в У Ю 7 У Х 4 Ю г 1 11 д У ад 74 7 ,)У Ю ,йг х 14 4 1У Ю Н7 1 уравнения, определяющие линии равных значений колебальности и (рис.
6.16, в), находятся из системы уравнений (6.44) после подстановки ы = )Тй. Диаграммы с линиями равных значений 7), $ и р позволяют зыбРать паРаметРы системы, описываемой УРавнением тРетьего порядка, а.также определить вид переходного процесса по известным параметрам системы. ! ц5. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Точность системы автоматического регулирования оценивается по ошибкам, с которыми воспроизводятся заданные значения регулируемой величины.
Чем выше точность системы, тем меньше зти ошибки. В одной и той же системе автоматического регулирования ошибки получаются различными в зависимости от того, задающим, возмущающим или и тем и другим воздействиями они вызваны. Для одноконтурной системы (рис. 4.12) в соответствии с прин. ципом суперпозиции изображение ошибки будет следующим: е (е) = Ф,е (з) и (з) + Ф„) (з) 7"(з). (6.48) После подстановки значений передаточных функций Ф, (з) и Ф ) (з) согласно соотношениям, приведенным в $ 4.3, зависимость (6.48) принимает вид 1 ))г, (е) е(з)= ( д(з)+ + „() 7'(з). (6.49) Передаточные функции Ю', (з) и %', (з) могут рассматриваться соответственно как передаточные функции регулируемого объекта и регулятора.
В общем случае эти функции приводятся в виду К~,(Ь ~е~'+Ь~ р'и' '+" +Ьм) . )Р,(з) — '„,( ™ „,+ „, + "'+ ) (6.50) ))7 ( ) А~~(Ь~де +Ьп~,-,и ' +...+Ь~е) (6 5!) Р'(ап~ь"'+апа ~еп2-1 ! .+ам) Значения тт и т, в передаточных функциях (6.50) и (6.51) зависят от числа интегрирующих звеньев, входящих в-систему автоматического регулирования. Если регулируемый объект и регулятор не содержат интегрирующих звеньев, то т, = т, = О.
При наличии в регулируемом объекте и в регуляторе по одному интегрирующему звену т, = т, = 1. Возможны и другие соотношения целых численных значений т, и т, в зависимости от распределения интегрирующих звеньев между регулируемым объектом и регулятором. Разомкнутая система автоматического регулирования без интегрирующих звеньев называется статической, а разомкнутая система автоматического регулирования с одним или с несколькими интегрирующими звеньями называется астатической.
По числу интегрирующих звеньев определяется порядок астатизма системы, 127 при одном интегрирующем звене — астатизм первого порядка при двух — астатизм второго порядка. Для определения ошибок в установившемся режиме (при Е -о Оо) подставим передаточные функции (6.50) и (6.51) в зависимост~ (6.49) и воспользуемся теоремой операционного исчисления о про.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
