Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Граница Р- разбиения определяется из уравнения (5.30) после приведения его к виду Р ()в) + КЯ ((в) = О, (5.31) откуда К = — Р (/в)/Я (/в) = Х (в) + /У (в) . (5.32) По зависимости (5.32) для значений в от — оо до +оо на комплексной плоскости коэффициента К проводится граница Р-разбиения, причем сначала строится кривая при 0 ( в (+оо, которая затем дополняется зеркальным отображением этой кривой относи- льно вещественной оси.
Полученная граница штрихуется слева при изменении ет от — оо до +оо. Переход с незаштрихованной стороны границы на заштрихованную означает, что такое изменение оэффициента К приводит к перемещению корня характеристического уравнения с правой полуплоскости в левую. Если же пере- од через границу происходит с заштрихованной стороны на незаштрихованную, то в плоскости корней соответственно корень перемещается из левой полуплоскости в правую. Для определения значений параметра К, обеспечивающих устойчивость системы, необходимо среди областей, выделенных границей Р-разбиения в плоскости этого параметра, отыскать такую, которой отвечает наибольшее число корней слева от мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения. Если это Рис.
5.9. ьт-разбиение плос- кости параметра К: а — аааснссть К; б — плос- кость Л число будет равно степени характеристического уравнения, то полученная область значений параметра К определяет устойчивость системы. В качестве примера проведем Р-разбиение плоскости параметра К, входящего в характеристическое уравнение Лз+Лз+Л+К=О, (5.33) Решив данное уравнение относительно К, получим К = — Л' — Ла — Л. (5.34) После подстановки в зависимость (5.34) Л =1ет имеем К а( (а (5,35) Для значений ет от — оо до +оо на рис. 5.9, а построена граница Р-разбиения, которая вьщеляет в плоскости параметра К три области 1, 11 и 111. Наиболее вероятной областью значений параметра К, обеспечивающих расположение всех трех корней характе.
Ристического уравнения (5.33) в плоскости Л (рис. 5.9, б) слева от мнимой оси, является область 1, так как попадание в эту область из двух других связано с переходом границы с незаштрихованной ее стороны на заштрихованную. При этом в плоскости Л корни 4» перемещаются из правой полуплоскости в левую (стрелки А иа рнс. 5.9). Лля определения числа корней, лежащих слева от мнимой оси плоскости л, при значениях К в пределах области 1 вычислим корни уравнения (5.33) при К = О: Гз Увеличение значений К от 0 до 1 приводит к попаданию в об. ласть ! с незаштрихованной стороны на заштрихованную. При этом нулевой корень в плоскости Х с мнимой оси смещается в левую полуплоскость и все три корня располагаются слева от мнимой оси.
Следовательно, значения К, определяемые областью у, обеспечивают устойчивость системы, имеющей характеристическое уравнение (5.33). У реальных систем параметры являются вещественными числами, поэтому должны рассматриваться только значения параметра К в пределах от О до 1. Метод Р-разбиения применяется также при исследовании влияния на устойчивость двух параметров, линейно входящих в характеристическое уравнение.
Предположим, что после подстановки Х = /в характеристическое уравнение (5 11) может быть представлено в виде рР (ув) + тЯ (ув) + У! (ув) = О, (5.36) и, (в), (уе (в) Ур (в), р'е (в) — и,(а), (уе( ) — "я(в) 1'е(в) и,(в), — и,( ) Ур(в), — (уа(в) (5.40) (5.4!) 52 (5.42) Задавая различные значения в по формулам (5.39) — (5.42), в плоскости параметров уо и т можно построить границу Р-разбие- где р и т — параметры, влияние которых на устойчивость системы необходимо исследовать.
Выделив в каждом члене уравнения (5.3б) вещественную и мнимую части, получим два уравнения р(Ур(в)+т(Уе(в)+(Уа(в) =0; (5.31) рр р(в)+эре(в) + $'я (в) = О, (5.38) в которых (ур (в), (уе (в) и (уа (в) — вещественные части соответственно Р (ув), Я (ув) и У! (ув), а Ъ'р (в), Уе (а) и Ъ'л (в) — коэффициенты мнимых частей тех же функций. Из решения системы уравнений (5.37) и (5.38) имеем 9 =Л„уб; ч=Л,уб, (5.39) яия, При го = О и ш =+оо обычно получаются так называемые ~побыв прямые.
В этом случае Л = Л, = гхз = О и одно из уравнен„й системы (5.37) — (5.38) становится следствием другого. Штриховка границы Р-разбиения производится так, чтобы при перемещении вдоль границы в сторону увеличения го заштрихованная сторона была слева, когда Л ) О, и справа, когда Л ( О. Граница проходится дважды: один раз при изменении ш от — оо до О, а второй раз — при изменении го от О до +со.
Однако штрихуется граница оба раза с одной стороны, так как чаще всего знак Л меняется при ш = О и ш = оо. Через точки, соответствующие этим предельным значениям ш, обычно проходят и особые прямые, которые штрихуются так, чтобы заштрихованные и незаштрихованиые стороны особой прямой и основной границы были обращены друг к другу в окрестности точки их пересечения (рис. 5.10). Рис. 0.10. О-рвзбиеиие плос- кости двух периметров Рнс. 0.11.
Гипербола Вышке. градского Следует заметить, что указанной ориентацией штриховки предусматривается принятый выше порядок написания уравнений (5.37) и (5.38) и такая же последовательность расположения в них исследуемых параметров. При этом )х откладывается по оси абсцисс, а т — по оси ординат. После построения и штриховки кривой и особых прямых границы Р-разбиения определяется наиболее вероятная область устойчивости. К ней должна быть отнесена та область значений параметров 1г и т, попадание в которую сопряжено с наибольшим числом переходов с незаштрихованной стороны на заштрихованную.
Предполагаемая область устойчивости проверяется по одному из рассмотренных выше критериев, причем берется пара иисленных значений параметров (г и и для этой области. Если условия устойчивости выполняются для этих значений (х и т, то они выполняются для всей выделенной области. Лля примера Р-разбиения плоскости параметров можно провести этим методом решение задачи Вышнеградского, которая в своем первоначальном виде была решена с помощью алгебраических 101 критериев. Пусть дано характеристическое уравнение Ла+ рЛз+ УЛ+ 1 = О.
(5.43) При Р-разбиении плоскости параметров р и т уравнение (5.43) записывается в виде рЛз+УЛ+(Ла+1) = О, откуда после подстановки Л =)а имеем — роР + 1 + 1' (тоз — оР) = О. Последнее уравнение приводится к системе р( — в')+т 0+1=0; р О+ты — оР=О. (5.44) Для этой системы определитель 1 — в', 0 э О, в будет равен нулю только при в = О. Для в Ф 0 И=1/и; т=ы, и, следовательно, ч= 1фр.
(5.45) Таким образом, граница Р-разбиения является гиперболой (5.45), называемой гиперболой Вышнеградского (рис. 5.11). Значение в = 0 определяет две особые прямые: р = оо и т = О, из которых первая не ограничивает областей устойчивости в конечной части плоскости.
Вторая особая прямая (т = 0) не требует штриховки, так как р = т = 0 соответствует уравнение, имеющее один корень слева от мнимой оси и два корня справа от нее. Переход через границу Р-разбиения с двойной штриховкой соответствует дополнительному смещению двух корней в левую полуплоскость, поэтому можно сразу сказать, что область А на рис. 5.11 является областью устойчивости. $ 5.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ОСОБЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Рассмотренный в Э 5.3 частотный критерий Найквиста может быть также применен для проверки устойчивости особых систем автоматического регулирования с распределенными параметрами !5,7П.
К таким автоматическим системам относятся системы, содержащие элементы, процессы в которых описываются уравнениями в частных производных; параметры этих элементов распределены по пространственным координатам. В ряде случаев система с распределенными параметрами может быть приведена к системе, имеющей в своем контуре элементы чистого запаздывания (5). Если несколько таких элементов включено последовательно, то они могут быть заменены одним звеном чистого запаздывания с суммарным временем запаздывания т. Тогда вся система может быть представлена структурной 102 мои, изображенной на рис.
5.12. Передаточная функция разомк„,той системы имеет вид 15' (з)= К,(з) е-"; и соответствует амплитудно-фазовая частотная характеристика (5 (!га) 157 ()тв) е гмт (5.46) При т=О система называется предельной по отношению к системе с запаздыванием. Из соотношения (5А5) следует, что Рвс. 5.12. СтРУктУРиап схема системы автоматического регулирования с запаздыва- иием амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) системы с запаздыванием получается поворотом по часовой стрелке вектора !Ра (/оз), определяющего АФЧХ предельной системы, на дополнительный угол сот. С увеличением со значение озт возрастает, а модуль )у'е Очв) обычно убывает, поэтому АФЧХ системы с запаздыванием «закручивается» около начала координат (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
