Попов Д.Н. - Динамика и регулирование гидропневмосистем (1067565), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Передаточная функция такой системы может быть приведена к виду (см. рис. 4.13) Ф(з)= (6.22) где )(7, (з) — передаточная функция прямой цепи; Ур (з) = = (Г', (з) )г', (з) — передаточная функция разомкнутой системы. Для определения вещественной частотной характеристики системы с передаточной функцией (6.22) служит номограмма на рис. 6.9.
При использовании этой номограммы необходимо предварительно найти логарифмическую амплитудную 1., (в) и логарифмическую фазовую ~р,(м) частотные характеристики замкнутой системы, передаточную функцию (6.22) которой целесообразно предвари- 114 льно привести к виду ! 'П' „(з) Ф(з) = ((7с (з) данной передаточной функции соответствуют следующие логарифмические частотные характеристики: ~,(в) = й (в) +!.
( ); ср,(в) = срт.(в)+ ср,(в), где 1,,(в) = 20 !я А,(со); А,(в) = тос( (р"т((в); ср,(в) = агя ((7с ()в), в логарифмические амплитудная 1.; (в) и фазовая ср,' (в) частотные характеристики определяются по номограмме замыкания (см. рнс. 1р(ва срУ -га а' -гав' -гаа' -уаа' -гаа' -ага -и -аа' ря(аа рис. 6.8. Номограмма для определения вещественной частотной характеристики по (р (в) и срр (в) разомкнутой системы (система замкнута единичной обратной связью) 4 15), причем для нахождения частотных характеристик Ьр (в) и срр (в) разомкнутой системы используются соотношения Ер (в) = — 20 !я Ар (со); срр (со) = — агя (р'р (!в). 1!5 После того, как получены т'.а (от) и Ра (от), на прозрачной бума„ строится частотная характеристика замкнутой системы в коорди натах Ь„са,.
Эта характеристика накладывается на номограмм, (рис. б.й) и по точкам пересечения ее с кривыми номограммы нахо. 11(м гг го 1)(са гг га -)а -го -гг -г4 )во гба тй) но гаа вв ба 4О га о вм' гаа гаа гго гао гбо гва воо аго вво вбо в Рис. 6.9. Номограмма для определения вещественной частотной харак- теристики системы с передаточной функцией Ф (а) = йг,(а) 1+ %' (а) дятся значения Р (от), а частоты от берутся или с характеристики С, (от), или с характеристики <р, (от) [23). По вещественной частотной характеристике можно определить также весовую функцию ю (г) (нмпульсную переходную функцию).
Учитывая, что си (г) = Ы)с(г, 116 гб 74 гг 0 в в !б Ф гг )а в б я принимая во внимание формулу (6.14), найдем п1 (7) = — „Р (О1) соз О1г' 1йо. 2 Р (6.28) Если вещественная частотная характеристика разбита на трапеции, то для 1-ой трапеции по соотношению (6.23) получим весовую функцию в виде Р (О) а!п О1а1Ф яп О1ы7 маК ОЬ17 где О1а1+ ОЬп . О111- О1а1 ООа1= я ' О1М= Тогда вся весовая функция определится алгебраической суммой составляющих, число которых будет равно числу трапеций, заменяющих вещественную частотную характеристику системы: а1 ИФ И1 (7) ~~ п11 (() — — ~~ Р1 (О) О1а1 .
(6,24) 1 1 1=1 В этой формуле значение т принимается равным числу трапеций, на которые разбивается при аппроксимации вещественная частотная характеристика. Вещественные и мнимые частотные характеристики применяются для определения переходных процессов, вызванных в системе автоматического регулирования и более сложных, чем ступенчатые и импульсные входные воздействия [23, 7П. $6.3. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ Формула (6.14) показывает, что переходный процесс, вызванный единичным ступенчатым воздействием, зависит от вида вещественной частотной характеристики.
Поэтому оказываются возможными оценки качества переходных процессов по вещественной частотной характеристике без определения самого процесса. Такой метод позволяет сократить вычисления, и его целесообразно применять в тех случаях, когда не нужно точно знать форму кривой переходного процесса. В результате анализа формулы (6.14) установлен ряд свойств вещественных частотных характеристик, из которых вытекают перечисленные ниже оценки качества переходных процессов. 1. Установившееся значение х регулируемой величины равно значению вещественной частотной характеристики при О1 О, т, е.
равно Р (О). 2. При невозрастающей вещественной частотной характеристике (кривая 1, рис. 6.10) максимальное перерегулирование о „не превышает 18О4. 117 3. При вещественной частотной характеристике, имеющей вид кривой 2 на рис. 6.10, максимальное перерегулирование удовлетво. ряет условию Р,„(со) — Р (О) птах ( 1,16 "Р ) 100о/ 4. Если вещественная частотная характеристика является и прерывной положительной функцией ю с отрицательной монотонно убывающей по абсолютной вели.
Р чине г(РЫю (кривая 6 на рис. 6.10), то переходный процесс будет монотонным. 6. Время монотонного пере- И. ходного процесса 1„(до дости- жения регулируемой величиной к значения .+0,05х ) будет большие чем 4я/ю„. Для других процессов 1„~ (я/ю„), причем переходный процесс затухает тем бы- 0 гнл и стрее, чем большею„(чем больше растянута область Р (ю) ) 0 вдоль оси). Кроме перечисленных здесь общих оценок переходных процессов по виду вещественных частотных характеристик имеются вспомогательные графики для определения максимального перерегулировання н времени переходного процесса в тех случаях, когда вещественные частотные характеристики могут быть заменены одной или двумя трапециями.
Эти графики даны на рис. 6.11 и 6.12. Р "а а1 й йг Ой Оа фзбн. Р йг дй й)а да~~ Рис. 6.11. Графики для определения а,„и 1„прн невоарастающей веществен- ной частотной характеристике На основании рассмотренной выше связи переходных процессов с частотными характеристиками системы автоматического регулирования могут быть сформулированы частотные критерии качества. С помощью таких критериев без определения показателей переходного процесса косвенно производится оценка его качества 118 динат 1/, )У.
При различных значениях М, лежащих в пределах от О до оо, уравнение (6.28) дает семейство окружностей, изображен. ных на рис. 6.13, а. Для определения показателя колебательности М,„на коорди. натную плоскость с М-окружностями необходимо нанести амплитудно-фазовую частотную характеристику (6.26) разомкнутой системы. Значения М, соответствующие окружностям, которые пересекаются этой характеристикой, равны модулю амплитуднофазовой частотной характеристики замкнутой системы. Очевидно, что максимальное значение М „будет соответствовать той окружности, которой только касается амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы. 4ага4 тА йб блз. Определение показателя бательности по М-окружностям: М-окружности; б — амплитудная чаа» характеристика аамкнутоа системы С помощью М-окружностей можно определить не только показатель колебательности М,„, но и всю амплитудную частотную характеристику замкнутой системы А, (оз) (рис.
6.13, б). При этом следует иметь в виду, что А, = М, а значения частоты должны быть взяты те, которые получаются по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы в точках пересечения ее с М-окружностями. Один из простых способов обеспечения требуемого показателя колебательности М,„состоит в выборе коэффициента усиления разомкнутой системы таким образом, чтобы ее амплитудно-фазовая частотная характеристика касалась М,„-окружности.
Для косвенной оценки качества процессов регулирования могут быть также использованы логарифмические частотные характеристистики разомкнутых систем. Этот способ особенно удобно применять в тех случаях, когда с помощью логарифмических частотных характеристик решается задача коррекции систем автоматического регу. лирования (см. $ 6,6), 120 1 ц4, ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПО СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ И ПО КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ Вид переходного процесса при заданном законе воздействия на систему полностью определяется ее передаточной функцией. При атом имеет значение как знаменатель, так и числитель передаточной функции системы. Если в передаточной функции Ф (з) = М (з)/Р (з) (6.29) числитель М (з) равен постоянной величине — коэффициенту усиления К системы, то оценка качества переходного процесса может быть проведена по расположению корней характеристического уравнения Р(Л) =а„Л" +а„,Л"-'+...+а0=0 (6.30) на комплекснои плоскости.
Область расположения корней Л, характеристического уравнения (6.30) на комплексной плоскости определяется тремя показателями: степенью устойчивости или минимальным удалением корня от мнимой оси и = ~ Ке Лс 1,;„, максимальным удалением корня от мнимой осн з = ~ КеЛс (щах и колебательностью сс = ! 16 ус | (рис. 6.14). Исследование качества процессов регулирования проводится для устойчивых систем, следовательно, корни характеристического уравнения располагаются слева от мнимой оси и могут быть представлены в виде Лс = — ас+ (твс, (6.31) где сс, ) О.
С учетом соотношения (6.31) колебательность )с находится как сс = (свс!ас) (6.32) Степень устойчивости характеризует быстроту окончания переходных процессов в системе: чем больше и, тем быстрее должна регулируемая величина с заданной точностью достигнуть своего установившегося значения. Для оценки качества процессов регулирования по степени устойчивости в характеристическое уравнение (6.30) подставляется (6.33) сзс Полученное в результате такой подстановки новое уравнение с„2" + с„,2"-'+...
+ с, = 0 (6.34) называется смещенным. Коэффициенты смещенного уравнения яв. ляются функциями степени устойчивости и коэффициентов исходного уравнения. Замена переменной при переходе к уравнению (6.34) от уравне. ния (6.30) связана со смещением мнимой оси плоскости корней влево на величину и. Поэтому условия, при которых обеспечивается за. данная степень устойчивости «), формулируются из условий устой. чивости, полученных для смещенного уравнения. В качестве примера можно рассмотреть систему, имеющую характеристическое уравнение второго порядка а»Л»+а,Л+а,=О.
(6.35) Для устойчивости системы достаточно, чтобы а,)0; а,)0; а,)0, но для обеспечения заданной степени устойчивости и необходимо, чтобы коэффициенты смещенного уравнения С»2 +С«2+Со= 0 (6.36) были положительными. Этн коэффициенты после подстановки в уравнение (6.35) значения Л согласно соотношению (6.33) находятся в виде с, =а,; с,=а,— 2аотй со=а«и» — а«Ч+ао. При выполнении условий устойчивости (с, ) О, с, ) О, с, ) 0) для смещенного уравнения (6.36) обеспечивается для исходной системы степень устойчивости т). При этом коэффициенты уравнения (6.35) должны быть не только положительными, но и удовлетворять следующим требованиям: ао) 0; а, ) 2а»ей а»п«+ а,) а«п. Следует заметить, что понятие «степень устойчивости» не связано с удалением системы от границы устойчивости, т. е. с запасом устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
